26. Центральная предельная теорема (без док-ва). Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

Центральная предельная теорема:Если случайные величины Х₁,Х₂,…,Х_nодинаково распределены и имеют конечную дисперсию σ², то приn→∞

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р успеха в каждом испытании отлична от 0 и 1, а число испытанийnдостаточно велико, то для расчета Р_n(k) можно пользоваться приближенной формулой

(k=0,1,2,...),

где

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р успеха в каждом испытании отлична от 0 и 1, а число испытаниеnдостаточно велико, то для расчета вероятности Р_n(k₁;k₂) того, что число успехов в серии изnиспытаний будет заключено в промежутке [k₁;k₂), можно пользоваться приближенной формулой Р_n(k_1,k₂) = Ф₀(u₂) – Ф₀(u₁) (k₁= 0,1,2,..;k₂>k₁), где

27. Двумерные случайные величины, формы задания закона распределения.

Двумернойназывают случайную величину (X,Y), возможные значения которой есть пары чисел (x,y).

Дискретной называют двумерную величину, составляющие которой дискретны.

Непрерывнойназывают двумерную величину, составляющие которой непрерывны.

Законом распределения вероятностей двумерной случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Он может быть задан:

1. в виде таблицы с двойным входом, содержащей возможные значения и их вероятности;

2. аналитически, например, в виде функции распределения.

Функцией распределениявероятностей двумерной случайной величины называют функциюF(x,y), определяющую для каждой пары чисел (x,y) вероятность того, что Х примет значение, меньшее х, и при этомYпримет значение меньшееy:F(x,y) =P(X<x,Y<y).

28. Характеристики двумерной случайной величины: математическое ожидание и дисперсия компонент.

Зная плотность распределения составляющих XиYнепрерывной двумерной случайной величины (X,Y), можно найти ихматематическое ожидание и дисперсии:M(X) = ∫x·f₁(x)dx,M(Y) = ∫y·f₂(y)dy;

D(X) = ∫[x-M(X)]²·f₁(x)dx = ∫x²·f₁(x)dx – [M(X)]²;

D(Y) = ∫[y-M(Y)]²·f₂(y)dy = ∫y²·f₂(y)dy – [M(Y)]².

29. Зависимость случайных величин. Корреляционный момент и коэффициент корреляции, их свойства.

Степень зависимости случайных величин измеряется с помощью ковариациислучайных величинXиY:cov(X,Y) =M[(X-MX)(Y-MY)]=>cov(X,Y)=M(XY)-MX·MY

Ковариация может принимать произвольные вещественные значения, поэтому не вполне пригодна к использованию в качестве меры связи случайных величин. В этом смысле удобнее использовать коэффициент корреляциислучайных величин Х иY:

Если коэффициент корреляции ρ(Х,Y)=0, то это не обязательно означает независимость случайных величин Х иY. В этом случае говорят, что данные случайные величинынекоррелированны.Из независимости следует некоррелированность, но наоборот – не всегда!

Коррелированными называют две случайные величины, если их корреляционный момент отличен от нуля.

30. Предмет математической статистики. Генеральная совокупность, выборка, ее свойства.

Математическая статистикаизучает методы сбора, классификации, обработки и анализа данных, полученных опытным путем.Основная задача математической статистикисостоит в получении выводов о массовых явлениях и процессах по данным наблюдений над ними или экспериментов.Генеральной совокупностьюназывают совокупность результатов всех мысленно возможных наблюдений за какой-либо случайной величиной Х, проводимых в одинаковых условиях.Выборкойназывают результаты ограниченного числа наблюдений за случайной величиной Х. Сущность выборочного метода состоит в том, чтобы по выборке как некоторой части генеральной совокупности делать выводы о генеральной совокупности в целом.

Выборку называют репрезентативной,если она адекватно отражает исследуемые свойства генеральной совокупности.Конкретной выборкойназывается конкретный набор чисел х₁,х₂,…,х_n, полученный в результате наблюдений за случайной величиной Х, т.е. набор, состоящий изnреализаций случайной величины Х.

Выборочным среднимназывается:– эта величина является выборочным аналогом математического ожиданияM(X). Выборочным аналогом дисперсии является:– эта величина называетсявыборочной дисперсией.