- •1. Случайные события, их классификация. Понятие вероятности.
- •10. Понятие случайной величины. Дискретная случайная величина, способы ее задания: ряд распределения.
- •11. Функция распределения дискретной случайной величины и ее свойства.
- •18. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины и их свойства (без доказательства).
- •19. Начальные и центральные моменты.
- •20. Равномерный закон распределения: плотность и функция распределения, основные числовые характеристики.
- •21. Показательный закон распределения: плотность и функция распределения, основные числовые характеристики.
- •22. Поток событий. Простейший поток. Распределение промежутка времени между последовательными событиями простейшего потока.
- •24. Функция Лапласа и ее свойства. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Правило «трех сигм».
- •25. Неравенство Чебышева. Понятие о законе больших чисел. Теорема Чебышева (без док-ва). Теорема Бернулли (без док-ва).
- •26. Центральная предельная теорема (без док-ва). Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
- •27. Двумерные случайные величины, формы задания закона распределения.
- •28. Характеристики двумерной случайной величины: математическое ожидание и дисперсия компонент.
- •29. Зависимость случайных величин. Корреляционный момент и коэффициент корреляции, их свойства.
- •30. Предмет математической статистики. Генеральная совокупность, выборка, ее свойства.
- •31. Статистический и интервальный ряды распределения.
- •32. Выборочные аналоги функции распределения и функции плотности. Полигон, гистограмма, кумулята.
- •33. Свойства точечных оценок числовых характеристик и параметров распределения.
- •34. Точечная оценка математического ожидания и ее свойства.
- •35. Точечная оценка дисперсии, несмещенная оценка дисперсии.
- •36. Метод моментов. Метод максимального правдоподобия.
- •37. Интервальные оценки параметров распределения.
- •38. Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения.
18. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины и их свойства (без доказательства).
Математическое ожидание непрерывной с.в. называется число
Свойства:
М(С) = С, С =const
М(С·Х) = С·М(Х), С = const
Если X,Y– дискретные с.в., то М(Х+Y) = М(Х) + М(Y)
Дисперсия случайной величины:
Свойства:
D(C) = 0
D(C·X) = C2·D(X)
Если X,Y– дискретные с.в., тоD(X+Y) =D(X) +D(Y)
19. Начальные и центральные моменты.
Начальным моментом порядка kслучайной величины Х называют математическое ожидание величиныXk:vk=[M(X)]k.
Оценка начального момента:
В частности, начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию: v1=M(x).
Центральным моментом порядка kслучайной величины Х называют математическое ожидание величины [Х-М(Х)]k:μk = М[Х-М(Х)]=0;
Оценка центрального момента:
В частности, центральный момент первого порядка равен 0: μ1= М(Х-М(Х))=0;
Центральный момент второго порядка равен дисперсии: μ2= М(Х – М(Х))2=D(X).
20. Равномерный закон распределения: плотность и функция распределения, основные числовые характеристики.
Плотность распределения:
Плотность распределения:
Функция распределения:
21. Показательный закон распределения: плотность и функция распределения, основные числовые характеристики.
Функция распределения:
Плотность распределения:
22. Поток событий. Простейший поток. Распределение промежутка времени между последовательными событиями простейшего потока.
Поток событий– среднее число событий, происходящих в единицу времени.
Стационный поток– его плотность: постоянная величина.
Поток без последействия– если вероятность попадания определенного числа событий на определенный промежуток времени не зависимо от того, когда и в какие моменты событие появлялось до этого.
Ординарный поток– если вероятность попадания на элементарный промежуток времени двух или более событий пренебрежительно мала с вероятностью попадания на этот же промежуток одного события.
Все эти потоки – простейшие.
23. Нормальный закон распределения: функция плотности и функция распределения, основные числовые характеристики. (Закон Гаусса).
X ~ N(m,σ)
M(X)=m; D(X)=σ²
24. Функция Лапласа и ее свойства. Вероятность попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интервал. Правило «трех сигм».
Функция Лапласа:
Правило «трех сигм»
Для любой случайной величины X ~ N(a; σ) вероятность
25. Неравенство Чебышева. Понятие о законе больших чисел. Теорема Чебышева (без док-ва). Теорема Бернулли (без док-ва).
Неравенство Чебышева:Если случайная величина Х имеет конечное математическое ожидание М(Х) и дисперсиюD(Х) , то для любого ε>0 справедливо равенство
Под закономбольших чисел понимается обобщенное название группы теорем, утверждающих, что при неограниченном увеличении числа испытаний средние величины стремятся к некоторым постоянным.
Теорема Чебышева: Если дисперсии независимых случайных величин Х1,Х2,…,Хnограничены сверху числом В, то для произвольного, сколь угодно малого ε>0 справедливы неравенство
и предельное равенство
Теорема Бернулли: Если вероятность успеха в каждомnнезависимых испытаний постоянна и равнаp, то для произвольного, сколь угодно малого ε>0 справедливо равенство
, гдеm– число успехов в серии изnиспытаний.