Navch._posibnuk_Ivaschyk

Міністерство освіти і науки України Тернопільський національний економічний університет

Економіко-математичне моделювання

За редакцією O. Т. Іващука

Рекомендовано Міністерством освіти і науки України як навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів

Тернопіль

ТНЕУ

2008

УДК 330.4:519.86	Розповсюджувати та
ББК 65в 641Я73	передруковувати без
Е 45	офіційного дозволу
	ТНЕУ заборонено

Економіко-математичне моделювання: Навчальний посібник / За ред. О. Т. Іващука. – Тернопіль: ТНЕУ «Економічна думка», 2008. – 704 с.

У навчальному посібнику викладено методологічні основи економіко-математичного моделювання, розглянуто основні методи математичного програмування, розкрито інструментарій кількісної оцінки економічних процесів, наведено алгоритми прийняття вигідних управлінських рішень в умовах ризику та невизначеності і їхнє застосування у виробництві, економіці, фінансово-кредитній системі та бізнесі. Досліджено типові та модифіковані економіко-математичні моделі різних предметних областей, репрезентовано числові приклади вирішення конкретних прикладних проблем економіки.

Посібник призначено для бакалаврів, магістрів, аспірантів і викладачів економічних спеціальностей, а також для аналітиків і фахівців у сфері економічної діяльності.

Рецензенти: О. В. Мороз, доктор економічних наук, професор, завідувач кафедри менеджменту та моделювання в економіці Вінницького національного технічного університету;

М. М. Притула, доктор фізико-математичних наук, професор, завідувач кафедри дискретного аналізу та інтелектуальних систем Львівського національного університету ім. І. Франка;

С. П. Ріппа, доктор економічних наук, професор кафедри інтелектуальних систем прийняття рішень Національного університету ДПС України.

Рекомендовано до видання Вченою радою Тернопільського національного економічного університету, протокол № 7 від 28 травня 2008 р.

Гриф надано Міністерством освіти і науки України.

Лист 14/18 – Г–1238 від 31.05.08.

ISBN 978-966-654-242-0

©Колектив авторів, 2008

©Тернопільський національний економічний університет

2

ПЕРЕДМОВА

Для сучасної математики характерне інтенсивне проникнення в інші галузі знань, зокрема в економічні науки. У більшості випадків цей процес протікає завдяки диференціації математики на ряд самостійних галузей знань. Мова математики виявилася універсальною, що репрезентує об’єктивне відображення універсальності економічних законів навколишнього середовища.

Економіка як наука про об’єктивні причини розвитку суспільства ще з ранніх часів у своїх діяльності користується різноманітними кількісними характеристиками, і тому вона акумулювала в собі велике число математичних методів. Більш того, активність економічних досліджень стає рушійною силою для математиків у подальшому розвитку математичного інструментарію. Сьогодні в економічній науці на перший план ставиться математична модель як дієвий інструмент дослідження та прогнозування розвитку економічних процесів і явищ.

Математичну модель можна представити як внутрішньозамкнуту систему математичних співвідношень без протиріч, яка служить дієвим інструментом відтворення певного класу якісних або кількісних функціональних характеристик, властивих економічному процесу чи явищу, що вивчається. Вона розвиває наші уявлення про закономірності та взаємозв’язки економічних процесів і допомагає формуванню наукового мислення та навичок порівняльного аналізу на новому, більш високому рівні. Тому для визначення характерних особливостей класу математичних моделей, які застосовуються в економіці, використовується термін «економіко-математичне моделювання».

Можна стверджувати, що економіко-математичне моделювання за останні десятиліття сформувалося в окрему міждисциплінарну область знань із властивими їй об’єктами, підходами та методами дослідження. У зв’язку з цим все більш актуальним постає завдання цілеспрямованої підготовки спеціалістів-аналітиків у вищих навчальних закладах.

Щоби вільно володіти цим інструментарієм, потрібно насамперед опанувати знання з базових економічних дисциплін, тобто засвоїти об’єктивні закономірності, які діють у ринковому середовищі. В курсі «Математика для економістів» студентів навчають аналізувати взаємодію елементів у складних системах,

3

висувати та перевіряти гіпотези відносно їхнього розвитку в динаміці та просторі.

Знання інформатики та грамотне володіння комп’ютером дають можливість швидко та безпомилково продемонструвати теоретичні припущення у вигляді кількісних і якісних оцінок, а також вміло використати програмні продукти.

Враховуючи все вищезгадане, очевидно, що економікоматематичне моделювання як навчальна дисципліна поєднує теорію трьох дисциплін – економіки, математики та інформатики. Дисципліна показує, як застосовувати набуті знання до вирішення конкретних виробничих або інших ситуацій, головною метою яких є безкризове, стабільне функціонування відповідних інституцій при будь-яких змінах навколишнього ринкового середовища. Зрозуміло, що економікоматематичне моделювання як методологія та інструментарій у жодному разі не заперечує згадані дисципліни і не конкурує з ними, а, навпаки, синтезує та доповнює їх.

Тому кваліфікований аналітик, який використовує методи математичного моделювання у повсякденній практиці, певною мірою повинен бути:

а) економістом – щоб використовувати економічну теорію для аналізу емпіричних даних;

б) математиком – щоб формулювати економічну теорію засобами математичної мови, зробивши її придатною для побудови формалізованих схем та перевірки їх коректності;

в) спеціалістом у економічній статистиці – щоб володіти процесами формування інформаційної бази даних і вміти порівнювати у відповідності до змінних економічної теорії реально виміряні макрота мікроекономічні емпіричні показники;

г) спеціалістом в математичній статистиці – щоб використовувати для аналізу емпіричних даних кількісні методи.

До цього переліку слід додати необхідність обов’язкового знання та володіння комп’ютерною технікою, освоєння необхідних програмних продуктів, без використання яких сьогодні немислимий системний аналіз.

Застосування математичного апарату в економіці ґрунтується на засвоєнні необхідної бази математичних знань. Економікоматематичні методи – методологічний інструмент у професійній діяльності економістів-аналітиків, який допомагає їм вирішити два основні завдання: перше – визначити, чому у виробничо-економічній

4

системі чи іншій структурній інституції склалася поточна кризова ситуація, тобто провести комплексний економічний аналіз стану фінансово-господарської діяльності та виробити прогнозну стратегію наслідків прийнятих управлінських рішень на перспективу. Друге завдання полягає в кількісному обґрунтуванні процедури дій «що буде, якщо ….» для кожного з можливих сценаріїв розвитку, обираючи при цьому найбільш корисний (вигідний) за заданим критерієм або множиною критеріїв.

Освоєння математичних методів і інструментарію наукових досліджень дасть можливість майбутньому спеціалістові сформувати необхідні компоненти мислення: компетентність, світогляд і культуру, які будуть фахівцеві потрібні як у теоретичному плані, так і в плані орієнтації в професійній практичній діяльності.

Математичні методи в економіці серед інших методів посідають чільне місце. Це детерміновано вагомістю обчислень обсягів випуску продукції, попиту, цін, термінів і т.д., тобто обчислень змінних, вимірюваних кількісною шкалою.

Підсумовуючи сказане, констатуємо, що:

1.Економіка як будь-яка теоретична наука в якості інструментарію своїх досліджень використовує моделі, формалізованою мовою опису яких є математика. Крім того, наявний апарат математичних методів дає змогу знайти чисельні розв’язки побудованих моделей.

2.Наукові розробки з питань ринкової економіки неможливі без використання досить складного й одночасно доступного математичного інструментарію. У протилежному випадку, дослідження взаємодії математики і економки мають описовий характер або ж є звичною економічною публіцистикою.

Перше твердження покликане захищати економіку й особливо економічні дисципліни від насильного наповнення їх абстрактним математичним апаратом.

Друга теза відображає реальні вимоги до наукових досліджень у галузі економіки, прийняті у країнах з економікою ринкового типу. Свідченням цього є Нобелівські премії з економіки, якими з 1969 р. відзначали вчених, які активно використовували та розвивали математичні методи і моделі. Сьогодні все ширше використовується кількісний інструментарій сучасної математики та наявне програмне забезпечення.

5

В іноземних журналах і монографіях оперування математичним апаратом стала необхідною умовою для вирішення завдань соціально-економічного розвитку. Міжнародна практика переконує нас у високій ефективності застосування математичних методів при розв’язанні задач різних рівнів і напрямків економічного розвитку, в тому числі при дослідженні механізмів функціонування фінансової, банківської та ін. систем.

Разом із тим інструментарій математичного моделювання не дає однозначних відповідей чи рекомендацій, проте сприяє проведенню імітаційних розрахунків із використанням моделей при виборі різноманітних співвідношень параметрів або сценаріїв дій. Це дає можливість, наприклад оминути безпідставні дискусії про вибір фіскальної політики, визначення величини ставки податку на додану вартість, яка не призведе до інфляції.

Як бачимо, предметом навчальної дисципліни є інструментарій математичних методів, який застосовується до формалізації завдань реальних предметних областей, побудови моделей, знаходження їхніх оптимізаційних розв’язків і вироблення прогнозних рішень. При цьому об’єктом дослідження виступає економіка предметних областей разом із її структурними складовими.

Мета та завдання навчальної дисципліни полягають у формуванні в студентів системи знань з математичних методів і в набутті теоретичних основ і практичних навичок з питань постановки, розв’язування оптимізаційних та управлінських задач економіки інструментарієм математичних методів.

Навчальний посібник написаний відповідно до програми курсу «Економіко-математичне моделювання» для студентів-економістів вищих навчальних закладів.

У посібнику подано матеріал, який дає можливість читачеві отримати необхідні знання про використання інструментарію математичних методів при розв’язуванні конкретних прикладних оптимізаційних задач. Наведений матеріал певною мірою описує сучасний стан математичного апарату предмета дослідження дисципліни – методи математичного програмування, економетричного та імітаційного моделювання, прийняття управлінських рішень в умовах ризику та невизначеності.

Навчальний посібник підготував авторський колектив під керівництвом доцента О. Т. Іващука.

6

Передмова, розділи 1, 8, 9, 12, 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21

написані канд. екон. наук, доц. О. Т. Іващуком; розділи 2, 3, 4, 5, 6, 7

– Г. В. Сенів; розділи 10, 11 – канд. техн. наук, доц. К. М. Березькою; розділ 17 – канд. екон. наук, доц. С. А. Пласконь, В. Р. Дупай.

§1.4, 17.1 – Т. М. Фасолько.

§2.5, 3.4 – канд. техн. наук, доц. К. М. Березькою.

§6.2, 6.3 – канд. екон. наук, доц. С. А. Пласконь.

§4.5, 5.3, 9.7, 19.3 – канд. екон. наук., доц. О. О. Оконською.

§ 7.3,	9.4, 12.4, 12.5, 19.1,	19.2 – канд. екон. наук,	доц.
І. О. Іващук.
Щиро	вдячні рецензентам:	доктору екон. наук,	проф.

О.В. Морозу; доктору екон. наук, проф. С.П. Ріппі; доктору фіз.-мат. наук, проф. М.М. Притулі за прочитання рукопису і ряд корисних зауважень, що сприяло покращенню змісту посібника.

Виражаємо щиру подяку ст. інженерові кафедри економікоматематичних методів С. Г. Винниченко за підготовку рукопису до друку.

Будемо щиро вдячними за відгуки та пропозиції щодо вдосконалення структури і змісту посібника, які можна надсилати на адресу:

46000, м. Тернопіль, вул. Львівська, 11, Тернопільський національний економічний університет, кафедра економіко-математичних методів,

телефон [phone].

7

ГЛАВА І. МЕТОДИ МАТЕМАТИЧНОГО ПРОГРАМУВАННЯ ТА МОДЕЛЮВАННЯ ЕКОНОМІЧНИХ ПРОЦЕСІВ

Розділ 1. Концептуальні аспекти математичного моделювання економічних процесів

Економіко-математичне моделювання – наукова дисципліна, яка займається розробкою та практичним використанням математичного апарату: найбільш вигідного засобу керування різними соціальноекономічними системами та процесами.

Керування довільною системою реалізується як процес, який підпорядковується певним закономірностям. Знання цих закономірностей допомагає визначити умови необхідності та достатності успішного протікання окремого процесу. Для цього всі параметри, що характеризують процес і зовнішні умови, повинні бути кількісно визначеними. Отже, економіко-математичне моделювання – кількісне обґрунтування прийняття рішень відносно організаційного керування.

Сучасна економічна наука як на мікро-, так і на макрорівнях у своїх практичних дослідженнях широко використовує наявний інструментарій математичних методів для формалізованого опису існуючих стійких кількісних характеристик та закономірностей розвитку соціально-економічних систем.

Під соціально-економічною системою розуміємо складну імовірнісну динамічну систему, яка містить процеси виробництва, обміну, розподілу та споживання матеріальних й інших благ. Її відносять до класу кібернетичних, тобто керованих систем.

Багатокомпонентність і велика розмірність систем, зокрема соціально-економічних, може значно ускладнити процес відображення мети та обмежень в аналітичному вигляді. Тому виникає необхідність у проведенні процедури зменшення реальної розмірності задачі до таких меж, які б із достатнім ступенем точності адекватно відобразили реальну дійсність. Незважаючи на велике число змінних і обмежень, які на перший погляд слід враховувати в процесі аналізу реальних ситуацій, лише невелика їх частина виявляється суттєвою для опису поведінки досліджуваних систем. Тому при виконанні процедури спрощення опису реальних систем, на

8

основі якої буде побудована модель, насамперед необхідно ідентифікувати домінуючі змінні, параметри та обмеження.

Схематичне зображення рівнів абстракції, відповідно до процедури процесу переходу від системи-оригіналу до її моделі представлено на рис. 1.1.

Реальна система

Модель

Прообраз реальної системи

Рис. 1.1. Абстрактне зображення рівнів системи

Прообраз реальної системи відрізняється від системи-оригіналу тим, що в ньому відображено лише домінуючі чинники (змінні, їх параметри й обмеження), які визначають генеральну стратегію поведінки реальної системи.

Модель, яка буде прообразом реальної системи, є найбільш суттєвою для опису системи співвідношення у вигляді цільової функції та сукупності обмежень.

Єдиного визначення категорії системи не існує. У своїх дослідженнях ми будемо використовувати таку дефініцію: системою називається сукупність взаємозв’язаних структурних елементів, які сумісно реалізують визначені цілі. Множину елементів, що досліджується, можна розглядати як систему, якщо виконуються такі чотири ознаки:

•цілісність системи, тобто незвідність її властивостей до суми властивостей складових елементів системи;

•наявність мети та критерію дослідження множини елементів;

•наявність більш структурно-логічної, зовнішньої у відношенні до досліджуваної системи, називаної «середовищем»;

9

• можливість виділення в описуваній системі взаємозв’язаних частин (підсистем).

З поняттям системи тісно корелюють категорії надсистеми і підсистеми. Надсистема – середовище, яке оточує систему і в якому вона функціонує. Підсистема – підмножина елементів, що реалізують цілі, узгоджені з цілями системи.

Існує декілька підходів математичного опису складної системи. Найбільш загальним і доступним є теоретико-множинний підхід, при якому система S представляється відношенням S Х×Y , де відповідно, Х i Y – вхідні та вихідні об’єкти системи. Тобто припускається, що задана сукупність множин Vi, де i I – множина індексів, задається як деяка власна підмножина декартового добутку, всі компоненти котрого є об’єктами системи.

Предметом нашого дослідження буде економічна система, процесам функціонування якої властиві кількісні та якісні характеристики. До якісних характеристик віднесимо, наприклад, податкову реформу, приватизацію власності, радикальну перебудову зовнішньої діяльності, зміну інфраструктури, реформу аграрного сектора та ін.

Якісні характеристики економічної системи тісно пов’язані зі структурними зсувами в економіці.

У свою чергу кількісні характеристики охоплюють множину тих питань, які корелюють з регулюванням ринкової кон’юнктури, використанням фінансових і матеріальних ресурсів, вибором оптимальних технологічних способів виробництва, структури портфеля цінних паперів, оптимальних стратегій бізнес-планів та ін.

Кількісний аспект оцінки функціонування економічної системи на мікро- і на макрорівнях ґрунтується на використанні інструментарію математичних методів.

Використання кількісних методів в економічних дослідженнях дає можливість, по-перше, виділити та формально описати найбільш важливі й суттєві закономірності функціонування економічних систем і об’єктів у вигляді моделей.

По-друге, на основі сформульованих за певними правилами логіки вхідних даних і співвідношень, методами дедукції зробити висновки, які адекватні до об’єкта дослідження стосовно зроблених припущень.

По-третє, математичні методи дають можливість отримати дедуктивним шляхом нові дані про об’єкт дослідження.

10