Наглядный справ. по матем. с примерами Генденштейн, Ершова

20

СЖАТИЕ И РАСТЯЖЕНИЕ ВДОЛЬ ОСИ Х

f(x) ~ f(ax), где а > О

la>ll

График функции у= f(ax)

получается сжатием графи·

ка функции у= f(x) вдоль

хоси х в а раз.

O<a<l 1

График функции у= f(ax)

получается растяжением

графика функции у = f(x)

вдоль оси х в 1/а раз.

8 а .меч а н. и е. Точки пересечения графика с осью у остаются

неизменными.

Примеры:
D у	у =.{XJ2

1

1 1

2

х

2

21

СЖАТИЕ И РАСТЯЖЕНИЕ ВДОЛЬ ОСИ у

f(x) -+ kf(x), где k > О

\k>l 1

График функции у = kf(x)

получается растяжением

графика функции у= f(x)

ВДОIЬ ОСИ у В k раз.

O<k<l

График функции у = kf(x)

получается сжатием графи-

ка функции у= f(x) вдоrь

оси у в 1/k раз.

3 а.м.еч аn ие. Точки пересечения графика с осью х остаются

неизменными.

nримеры:

о

х

22

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ у= lf(x)l

Части графика функции у = f(x), лежащие выше осихина

оси х, остаются без изменения, а лежащие ниже оси х - сим­

метрично отражаются относительно этой оси (вверх).

Замечание. Функция у= lt(x)l неотрицательна (ее график рас­

положен в верхней полуплоскости).

Примеры: g

fJ у

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ у= f (lxl)

Часть графика функции у= f(x), лежащая левее оси у, удаля­

ется, а часть, лежащая правее оси у- остается без изменения и, кроме того, симметрично отражается относительно оси у (влево).

Точка графика, лежащая на оси у, остается неизменной.

Замеча1-t ие. Функция у = f(l х1> четная (ее график симметричен

относительно оси у).

Примеры: D

23

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

График функции у = g(x), обрат­

ной для функции у = f(x), можно

получить преобразованием симмет-

рии графика функции у = f( х) отно-

сительно прямой у = х.

3 а.меча н ие. Описанное построение

хможно производить только для

функции, имеющей обратную (см.

стр. 15).

nримеры графинов взаимно обратных функций.

fJ у	• х2	(х>О)
	1

1

1

1

1

1

1

..·....

..·...··..·

х

IJ	у

	1t			,.....•'
				....
				.......
				..
-1t/2 -1				.........•'
			../ ....
			•'
-1	-1
-1tj2	....	о	1	1tx
	..·

-1

24

ПОСТРОЕШIЕ ГРАФИКОВ СЛОЖНЬIХ ФУНКЦИЙ

с помощью последовательных иреобразований графиков

элементарных функций (на примерах)

	у= \х2 - 6\xl + 8\ = llx\2 -		6\xl	+ 8\ = l<lxl- 3)2 -		11
	у= х2 - 6х + 8 =	у = (lxl -	3 )2 -	1	У= l<lxl - 3)2	- 11
	= (х- 3)2 - 1

х

ll х

25

у = l3sin2x\ - 1

у= sin2x

у

у= 3sin2x

-2п	-п	1t	2n х
		у = l3sin2xl -1

26

ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ

у = kx + Ь, где k, Ь- действительные числа.

Графикпрямая.

Угловой коэффициент

k = tg а

Ь - ордината точки пере­

х

сечения графика с осью у.

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ

Прямая пропорциональность	Постоянная функция
y=kx	у=Ь
	у
	ь
х
	х

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ГРАФИКОВ

ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ

Если k1 *- k2, rр:1фи:ки функций	Если k1 = k2, Ь1 *- Ь2, rр:1фи:ки
у = k1 х + ь1 и у = k2x + ь2	фуНКЦИЙ у = k1X + Ь1 И
пересекаютс.я в одной точке.	у= k2x + ь2 .являются парал­
	лельными пр.ямыми.

27

СВОЙСТВА ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ у = kx + Ь

•Область определения: R

•Область значений:

при k::;:. О	R
при k =О	{Ь}

• Четность, нечетность:

если k::;:. О, Ь::;:. О, то функция не является ни четной, ни нечетной

если k ::;:. О, Ь = О, то функция нечетная

если k = О, Ь =~:. О, то функция четная

если k =О, Ь =О, то функция тождественно равна нулю,

то есть является одновременно четной и нечетной

• Нули:

если k =~:.О,	то	у = О при х = -Ь1k
если k = О,	Ь =~:. О, то	нулей нет
если k = О, Ь = О, то		у= О при х Е R

• Про.межутн:и знан:опостоянства:

{у> О при х Е (-bjk; оо)

если k >О, то

у< О при х Е (-оо; -bjk)

{у> О при х Е (-оо; -bjk)

если k <О, то

у< О при х Е (-bjk; оо)

если k = О, Ь > О, то	у> О при х Е
если k = О, Ь < О, то	у< О при х Е
если k =О, Ь =О, то	у= О при х Е

R

R

R

• Про.межутн:и .монотонности:

если k > О, то функция возрастает при х Е R

если k < О, то функция убывает при х Е R

если k = О, то функция постоянна при х Е R

• Зн:стре.му.мов нет

28

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ

ПО ДВУМ ТОЧКАМ

Часто удобно выбирать х1 = О, х2 = 1. Соответствую­

щие точки прямой (О; Ь) и (1; Ь + k).

nример.

у= 3х + 2

Если х1 = О, то Yl = 2; если х2 = 1, то У2 = 5.

Через точки (О; 2) и (1; 5)

провести прямую.

Если k -::;:. О, Ь -::;:. О, можно выбирать точки (О; Ь) и

(-bjk; О) на осях координат.

nример.

у= 2х + 2

Если х1 = О, то Yl = 2; если У2 =О, то х2 = -1.

Через точки (О; 2) и (-1; О)

провести прямую.

Если коэффициент перед х дробный, удобно выбирать х1

и х2 так, чтобы Yt и У2 были целыми.

nример.

1

у=--Х+2

3

Если Xt = 3, то Yl = 1; если х2 = -3, то У2 = 3.

Через точки (3; 1) и (-3; 3)

провести прямую.

-3

-1

1

3 х

29

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ у = kx + Ь

С ПОМОЩЬЮ ЗЛЕМЕНТАРНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ГРАФИКА ФУНКЦИИ у =Х

	Этапы преобразовапия zрафика
1. у= х	2. у= kx	3. у= kx + Ь
у

		х
Построить	Произвести растяжение	Произвести па­
график	(при lkl > 1) или сжатие	р8ЛЛельный пе­
функции	(при lkl < 1) графика вдоль	ренос графика
у= х.	оси у (если k < О, произве­	вдоль оси у на IЬI
	сти, кроме того, зеркаль­	(вверх при Ь >О,
	ное отражение относитель­	вниз при Ь < 0).
	но любой из координат­
	ных осей).

nримеры:

11. у= 2х- 1

.. ..

у=х		у= 2х	у= 2х- 1
12. У = -хjЗ + 2			..
	..	у
			х
у=х		у= -хjЗ	у= -хjЗ + 2