Наглядный справ. по матем. с примерами Генденштейн, Ершова

91

ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ЛИНИИ ТРЕУГОЛЬНИКА

Медиана - отрезок, соединяющий вершину

треугольника

с серединой противолежащей стороны.

Биссектриса - отрезок, который соединяет

вершину треугольника

с точкой на противолежащей стороне и де­ лит внутренний угол пополам.

Высота - перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на

прямую, содержащую

противолежащую сторону треугольника.

Взаимное расположение медианы, биссектрисы и высоты

Биссектриса лежит внутри угла, образован­

ного высотой и медианой, проведеиными из той же вершины.

В равнобедренном треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведеиные к осно­

ванию, совпадают.

Серединный перпендикуляр -

прямая,перпендикулярная

стороне треугольника

и делящая ее пополам.

Средняя линия - отрезок, соединяющий середины

двух сторон треугольника.

93

СВОЙСТВА БИССЕКТРИС

Три биссектрисы пересекаются

в одной точке,

которая всегда лежит

внутри треугольника.

Эта точка является центром вписанной окружности.

Биссектриса делит сторону тре­

угольника на отрезки, пропорцио­

нальные двум другим сторонам:

а1

Ь

а

в

Биссектрисы внутреннего и внешнего углов перпендикулярны.

Если биссектриса внешнего угла треугольника пересекает продолже-

у

ние противолежащеи стороны, то

BD

AD

ВС

= АС.

Длина биссектрисы

а

[а= 2bccosЬ 2

+С

а

95

СВОЙСТВА

СЕРЕДИННЫХ ПЕРПЕНДИКУЛЯРОВ

Три серединных перпендикуляра пересекаются в одной точке. Эта

точка является центром описаннои окружности.

В случае остроугольного тре­

угольника точка пересечения се­

рединных перпендикуляров

(центр описанной окружности)

лежит внутри треугольника.

В случае прямоугольного тре­

угольника точка пересечения сере­

динных перпендикуляров

(центр описанной окружности)

совпадает

с серединой гипотенузы.

В случае тупоугольного треуголь­

ника точка пересечения середин­

ных перпендикуляров

(центр описанной окружности)

лежит вне треугольника.

СВОЙСТВО СЕРЕДИННОГО ПЕРПЕНДИКУЛЯРА

И БИССЕКТРИСЫ

Продолжение биссектрисы пересе­

кается с серединным перпендику­

ляром в точке, лежащей на окруж­

ности, описанной около треуголь­

ника.

96

		СВОЙСТВА	СРЕДНЕЙ ЛИНИИ
			Средняя линия параллельна
		В	одной из сторон треугольника
			и равна ее половине:
			1
			МNIIAC; MN=lAC.
			Она отсекает треугольник,
	А	с	подобный данному,
			с коэффициентом подобия 1/2.

Три средние линии треугольника делят

его на 4 равных треугольника, подоб­

ных данному,

с коэффициентом подобия 1/2.

ВПИСАННАЯ И ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТИ В любой треугольник

можно вписать окружность.

Центр вписанной окружности -

точка пересечения биссектрис.

Радиус вписанной окружности

r = S/p, где S - площадь треугольника,

а+Ь+с

р=----

2

Около любого треугольника

можно описать окружность.

Центр описанной окружности -

точка пересечения серединных перпендику­

ляров.

Радиус описанной окружности

R = аЬс

4S'

где S- площадь треугольника.

98

РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Так называется треугольник, у которого две стороны рав­

ны.

Равные стороны называются боковыми сторонами,

а третья сторона - основанием.

СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ

РАВНОБЕДРЕННОГОТРЕУГОЛЬНИКА

Приведенные ниже утверждения являются как свойства­

ми,

так и признаками равнобедренного треугольника, то есть являются необходимыми и достаточными усло­

виями того, что треугольникравнобедренный. Это озна­

чает:

1. Если треугольник - равнобедренный, то для него

справедливы все следующие утверждения.

2. Если для треугольника справедливо хотя бы одно из следующих утверждений, то онравнобедренный.

Углы при основании равны.

.медиана 't биссектриса	Медиана, биссектриса
	и высота, проведеиные
	к основанию, совпадают.
высота

Треугольник имеет

ось симметрии.

99

РАВНОСТОРОННИЙ ТРЕУГОЛЬНИК

Так называется треугольник, у которого три стороны рав­

ны.

Равносторонний треугольник называется таюке

правильным треугольником.

СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ

РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Приведенные ниже утверждения являются как свойства­

ми, так и признаками равностороннего треугольника,

то есть являются необходимыми и достаточными усло­ виями того, что треугольник - равносторонний. Это озна­

чает:

1. Если треугольникравносторонний, то для него спра­

ведливы все следующие утверждения.

2. Если для треугольника справедливо хотя бы одно

из следующих утверждений, то он -равносторонний.

Все углы равны.

Каждая медиана совпадает

с биссектрисой и высотой,

проведеиными из той же вершины.

Центры вписанной и описанной окружностей

совпадают.
(Их радиусы:	а	а
	r = Jj ;	R = J3 ; R = 2r.)

2

Треугольник обладает поворотной симметрией:

он не изменяется

при повороте на 120°.

Треугольник имеет три оси симметрии.

ВЫСОТАИПЛОЩАДЬ: h = JЗа;	2	2
	S = J3a	=JJ3r2 = 3J3R
2	4	4