Navch._posibnuk_Ivaschyk

значення, то це означає, що даний ресурс є надлишковим і обсяг залишку подано в стовпці «Додаткова змінна».

					Таблиця 3.1
		Оцінка витрат і випуску продукції при відповідних
	Показники		технологіях
		І	ІІ	ІІІ	ІV
	Обладнання	1.9·0=0	3.3·0=0	2.1·0=0	2.8·0=0
	y1 = 0			4.5·0.150523=
	Праця	3.3·0.150523=	2.4·0.150523=		2.7·0.150523=
	y2 = 0.150523	=0.4967259	=0.3612552	=0.6773535	=0.4064121
	Електроенергія	4.6·0.699932=	3.8·0.699932=	2.7·0.699932=	4.1·0.699932=
	y3 = 0.699932	=3.2196872	=2.6597416	=1.8898164	=2.8697212
	Фін. кошти	6·0=0	7·0=0	5·0=0	4·0=0
	y4 = 0
	Сумарна оцінка	3.7164131	3.0209968	2.5671699	3.276133
	витрат
				2·0.354482=
	Продукція А	0·0.354482=0	3·0.354482=		4·0.354482=
	y5 = 0.354482		=1.063446	=0.708964	=1.417928
	Продукція В	2·1.858207=	0·1.858207=0	1·1.858207=	1·1.858207=
	y6 = 1.858207	=3.716414		=1.858207	=1.858207
	Продукція С	3·0=0	2·0=0	1·0=0	0·0=0
	y7 =0
	Сумарна оцінка	3.716414	1.063446	2.567171	3.276135
	випуску

Усистемі LINA додаткові змінні мають стандартне позначення і позначаються через SLK N, де N – номер обмеження, якому вона відповідає. Під першим номером в системі завжди йде цільова функція, тоді фактичний номер кожного обмеження є збільшеним на одиницю.

Уприкладі залишок обладнання (рядок 2) складає 54,96463 маш.-год., а фінансових коштів (рядок 5) – 217,0001 грн. Значення двоїстої оцінки ресурсу, який використано повністю, показує, на скільки одиниць зросте цільова функція Z при одиничному збільшенні запасу ресурсу. Так, додаткове залучення 1 люд.-год. праці призведе до збільшення випуску кінцевої продукції на 0,150523 одиниць (рядок 3), а додаткове використання фінансових ресурсів в розмірі 1 грн. дозволить збільшити цільову функцію на 0,699932 одиниць (рядок 4) при незмінності інших ресурсів.

121

За допомогою двоїстої оцінки можна також встановити норми заміни ресурсів, тобто визначити співвідношення, на основі яких ресурси можуть замінити один одного без зміни кінцевого результату Z. Заміну ресурсів необхідно проводити у відношенні, оберненому відношенню їх оцінок. Так, у прикладі норма заміни електроенергії працею становить: y3 : y2 = 0,699932 : 0,150523 = 4,65 , тобто 1 кВт.-

год. електроенергії може замінити 4б65 людино-годин праці.

Для обмежень типу «≥» нульові значення додаткових змінних вказують на те, що ці обмеження виконуються як строгі рівності. В нашому випадку додаткові змінні шостого та сьомого рядків рівні 0, а це значить, що продукції типу А та В потрібно виготовляти в мінімальному обсязі, зокрема 20 % і 50 % від кінцевої продукції. Значення двоїстих змінних цих рядків вказують на зміну значення цільової функції при збільшенні на одиницю випуску продукції А та В понад мінімум. Тобто, якщо збільшити випуск продукції А на одиницю більше від 20 %, то випуск кінцевої продукції зменшиться на 0,354482. Відповідно збільшення випуску продукції В на одиницю більше 50 % призведе до зменшення випуску кінцевої продукції на

1,858207 одиниць.

Додаткова змінна восьмого рядка не дорівнює 0, а це означає, що продукції С виготовили на 160,6044 одиниць (значення додаткової змінної цього рядка) більше мінімального обсягу, який становив 30 % від кінцевої продукції.

Наведені висновки матимуть місце в межах стійкості базисного розв’язку, які ми отримаємо, якщо введемо Y після запитання «Постоптимальний аналіз Y/N?»:

Постоптимальний аналіз Y / N ? ? Y

Межі, в яких базис не змінюється Межі коефіцієнтів ЦФ

Змінна	Поточний	Допустиме	Допустиме
	коефіцієнт	збільшення	зменшення
Z	1.000000	Безмежність	1.000000
X1	.000000	2.531645	1.688172
X2	.000000	1.957552	Безмежність
X3	.000000	2.649573	.403226
X4	.000000	.840336	2.248736

122

		Межі правих частин
Рядок	Поточна	Допустиме	Допустиме
	RHS	збільшення	зменшення
2	295.000000	Безмежність	54.964630
3	410.000000	61.050420	52.631040
4	505.000000	74.373210	65.450450
5	890.000000	Безмежність	217.000100
6	.000000	206.610100	49.296020
7	.000000	123.240000	200.483800
8	.000000	160.604400	Безмежність

Ми отримали параметри стійкості базисного розв’язку відносно коефіцієнтів цільової функції. На основі отриманих результатів бачимо, що коефіцієнт при невідомій Z в цільовій функції можна збільшувати до безмежності, а допустиме його зменшення рівне 1. Базисний розв’язок при цьому змінюватись не буде, тобто базисними залишаться невідомі Z, X1, X3 та X4, а вільною буде X2. Також додаткові змінні другого, п’ятого та восьмого рядків не дорівнюватимуть нулю, а значення додаткових змінних третього, четвертого, шостого і сьомого будуть рівні 0.

Відповідно в цільову функцію можна ввести невідомі X1, X2, X3 та X4, найбільші значення коефіцієнтів при яких становитимуть відповідно 2,531645; 1,957552; 2,649573; 0,840336, а найменші (–1,688172) при Х1, (–0,403226) при Х3 та (–2,248736) при Х4;

коефіцієнт при X2 можна зменшувати до безмежності, оскільки ця невідома є вільною.

Проаналізуємо стійкість оптимального розв’язку відносно зміни початкових запасів виробничих ресурсів та мінімального обсягу виготовлення продукції А, В та С. Для невикористаних ресурсів границі можливого збільшення не вказуються, тобто в нашому випадку запаси обладнання і фінансових коштів можна збільшувати до безмежності. Оптимальність плану зберігається при зменшенні запасу обладнання на 54,96463 машино-годин, а максимальна величина зменшення фінансових коштів становить 217,0001 грн. Максимально допустима величина збільшення використання праці становить 61,05042 людино-годин, а зменшення – 52,63104 людиногодин. Відповідно розмір максимального збільшення використання електроенергії становить 74,37321 кВт.-год, а зменшення – 65,45045 кВт.-год. Випуск продукції А, В та С можна збільшити відповідно на 206,6101, 123,24 та 160,6044 одиниць, допустиме зменшення випуску

123

продукції А та В становить 49,29602 і 200,4838 одиниць, а нижня межа випуску продукції С – безмежність, оскільки додаткова змінна восьмого рядка не рівна нулю.

Слід зазначити, що всі зміни потрібно проводити таким чином, щоб це не суперечило економічному змісту невідомих задачі.

Далі розглянемо, як буде змінюватись структура оптимального розв’язку при зміні або обсягів виробничих ресурсів, або обсягів гарантованого виробництва продукції, або включення в план невідомих величин, що не ввійшли в базисний розв’язок. Цей економічний аналіз ми можемо провести з допомогою коефіцієнтів заміщення останньої симплекс-таблиці, отриманих за допомогою команди TABL:

: TABL

Рядок (Базис)			Z	X1	X2	X3	X4
1	ART		.000	.000	1.958	.000	.000
2	SLK	2	.000	.000	.712	.000	.000
3		X3	.000	.000	-.045	1.000	.000
4		X1	.000	1.000	.077	.000	.000
5	SLK	5	.000	.000	3.284	.000	.000
6		X4	.000	.000	.871	.000	1.000
7		Z	1.000	.000	1.958	.000	.000
8	SLK	8	.000	.000	-2.402	.000	.000

Рядок	SLK 2	SLK 3	SLK 4	SLK 5	SLK 6	SLK 7	SLK 8
1	.000	.151	.700	.000	.354	1.858	.000
2	1.000	-.169	-.338	.000	.266	-.106	.000
3	.000	.373	-.264	.000	-.021	.008	.000
4	.000	-.059	.224	.000	.210	-.084	.000
5	.000	-.793	-.689	1.000	-.268	.107	.000
6	.000	-.179	.167	.000	-.222	.089	.000
7	.000	.151	.700	.000	.354	1.858	.000
8	.000	.150	.196	.000	.503	-.801	1.000

Розглянемо випадок, коли основна невідома величина не введена в базис. Це означає, що при заданих умовах включення її в оптимальний план не є ефективне на величину відносної оцінки. При введенні в базис такої невідомої величини, рівної одиниці, додатні коефіцієнти заміщення покажуть, наскільки зменшиться, а від’ємні – наскільки зростуть відповідні базисні невідомі. Такою невідомою величиною в нашому прикладі є Х2.

Ми бачимо, що збільшення часу роботи другої технологічної лінії на 1 (введення в базис Х2=1) призведе до такої зміни розв’язку. Цільова функція (ART) зменшиться на 1,958, час роботи першої

124

технології відповідно зменшиться на 0,077, третьої зросте на 0,045, а четвертої зменшиться на 0,871 одиниць. У той самий час недовикористання (залишок) обладнання (SLK 2) зменшиться на 0,712 машино-годин та фінансових коштів (SLK 5) – на 3,284 грн. (тобто використання обладнання і фінансових коштів зросте на величину цих коефіцієнтів заміщення), випуск кінцевої продукції Z зменшиться на 1,958 одиниць, а випуск продукції С понад мінімум (SLK 8) зросте на 2,402 одиниці.

Розглянемо вплив коефіцієнтів заміщення на базисний розв’язок

увипадку збільшення запасів виробничих ресурсів. Якщо ресурс використано повністю, то додаткова невідома величина (залишок ресурсу) входить у число небазисних змінних і має нульове значення. Коефіцієнти заміщення останньої симплекс-таблиці для обмежень типу «≤» показують, наскільки збільшиться, якщо вони додатні, і на скільки зменшиться, якщо вони від’ємні, значення відповідних базисних змінних при одиничному збільшенні початкового запасу ресурсу. При зменшенні – навпаки. Наприклад, збільшимо початковий запас праці (SLK 3) на 1 людино-годину. Тоді на основі даних стовпця SLK 3 отримаємо, що цільова функція (ART) зросте на 0,151, залишок обладнання (SLK 2) зменшиться на 0,169, час роботи третьої технології (X3) збільшиться на 0,373, а першої (X1) зменшиться на 0,059 одиниць, недовикористання фінансових ресурсів (SLK 5) зменшиться на 0,793 грн., час роботи четвертої технології (X4) зменшиться на 0,179, випуск кінцевої продукції Z зросте на 0,151 одиниць, випуск продукції С понад мінімум (SLK 8) зросте на 0,15 одиниць.

Перейдемо до розгляду випадку, коли додаткова невідома величина не ввійшла в базис і відповідає обмеженню виду «≥». Це означає, що відповідна їй основна невідома величина ввійшла в базис

урозмірі мінімального гарантованого обсягу виробництва, а дальше її збільшення призведе до зменшення кінцевого ефекту на величину двоїстої оцінки. Додаткові коефіцієнти заміщення останньої симплекс-таблиці показують зменшення, а від’ємні – збільшення

відповідних базисних значень при одиничному збільшенні небазисних додаткових змінних обмежень типу «≥».

Якщо збільшити випуск продукції В понад мінімум (SLK 7) на одиницю, то на основі значень коефіцієнтів заміщення стовпця SLK 7 значення цільової функції (ART) зменшиться на 1,858, залишок обладнання (SLK 2) зросте на 0,106, час роботи третьої технології

125

(X3) зменшиться на 0,008, а першої (X1) збільшиться на 0,084 одиниць, залишок фінансових ресурсів (SLK 5) зменшиться на 0,107 грн., час роботи четвертої технології (X4) зменшиться на 0,089, випуск кінцевої продукції Z зменшиться на 1,858 одиниць, випуск продукції С понад мінімум (SLK 8) зросте на 0,801 одиниць. ♦

Приклад 3.4. Провести післяоптимізаційний аналіз оптимального розв’язку задачі, знайденого з допомогою стандартної офісної програми EXCEL (приклад 2.9).

♦ Розв’язування.

Проведемо аналіз оптимального розв’язку. З допомогою діалогового вікна «Результаты поиска решения» можна викликати звіти таких типів:

результати;

стійкість;

границі.

Будь-який з цих звітів викликається натискуванням лівою клавішею на тип звіту.

Проаналізуємо звіт за результатами (таблиця 3.2). Він складається з трьох таблиць:

1.Перша містить відомості про цільову функцію.

В стовпчику «Исходно» подано значення цільової функції до початку обчислень, в стовпчику «Результат» – після обчислень.

2.Друга містить відомості про невідомі, одержані в результаті розв’язку задачі.

Аналогічно в стовпчику «Исходно» подано значення невідомих до початку обчислень, в стовпчику «Результат» – після обчислень.

3.Третя таблиця подає результати для обмежень.

Встовпчику «Значение» приведені величини використаних ресурсів і кількість тих видів продукції, на виробництво яких накладались обмеження. В стовпчику «Формула» подано залежності, що вводились у вікно «Поиск решения». В стовпчику «Состояние» вказується «связанное» у випадку, коли ресурс вичерпаний повністю, або продукція випущена в мінімально необхідному обсязі і «не связан» при невикористаному ресурсі, або якщо продукція випущена більше мінімального обсягу. В стовпчику «Разница» подається залишок ресурсу або кількість продукції, випущеної понад мінімальний обсяг.

126

									Таблиця 3.2
	A	B	C		D			E	F	G
1		Microsoft	Excel 7.0a Отчет		по результатам
2	Рабочий лист:
	[оптим2.xls]Лист2
3	Отчет создан:
4
5
6		Целевая ячейка
	(Макс)
7		Ячейка	Имя	Исходно			Результат
8		$F$6	коеф.в ЦФ	0			7135
9
10
11		Изменяемые	ячейки
12		Ячейка	Имя	Исходно			Результат
13		$B$3	значення	0			500
			Прод1
14		$C$3	значення	0			0
			Прод2
15		$D$3	значення	0			622,5
			Прод3
16		$E$3	значення	0			800
			Прод4
17
18
19		Ограничения
20		Ячейка	Имя	Значение			Формула		Состояние	Разница
21		$F$9	Трудові	78,125		$F$9<=$H$9			не связан.	421,875
			ліва част
22		$F$10	Сировина	3465		$F$10<=$H$10			не связан.	23035
			ліва част
23		$F$11	Фінанси	10090		$F$11<=$H$11			связанное	0
			ліва част
24		$B$3	значення	500		$B$3>=$B$4			связанное	0
			Прод1
25		$C$3	значення	0		$C$3>=$C$4			связанное	0
			Прод2
26		$D$3	значення	622,5		$D$3>=$D$4			не связан.	422,5
			Прод3
27		$E$3	значення	800		$E$3>=$E$4			связанное	0
			Прод4

127

Далі виконаємо аналіз звіту стосовно стійкості отриманих результатів (табл. 3.3), який складається з двох частин.

							Таблиця 3.3
	A	B	C	D	E	F	G	H
1		Microsoft	Excel 7.0a Отчет по устойчивости
2	Рабочий лист: [оптим2.xls]Лист2
3	Отчет создан:
4
5
6		Изменяемые	ячейки
7				Результ.	Редуц.	Целевой	Допустимое	Допустимое
8		Ячейка	Имя	значение	стоимость	Коэф-нт	Увеличение	Уменьшение
9		$B$3	значення Прод1	500	-4	2	4	1E+30
10		$C$3	значення Прод2	0	-6	3	6	1E+30
11		$D$3	значення Прод3	622,5	0	6	1E+30	4
12		$E$3	значення Прод4	800	-7,5	3	7,5	1E+30
13
14		Ограничения
15				Результ.	Теневая	Ограни-	Допустимое	Допустимое
						чение
16		Ячейка	Имя	значение	Цена	Правая	Увеличение	Уменьшение
						часть
17		$F$9	Трудові	78,125	0	500	1E+30	421,875
			ліва част
18		$F$10	Сировина	3465	0	26500	1E+30	23035
			ліва част
19		$F$11	Фінанси	10090	1,5	10090	33750	1690
			ліва част

Розглянемо першу частину табл. 3.3:

•в стовпчику «Результ. значение» наведено розв’язок задачі;

•в стовпчику «Редуц. стоимость» наведені двоїсті оцінки, які показують, наскільки зміниться значення цільової функції при примусовому введенні в оптимальний розв’язок одиниці продукції, яку, згідно з оптимальним розв’язком виготовляти недоцільно, чи при збільшенні на одиницю випуску продукції понад мінімальний обсяг (наприклад, при введені в план змінної Прод2 з значенням 1, цільова функція зменшиться на 6 грн., при випуску продукції Прод1 на одиницю більше мінімального обсягу (тобто 501) цільова функція зменшиться на 4 грн.);

•в стовпчику «Целевой коэффициент» наводяться коефіцієнти цільової функції;

•в стовпчиках «Допустимое увеличение» і «Допустимое уменьшение» задані граничні прирости коефіцієнтів цільової

128

функції, при яких зберігається структура оптимального плану, тобто зберігається базисний розв’язок.

В другій частині табл. 3.3 наводяться аналогічні значення для обмежень:

•в стовпчику «Результ. значение» наведені величини використаних ресурсів;

•в стовпчику «Теневая цена» наведені двоїсті оцінки, які показують, наскільки зміниться значення цільової функції при зміні використаних ресурсів на одиницю (наприклад, при збільшенні фінансів на 1 (тобто наявних фінансів буде 10091), прибуток зросте на 1,5 грн. (z = 7135 грн+1,5 грн.= 7136,5 грн.).

•в стовпчику «Ограничение, правая часть» наводяться праві частини нерівностей;

•в стовпчиках «Допустимое увеличение» і «Допустимое уменьшение» задані граничні прирости ресурсів, при яких зберігається набір змінних, що входять в оптимальний розв’язок.

Важливою складовою післяоптимізаційного аналізу є отримання звіту стосовно меж стійкості (табл. 3.4).

									Таблиця 3.4
	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
1		Microsoft	Excel 7.0a
	Отчет по пределам
2	Рабочий лист:
	[оптим2.xls]Лист2
3	Отчет создан:
4
5
6			Целевое
7		Ячейка	имя	Значение
8		$F$6	коеф.в ЦФ	7135
9
10
11			Изменяемое			Нижний	Целевой		Верхний	Целевой
12		Ячейка	имя	Значение		предел	результат		предел	результат
13		$B$3	значення	500		500	7135		500	7135
			Прод1
14		$C$3	значення	0		0	7135		0	7135
			Прод2
15		$D$3	значення	622,5		200	4600		622,5	7135
			Прод3
16		$E$3	значення	800		800	7135		800	7135
			Прод4

129

Вище зазначений аналіз показує, в яких межах може змінюватися випуск продукції, яка ввійшла в оптимальний розв’язок, при незмінності структури оптимального плану.

В першій частині табл. 3.4 наводиться значення цільової функції, а в другій – подані такі результати:

•в стовпчику «Значение» – оптимальний розв’язок;

•в стовпчику «Нижний предел» – нижні межі зміни значень xj;

•в стовпчику «Целевой результат» – значення цільової функції при нижніх межах. А саме, як бачимо, значення 4600 отримаємо таким чином: F=2×500+3×0+6×200+3×800=1000+1200+2400=4600;

•в наступних двох стовпчиках наведені відповідно верхні межі

значень xj і значення цільової функції при них.

Як доповнення післяоптимізаційного аналізу можна провести параметричний аналіз, під яким розуміють розв’язування задачі оптимізації при різних значеннях одного з параметрів. Проведемо параметричний аналіз для попередньої задачі при різних значеннях фінансових ресурсів. Нехай необхідно оцінити прибуток при значеннях фінансів, представлених в табл. 3.5.

					Таблиця 3.5
Варіант	1	2	3	4		5
Фінанси	10000	10500	11000	11500		12000

Викликаємо на екран таблицю з результатом розв’язку задачі (табл. 2.8) і знищуємо результат розв’язку.

1.Розв’язуємо задачу для 1-го варіанту.

1.1.Вводимо в комірку Н11 число 10000.

1.2.Сервис, Поиск решения...

1.3.Выполнить.

На екрані появляється вікно «Результаты поиска решений».

1.4.Сохранить сценарий...

1.5.Вводимо ім’я сценарію «фінанси = 10000».

1.6.ОК.

На екрані появляється вікно «Результаты поиска решений». 1.7. ОК.

На екрані появляється результат розв’язку задачі для варіанта

«фінанси =10000».

2.Розв’язування задачі для інших варіантів.

2.1.Вводимо в комірку Н11 наступне значення фінансів з табл. 3.5.

2.2.Виконуємо пункти 1.2 - 1.7, лише з відмінністю введення в пункті

1.5імені сценарію, що відповідає значенню фінансів.

130