Наглядный справ. по матем. с примерами Генденштейн, Ершова
.pdf110
ОКРУЖНОСТЬ, ВПИСАННАЯ В РОМБ
В любой ромб можно вписать окружность. Радиус r вписанной окружности удовлетво
ряет соотношениям:
h
r =2,
где h высота ромба,
d,d2 r= --
4a '
где d1 и d2 - диагонали ромба,
а - его сторона.
Точка касания вписанной окружности делит сторону ромба на отрезки, связанные с его
диагоналями
и радиусом вписанной окружности следую
щими соотношениями:
А |
d 1 |
= 2.JAH ·АВ, |
|
d 2 |
= 2.Jвн. АВ, |
r = .JAH · НВ.
ПЛОЩАДЬ РОМБА
Через сторону и высоту: S = ah. Через сторону и радиус вписанной окружности:
S = 2ar.
Через сторону и угол ромба:
S = а2 sina.
dd
Через диагонали: S = 1 2
2
111
ПРЯМОУГОЛЬНИК
Так называется параллелограмм, у которого все углы
прямые.
СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ ПРЯМОУГОЛЪНИКА
Приведенные ниже утверждения являются как свойства
ми,
так и признаками прямоугольника, то есть являются необ
ходимыми и достаточными условиями того, что четырехугольникпрямоугольник. Это означает:
1. Если четырехугольник - прямоугольник, то для него
справедливы все следующие утверждения.
2. Если для четырехугольника справедливо хотя бы одно из следующих утверждений, то онпрямоугольник.
Диагонали равны и точкой пересечения
делятся пополам.
Две стороны параллельны
и углы, прилежащие
к одной из этих сторон, прямые.
пг
,
Две противолежащие стороны равны
и углы, прилежащие
к одной из этих сторон, прямые.
n г
Перпендикуляры к сторонам, прохо
дящие через их середины,
являются осями симметрии.
.J
113
КВАДРАТ
Так называется прямоугольник, у которого все стороны
равны.
СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ КВАДРАТА
Приведенные ниже утверждения являются как свойства
ми,
так и признаками квадрата, то есть являются
необходимыми и достаточными условиями того, что четырехугольникквадрат. Это означает:
1. Если четырехугольникквадрат, то для него справед
ливы все следующие утверждения.
2. Если для четырехугольника справедливо хотя бы одно
из следующих утверждений, то онквадрат.
Все стороны равны
. |
и среди внуrренних углов |
|
|
|
есть прямой угол. |
Диагонали равны,
перпендикулярны
и, пересекаясь,
делятся пополам.
Четырехугольник имеет четыре оси сим
метрии:
-прямые, перпендикулярные сторонам и проходящие через их середины;
-прямые, содержащие диагонали.
Четырехугольник обладает поворотной
симметрией:
он не изменяется
при повороте на 90°.
115
ТРАПЕЦИЯ
Так называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны (основания),
а две другие - не параллельны (боковые стороны). Трапеция с равными боковыми сторонами называется рав нобокой (равнобедренной, равнобочной).
ЭЛЕМЕНТЫ ТРАПЕЦИИ
ь
|
основания (all Ь), |
а |
а,Ь |
h - высота (отрезок, соединяю |
|
т,п -боковые стороны, |
щий основания |
|
d1, d2 - |
диагоншzи, |
и перпендикулярный им}, |
|
|
МNсредняя линия |
(отрезок, соединяющий середины
боковых сторон).
ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ
Через полусумму оснований
ьи высоту:
S=a+bh.
2
Через среднюю линию
и высоту:
S = МN-h.
Через диагонали
и угол между ними:
S = d1d2 sin q>
2 .
118
ОКРУЖНОСТЬ
ПРЯМЫЕ И ОТРЕЗКИ,
СВЯЗАННЫЕ С ОКРУЖНОСТЬЮ
УГЛЫ, СВЯЗАННЫЕ С ОКРУЖНОСТЬЮ УГЛОВАЯ МЕРА ДУГИ ОКРУЖНОСТИ
Угловой мерой дуги окружности является центральный угол, который
опи ается на э д
РАДИАНПАЯ МЕРА УГЛА
Угол в один радиан равен центральному углу, опирающе
муся
на дугу, длина которой равна радиусу окружности.
1 радиан~ 57°17'45",
1t
1°= -радиан
18°
1t радиан = 180°,
"21t радиан = 90°.
119
СВОЙСТВА ВПИСАННЫХ УГЛОВ
Вписанный угол равен половине централь
ного, опирающегося
на ту же дугу:
а
Р=2.
Все вписанные углы, опирающиеся
на одну и ту же дугу, равны.
Все вписанные углы, опирающиеся на одну
и ту же хорду,
вершины которых лежат
по одну сторону от этой хорды, равны.
Любая пара углов, опирающихся
на одну и ту же хорду, вершины которых
лежат по разные стороны хорды, составля
ют в сумме 180°:
а+ р = 180°.
Все вписанные углы, опирающиеся на диа
метр, прямые.