6.3.Часові методи аналізу і синтезу систем керування.

В основі часових методів синтезу лежить можливість отримання перехідних процесів, які відповідають заданим показникам якості при використанні різних законів керування.Ці методиназивають такожпрямими.Необхідно відзначити, що отримати результати синтезу прямим методом можливо лише для ідеальних систем, без урахування нелінійностей, фізичних явищ при передачі та перетвореннях сигналів і т.д., тому ці методи мають, в першу чергу, методологічне значення, що дає можливість отримати загальні положення та залежності.

Розглянемо часові методи аналізу і синтезу систем керування для простих структур. Автоматична система регулювання подається в спрощеному вигляді (рис.6.3).

Рис.6.3.Структура одноконтурної АСР.

Приклад 1. Система складається з пропорційного регулятора та об’єкта 1-го порядку із самовирівнюванням. Аналіз системи виконується в такому порядку :

• записуються необхідні передаточні функції :

регулятора – W_рег(p) = K_рег (6.9)

об’єкта – за каналом керування – (6.10)

за каналом збурення – (6.11)

• визначаються передаточні функції замкненої системи :

= відносно зміни завдання – W_зд(p)

(6.12)

де : К_сист. – коефіцієнт передачі системи - (6.13)

Т_сист. – постійна часу системи – (6.14)

= відносно збурення – W_зб(p)

(6.15)

де : (6.16)

(6.17)

• отримують перехідні процеси, наприклад за допомогою оберненого перетворення Лапласа при стрибкоподібному вхідному сигналі :

(6.18)

(6.19)

Перехідний процес відносно зміни завдання показано на рис.6.4.

Рис.6.4.Перехідні процеси відносно зміни завдання (К_{рег 1}>К_{рег 2}>К_{рег 3}).

Система з точки зору динаміки еквівалентна аперіодичній ланці з передаточною функцією (6.12). Перехідний процес описується рівнянням :

(6.20)

Характеристичне рівняння системи Т_систр+1=0 має один дійсний корінь , що відповідає аперіодичному процесу. При зміні К_рег змінюються лише числові значення кореня, а перехідний процес залишається аперіодичним. Як видно з виразів (6.13), (6.14) збільшення К_рег змінює загальний коефіцієнт передачі системи та її постійну часу. Зменшення Т_сист скорочує час регулювання та зменшує статичну похибку (рис.6.4),тобто застосування П-регулятора покращує властивості системи, але статична похибка залишається. Такий же характер мають перехідні процеси відносно збурення (рис.6.5).

В реальних системах необхідно

враховувати динамічні

властивості датчиків,

виконавчих механізмів,

Рис.6.5.Перехідні процеси регулюючих органів, що

відносно збурення (К_{рег 2}>К_{рег 1}). може привести до коливальних

процесів і навіть до втрати

стійкості при К_рег→∞ .

Задача параметричного синтезу в цьому випадку полягає у визначенні такого К_рег, при якому ∆Х_ст≤Х_ст ^доп за умови виконання інших обмежень, наприклад щодо стійкості.

Приклад 2. АСР складається з П-регулятора та об’єкта без самовирівнювання. Приймемо, що передаточні функції об’єкта за каналами керування та збурення будуть відповідно :

(6.21)

(6.22)

Після виконання дій, які визначені в попередньому прикладі, отримаємо такі результати :

• передаточна функція замкненої системи відносно зміни завдання має вигляд (6.12), але К_сист.=1, а : перехідний процес не має статичної похибки;

• в передаточній функції відносно збурення значення параметрів такі :

(6.23)

(6.24)

Приклад 3. АСР включає І-регулятор з передаточною функцією та об’єкт без самовирівнювання з передаточною функцією . Передаточна функція замкненої системи відносно збурення буде :

(6.25)

Виразу (6.25) відповідає перехідний процес :

(6.26)

Таким чином, перехідний процес – це синусоїда з амплітудою і частотою, тобто ідеалізована система знаходиться на межі стійкості. Реальна система з урахуванням характеристик додаткових елементів та нелінійностей буде нестійкою. Це підтверджує висновок про те, що І-регулятор не може працювати на об’єкті без самовирівнювання, тому що в цьому випадку система є структурно нестійкою.

Для прикладів з ПІ- та ПІД- регуляторами часовий аналіз приводить до громіздких виразів, не зручних для роботи. Такі системи зручно досліджувати за допомогою комп’ютерного моделювання, застосовуючи програмні засоби SIAM та MATLAB.