Приймаючи до уваги, що

, (2.42)

можна записати:

, (2.43)

Реакція елемента чи системи на довільний вхідний сигнал визначається за допомогою інтеграла згортки ( інтеграл Дюамеля ):

, (2.44)

. (2.45)

2.3. Типові елементарні ланки та їх характеристики

В автоматичних системах використовуються різні функціональні елементи ( автоматичні регулятори, датчики, перетворювачі і інш.), які мають різну природу і конструкцію, але їх поведінка описується однаковими математичними залежностями, що дає можливість виділити порівняно невелику кількістьтипових ланок. Кожній такій ланці відповідає математична модель як залежність між вхідною та вихідною величинами, при цьому ця залежність є достатньо простою, і ланки називаютьелементарними. Елементарна ланка (ЕЛ) – це виділена дільниця (частка, елемент), яка має однонаправлену дію з відомою залежністю(рис.2.6).

Рис.2.6. Елементарна ланка

В теорії автоматичного керування введені такі ЕЛ, щоб з їх допомогою можна було представити та описати систему різної природи та призначення. Використовуються такі елементарні ланки: аперіодична, підсилювальна, коливальна, інтегральна, диференціююча, із запізнюванням. Всі ці ЕЛ є мінімально-фазовими елементами. При аналізі властивостей елементарних ланок необхідно знати: рівняння, передаточну функцію, часові та частотні характеристики, а також реальні об’єкти, властивості яких описуються конкретною елементарною ланкою.

Підсилювальна ланка. Рівняння ланки має вигляд:

, (2.46)

де: - коефіцієнт передачі.

Рівняння ланки в операторному вигляді:

, (2.47)

звідки передаточна функція

, (2.48)

Частотні характеристики отримують підстановкою: , звідки амплітудно-фазова характеристика:

, (2.49)

дійсна частина U(ω)=k, уявна V(ω)=0, амплітудно-фазова характеристика φ(ω)=0 (рис.2.7)

Перехідна функція підсилювальної ланки

, (2.50)

Im

Рис.2.7. Частотні характеристики підсилювальної ланки, а – амплітудно-фазова (АФХ), б – амплітудно-частотна (АЧХ),

в – логарифмічна амплітудно-частотна (ЛАЧХ)

а імпульсна характеристика

, (2.51)

Таким чином, підсилювальна ланка є безінерційною, і сигналу будь-якої частоти (ω=0;) проходять з однаковим відношенням амплітуд вхідної і вихідної змінної, яке дорівнює.

Прикладом об’єкта, який описується підсилювальною ланкою, є електронний операційний підсилювач.

Аперіодична ланка.Диференціальне рівняння ланки:

, (2.52)

де: Т - постійна часу, - коефіцієнт передачі.

В операторному вигляді рівняння (2.52) записується так:

, (2.53)

звідки передаточна функція ЕЛ:

, (2.54)

Амплітудно-фазова характеристика відповідає виразу (2.54) при :

, (2.55)

Домножуючи вираз (2.55) на , отримуємо:

, (2.56)

де: (2.57)

Амплітудно-частотна характеристика:

, (2.58)

Фазочастотна характеристика

, (2.59)

Ці характеристики показані на рис.2.8

г)

Рис.2.8. Частотні характеристики аперіодичної ланки, а – АФХ,

б – АЧХ, в – ФЧХ, г – ЛАЧХ

Перехідна функція аперіодичної ланки знаходиться як сума загального та частинного роз’язків рівняння (2.52):

, (2.60)

Імпульсна характеристика ланки визначається диференціюванням :

, (2.61)

Часові характеристики аперіодичної ланки показані на рис.2.9.

Рис.2.9. Часові характеристики аперіодичної ланки,

а – перехідна функція, б – імпульсна характеристика

З аналізу частотних характеристик ланки випливає, що гармонійний сигнал малої частоти (ω<ω_с) пропускається добре, про що свідчить відношення амплітуд вихідного і вхідного сигналів. При збільшенні частоти (ω>ω_с) зменшується коефіцієнт передачі і при ω→К→0. Аперіодична ланка є мінімально-фазовою, тому що створює менший фазовий зсув ніж інші ланки з такою характеристикою. Наприклад, нестійка ланка, частотна характеристика якої

, (2.62)

створює зсув за фазою

, (2.63)

Часові характеристики аперіодичної ланки (рис.2.9) дають можливість оцінити постійну часу Т, яка визначає інерційність ланки.

Аперіодичною ланкою можна описувати різні елементи, які можуть накопичувати та передавати енергію чи речовину: конструктивні, електричні, гідравлічні збірники та інш.

В задачах аналізу та синтезу амплітудно-фазова характеристика аперіодичної ланки визначаються формулою:

, (2.63)

Властивості інших ланок вивчаються самостійно за наведеною схемою, а їх характеристики в загальному вигляді подано в табл.2-1.

Таблиця 2-1

Характеристика типових елементарних ланок

h(t) № п/п	Ланка	Рівняння	Передаточна функція	Перехідна функція
1.	Аперіодична
h(t) 2.	Підсилювальна (пропорційна, безінерційна)
h(t) 3.	Інтегрувальна
K T h(t) t 4.	Диференцію-вальна
h(t) 5.	Коливальна
h(t) t 1,0 6.	Із запізнюванням

[1, c.22-23; 2, 42-139]