10. Понятие случайной величины. Дискретная случайная величина, способы ее задания: ряд распределения.

Случайной величинойназывается величина, которая в каждом испытании (при каждом наблюдении) принимает одно из множества своих возможных значений, заранее не известно, какое.

Дискретная с.в.– с.в., множество возможных значений которой конечно или счетно.

Ряд распределения с.в.(ряд распределения вероятности). График ряда распределения задается многоугольником распределения – ломанная, которая соединяет точки с координатами (x_i,p_i)

X	x1	x2	x3	…	xk	…
P	p1	p2	p3	…	pk	…

Закон распределения с.в.: p_k=P({X=x_k})

11. Функция распределения дискретной случайной величины и ее свойства.

Функцией распределения случайной величиныХ называется функцияF_X(x) =P(X<x),.

Под (X<x) понимается событие, состоящее в том, что случайная величина Х примет значение, меньшее, чем числох. Если известно, о какой случайной величине идет речь, то индекс, обозначающий эту случайную величину, опускается:F_X(x) =F(x).

Свойства:

1. 

2. 

3. 

4. Если , то

12. Математическое ожидание дискретной случайной величины и ее свойства.

Математическое ожиданиедискретной случайной величины Х называется взвешенная сумма всех ее значений:

Свойства:

1. М(С) = С, С =const

2. M(C+X)=M(X)=C

3. M(C·X)=C·M(X)

4. M(X+Y)=M(X)+M(Y)

5. Если X,Y–независимые, тоM(X·Y)=M(X) ·M(Y)

13. Дисперсия дискретной случайной величины и ее свойства.

Дисперсия случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания D(X) =M[(X-m_X)²] илиD(X) =M(X²) – (M(X))²;

Свойства:

1. D(C) = 0;C=const

2. D(X+C)=D(X)

3. D(C·X)=C²·D(X)

4. Если X,Y– независимые, тоD(X+Y)=D(X) ·(D(Y)

Средним квадратичным отклонениемХ называется неотрицательное значение квадратного корня из дисперсии:

14. Биноминальный закон распределения: ряд распределения и основные числовые характеристики.

, гдеn– число испытаний в схеме Бернулли, р – вероятность появления события в каждом испытании. Х = {0,1,2,…,n}

M(X)=np;D(X)=np(1-p)

15. Геометрический закон распределения.

, где р – вероятность появления события в каждом испытании;X= {1,2,3,…,k,…}

16. Пуассоновский закон распределения: ряд распределения и основные числовые характеристики.

Если n→∞, а р→0, то, гдеX= {0,1,2,…,k,…};λ>0;λ=np– среднее число появлений события вnиспытаний.

M(X)=D(X)=λ

17. Непрерывная случайная величина. Функция распределения и функция плотности вероятности, их свойства.

Случайная величина Хназываетсянепрерывной, если она примет более чем счетное число значений.

f_x(x) называетсяплотностью распределения случайной величины Х. График плотности распределении случайной величины Х называетсякривой распределения случайной величины.

Свойства плотности распределения:

• для всех :f(x)≥0;

• ∫f(z)dz= 1;

• для всех точек,в которых существует производнаяF`(x).

Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет конкретное число значения, равна нулю для всех: Р(Х=х₀) = 0.

Вероятность попадания непрерывной случайной величины в числовой промежуток можно рассчитать: для всех: таких, что с<d:

Р(с≤X≤d) =P(c≤X≤d) =P(c≤X≤d) =P(c<X<d) =F(d)-F(c) = ∫f(x)dx.