Наглядный справ. по матем. с примерами Генденштейн, Ершова

150

ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ Так называются плоскости, которые не пересекаются.

ПРИЗНАКИ ПАРАЛЛЕЛЪНОСТИ ПЛОСКОСТЕЙ

Если две пересекающиеся прямые

одной плоскости соответственно

параллельны двум пересекающим­

ся прямым другой плоскости,

то эти плоскости параллельны:

(a1lla2, b1llb2) =>а 11~ ·

Если каждая из двух данных плос­ костей параллельна третьей плос­

кости,

	......._6___1_	___ ,/	то данные две плоскости парал­
			лельны между собой:
	........д 13_	___,/
			(а IIY, ~ llr) => а 11~.

СВОЙСТВА ПАРАЛЛЕЛЪНЫХ ПЛОСКОСТЕЙ

Если две параллельные плоскости

пересекаются третьей плоскостью, то линии пересечения плоскостей

параллельны:

а 11~ => а llb.

Отрезки параллельных прямых,

заключенные

между двумя параллельными

плоскостями, равны:

(а 11~, а llb) =>АВ= CD.

151

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ

И ПЛОСКОСТЕЙ

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМЫХ

Две прямые называются перпендикулярными,

если они первсекаются под прямым углом.

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМЫХ

А7

и

Две пересекающиеся прямые, па­

раллельные соответственно двум

перпендикулярным прямым, пер­

пендикулярны:

(atllbi, a2llb2, alj_a2) =:> btl_b2.

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Прямая, пересекающая плоскость, называется перпенди­ кулярной этой плоскости, если она перпендикулярна любой

прямой, принадлежащей плоскости

и проходящей через точку пересечения.

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ

Если прямая перпендикулярна двум пере­

асекающимся прямым данной плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости:

(al_b и aj_c) =:> aj_a .

ПРЯМЫЕ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПЛОСКОСТИ

Две прямые, перпендикулярные одной и

той же плоскости, параллельны.

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна данной плоскости, то и

другая прямая перпендикулярна этой плос­

кости.

153

ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННЫЕ

Перпендикуляр короче

любой наклонной,

проведеиной к плоскости из той же точки.

У равных наклонных, проведеиных к плоскости из одной точки, проекции рав­

ны.

Справедливо и обратное: если у двух на­

клонных, проведеиных из одной точки,

проекции равны, то равны и наклонные.

Из двух наклонных,

проведеиных из одной

точки, больше та,

у которой проекция больше. Справедливо и обратное.

Теорема о трех перпенднкулярах

(содержит два утверждения:

прямое и обратное)

Если прямая, лежащая в плоскости

и проходящая через основание наклонной, перпендикулярна проекции наклонной,

то она перпендикулярна

и самой наклонной.

Если прямая, лежащая в плоскости

и проходящая через основание наклон­

ной, перпендикулярна наклонной, то она

перпендикулярна и проекции наклонной.

154

СКРЕЩИВАЮЩИЕСЯ ПРЯМЫЕ

Так называются прямые, которые не лежат в одной nлос­

кости

(то есть не nараллельны и не nересекаются).

ПРИЗНАК СКРЕЩИВАЮЩИХСЯ ПРЯМЫХ

Если одна из двух данных прямых пересе­ кает плоскость, в которой лежит другая прямая, и точка пересечения прямой и

плоскости

не принадлежит другой прямой,

то данные прямые скрещиваются.

РАССТОЯНИЕ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ

Через две скрещивающиеся прямые можно

провести две параллельные плоскости

(единственным образом). Расстоянием между скрещивающимися

прямыми называется расстояние

между этими плоскостями.

ОБЩИЙ ПЕРПЕНДИКУЛЯР К ДВУМ СКРЕЩИВАЮЩИМСЯ ПРЯМЫМ

	Так называется отрезок, перпендикуляр­
	ный каждой из двух скрещивающихся пря­
общий	мых, концы которого лежат на этих пря­
перпендикуляр	мых.
	Длина общего перпендикуляра равна рас­
	стоянию между скрещивающимися пря-
	мыми.

УГОЛ МЕЖДУ СКРЕЩИВАЮЩИМИСЯ ПРЯМЫМИ

Так называется угол между пересекающи­

~~~~мися прямыми, соответственно параллель­

ными

"""'~	двум данным скрещивающимся прямым.
	(Одна из упомянутых пересекающихся
	прямых
	может совпадать

с одной из скрещивающихся.)

157

ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕД

Так называется приэма, основания которойпараллело­

граммы.

Все грани параллелепипеда - паралле­

лограммы.

Противолежащие грани параллельны и

равны.

Все четыре диагонали пересекаются в

одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

Точка пересечения диагоналей - центр

симметрии.

а

Сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех ребер:

d12

1

1

1

,,Ш--

1	'	'd
1
1		'	с
1		'
(9\

~~

+ di + df + d] = 4а2 + 4Ь2 + 4с2

Примой параллелепипед:

боковые ребра перпендикулярны основа­

ниям.

Боковые гранипрямоугольники,

а основания - парамелограммы.

Прямоугольный параллелепипед: пря­ мой параллелепипед, основания которого

-прямоугольники.

Все диагонали равны.

Квадрат диагонали равен сумме квадратов

ребер, исходящих из одной вершины:

а			d2 = а2 + ь2 + с2 .
				(аЬ + Ьс +ас); V = аЬс.
			Sполн = 2
			Куб:
		d	все грани -	квадраты.
1	\		Все ребра равны.
1	\
ф-~
l		\	а
		\	d = JЗа, Sполн = 6а2, V = а3•

\

"'

"'

а

158

ПИРАМИДА

Так называется многогранник, одна грань которого (осно­

вание)- многоугольник, а все остальные грани (боковые)

треугольники, имеющие общую вершину (вершина пирами­

ды).

Усеченной пирамидой называется часть пирамиды,

заключенная между ее основанием и сечением пирамиды,

параллельным основанию.

ПРАВИЛЬНАЯ ПИРАМИДА

Пирамида называется правильной, если основание ее­

правильный многоугольник, а вершина проецируется в

центр основания.

Боковые грани - равные равнобедренные треуголь­

ники.

Боковые ребра равны.

Апофемы равны (апофемой пирамиды называется

высота ее боковой грани, прове­

деиная из вершины пирамиды,

противоположной основанию).

ПРАВИЛЬНАЯ УСЕЧЕННАЯ ПИРАМИДА

высота Н

Боковые грани -

равные равнобокие трапеции.

Боковые ребра равны. Апофемы равны.

159

ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЕМ ПРОИЗВОЛЪНОЙ

ПИРАМИДЪI

	Пирамида	Усеченная пирамида
	n	n
Боковая по-	Sбок = L,s, ,	Sбок = L,s,,
верхиость	i=l	i=l
	где S, - площадь одной	где S, - площадь одной
	боковой грани	боковой грани
		Sполн = Sбок + S + S,
Полная по-	Sполн = Sбок + Sосн	где S - площадь нижнего
верхиость		основания,
		s - площадь верхнего
	V = 3 Н... · Sосн	основания
Объем		V = ~ Н... · (S + s +JSs)
	1

ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ И ОБЪЕМ

ПРАВИЛЪНОЙ ПИРАМИДЫ

	Пирамида	Усеченная пирамида
	1			1
	Sбок = 2Р .['	Sбок =2(Р + Р) · f ,
Боковая по-	где Р - периметр основа-	где Р- периметр нижнего
верхиость				основания,
	ния,
		р -	периметр верхнего
	/-апофема
				основания,
				/-апофема
Полная по-	Sполн = Sбок + Sосн	Sполн = Sбок + S + S,
		где S - площадь нижнего
верхиость				основания,
		s -		площадь верхнего
				основания
	1	1		Н... · (S + s + JSs)
Объем	V = 3 Н... · Sосн	V = )