Navch._posibnuk_Ivaschyk

		Z1	Z2 . . . Zk
	x1			y1
		Фінансовий об’єкт
				y2
	x2		(сфера чи ланка
		фінансових відносин)		#
	#
				ym
	xn

W1 W2

Wl

Рис. 1.4.5. Cхема взаємодії факторних характеристик об’єкта управління

Відповідно до наведеної схеми, функціональні характеристики об’єкта управління можна розділити на чотири групи: вхідна група (x1 , x2 ,..., xn ), вихідна група (y1 , y2 ,..., ym ), група регулюючих дій

(Z1 , Z2 ,..., Zk ) та група випадкових впливів (W1, W2,…,Wl).

Фінансові процеси служать для формування та розподілу фінансових ресурсів відповідно до певних правил, які можуть бути представленими у вигляді алгоритмів і програмних систем.

У фінансовому процесі основні операції, що необхідні для переміщення фінансових ресурсів, здійснюються з допомогою певної керуючої підсистеми. Окреслена підсистема має справу з центром нагромадження – розподілом, сукупністю платників і користувачів фінансових ресурсів. Її функціонування базується на закономірностях, визначених для кібернетичних систем керування. Розглянемо основні положення, що випливають із кібернетичного підходу, стосовно відношень і подій соціально-економічних систем.

Як відомо, процес керування певним об’єктом соціальноекономічної системи можна представити у вигляді замкнутого контура, схематичне зображення якого подане на рис. 1.4.6.

41

Зовнішнє середовище

Дія середовища

Об’єкт

Фактичний

стан

Порівняння,

аналіз

Ціль

траєкторія

Інформація

про

середовище

Вироблення

Cистема

керуючих

рішень

цілеспрямованості

Керуюча підсистема

Рис. 1.4.6. Замкнутий контур керування динамічним об’єктом

Об’єкт або процес, керування яким здійснюється в заданому контурі, має певну кількість ступенів вільності чи координат. Сукупність значень координат задає положення об’єкта в конкретному просторі. Так, якщо об’єктом є автомобіль, то він має дві просторові координати, а літак – три. Для економічних об’єктів часто координатами виступають незалежні показники. Об’єкт може бути складним і складатися з певного числа частин або елементів, тобто є системою. Наприклад, бюджет складається з розділів, кожен із яких в свою чергу ділиться на глави, а глава складається з параграфів, які включають у себе статті.

Для нас представляють інтереси динамічні об’єкти, тобто ті, для яких однією з координат буде час. Вони мають властивість змінювати свій стан протягом часу, причому перехід від одного стану до іншого не стається миттєво.

Перед тим як керувати об’єктом, необхідно визначити його початковий стан (значення координат у початковий момент часу) та мету (ціль) – положення об’єкта в майбутній момент часу. Якщо мати на увазі державні фінанси, то метою може бути розмір бюджетного дефіциту, пропорції в асигнуванні, що виділяються для різноманітних

42

цілей (розділів і глав), щоквартальні розміри цих асигнувань. Значення показників визначаються у процесі складання бюджету і приймаються як законодавчий акт.

Завданням керування є досягнення об’єктом поставленої мети, починаючи із заданого стартового стану за певний проміжок часу. У загальному випадку просування до мети може здійснюватися множиною способів. При кожному із них координати об’єкта приймають множину значень за час свого руху. Ця множина має назву траєкторії (рис. 1.4.7). Якщо ми розглянемо тільки одну координату економіки (рівень інфляції), то послідовність її щодекадних значень за рік й буде фактичною траєкторією. Той, хто керує об’єктом (керуюча система), із можливої множини повинен вибрати найбільш доцільну (вигідну, корисну) траєкторію руху до мети. Тут ми свідомо опускаємо термін оптимальність, оскільки для реальних систем (податкової чи бюджетної) у більшості випадків критерій оптимальності важко сформулювати конструктивно, особливо практично реалізувати.

x	t0	– початковий стан,
	tn	– кінцевий стан.

t = t0

t = tn

t

Рис. 1.4.7. Область можливих траєкторій об’єкта

Об’єкт перебуває у деякому середовищі, яке здатне в процесі руху впливати на нього й «збивати» із вигідної траєкторії, що призводить до переходу на іншу, яка не проходить через задану цільову точку. Якщо ми маємо справу з бюджетом, то це може бути, наприклад, стихійне лихо, на ліквідацію якого будуть потрібні значні асигнування, або ж інші події, що призведуть до збільшення виплат і компенсацій з бюджету.

43

У реальних системах, навіть при відомих параметрах управління, процес вироблення управлінських дій і доведення їх до об’єкта керування дуже складний. Особливо це стосується процесу прийняття рішень і організації їх виконання. Насамперед для прийняття рішень необхідна добра інформаційна база – дані про фактичний стан об’єкта керування у поточний момент та інформація про поведінку за попередній відрізок часу, а також дані, на основі яких була розрахована вигідна траєкторія, і, звичайно, сама ж траєкторія. Слід теж мати деяку модель, яка дозволить оцінити й спрогнозувати поведінку об’єкта при різних варіантах поведінки середовища та керуючих дій. Ця модель або система моделей може бути представлена системою рівнянь і нерівностей, які складають основу алгоритмів програмних продуктів.

Фінансовий процес як об’єкт керування можна представити у вигляді трьох структурних складових: множини платежів Х; множини організацій, які відображають центр нагромадження розподілу Z; множини користувачів V.

Кожна з цих множин має властивості, сукупність яких, відповідно, позначимо G(X ),G(Z )iG(V ). Ці властивості часом

називають змінними об’єкта керування. Вони визначають систему координат для опису фінансового процесу. Наприклад, кожний з елементів, що входять до об’єкта, має в якості властивостей рахунки в банках. Сукупність значень властивостей елементів об’єкта

керування {Gt (X ),Gt (Z ),Gt (V )} однозначно визначає стан

фінансового процесу у вибраній системі координат на деякий момент часу t.

За останні роки зріс інтерес до еволюційних моделей, у яких множина економічних об’єктів розглядається у вигляді певної популяції, в якій елементи можуть з’являтися, зникати, нагромаджуватися, передавати досвід і зазнавати мутацій. До цих моделей потрібно віднести нейронні мережі та імітаційні моделі.

Більшість фінансових процесів можна описати з допомогою математичного апарату перехідних процесів. До моделей перехідних процесів можна віднести моделі динамічного програмування, моделі марківських процесів, системи масового обслуговування. Для цих моделей характерні поняття: стан системи, можливі переходи системи під дією певних факторів із одного стану в інший. Залежно від правил і умов таких переходів, існує класифікація процесів (дискретні, неперервні, випадкові, керовані та інші).

44

Моделі різного виду систем, функціонування котрих залежить від ряду випадкових факторів, можуть бути сформульованими з допомогою термінів, так званих випадкових процесів. Для їх аналізу будуються імовірнісні моделі поведінки, що враховують вплив цих випадкових факторів на значення основних шуканих параметрів і оцінюють рівень ризику.

При формуванні бюджету, здійсненні оцінки його виконання протягом фінансового року доводиться мати справу з прогнозом його дохідної частини на основі фактичної траєкторії за попередній період. Тут використовується математичний апарат динамічних рядів. У період структурної перебудови економіки ці моделі недостатньо адекватно описують наявні економічні процеси, оскільки в їх основу закладаються негативні тенденції відносно темпів економічного зростання.

Отже, констатуємо, що моделювання фінансових процесів використовується як для оцінки статики чи порівняльної статики, так і для аналізу та прогнозу їх динаміки на короткострокові та довгострокові перспективи. У той же час потребує подальшого розвитку концепція побудови моделей представлення фінансових технологій, що визначають правила руху фінансових ресурсів, моніторинг описуваного процесу. Крім цього, динаміка змін в економіці у 90-х роках ХХ століття теж вимагає нових підходів при моделюванні сфер і ланок фінансових відносин.

1.5.Питання для самоконтролю

1.Опишіть характерні можливості використання кількісних методів в економічних дослідженнях.

2.Дайте визначення та схематичне зображення кількісних методів.

3.Охарактеризуйте основні складові моделювання соціальноекономічних процесів.

4.Що означає термін «соціально-економічна система»?

5.Схематично опишіть абстрактне зображення рівнів системи.

6.Дайте дефініцію системи та підсистеми.

7.Охарактеризуйте підходи математичного опису складної системи.

8.Які задачі входять до класу задач системного аналізу?

9.Дайте тлумачення моделі та моделювання.

45

10.Опишіть основні етапи моделювання та їх характеристики.

11.Які елементи входять до складу моделі?

12.Дайте визначення основних складових економікоматематичної моделі.

13.Які дисципліни складають теоретичну основу математичного моделювання? Коротко опишіть їхню структуру.

14.Чим визначається вид і характер економіко-математичної моделі?

15.Які ознаки покладені в основу класифікації економікоматематичної моделі?

16.Опишіть якісні характеристики основних економічних моделей.

17.Дайте схематичну класифікацію математичних моделей.

18.Дайте дефініцію загальних принципів економікоматематичного моделювання.

19.Охарактеризуйте поняття концептуальної моделі.

20.Для яких цілей будуються моделі?

21.Що включає у себе предметна область економікоматематичного моделювання?

22.Перерахуйте й опишіть характерні особливості математичного моделювання.

23.Сформулюйте особливості фінансової системи як об’єкта моделювання.

24.Опишіть схему взаємодії факторних характеристик фінансового об’єкта управління.

25.Схематично охарактеризуйте процес керування динамічним об’єктом.

26.Опишіть структурні складові фінансового процесу.

46

Розділ 2. Моделі задач лінійного програмування та методи їх розв’язування

2.1.Постановка задач лінійного програмування, їх моделі та основні форми

Структурні складові економічної системи мають мету (ціль) свого розвитку та функціонування. Це може бути, наприклад, отримання максимально чистого прибутку чи валового випуску, мінімізація витрат чи відходів та інше. Ступінь досягнення мети, в більшості випадків, має кількісну характеристику, тобто її можна описати математично. Нехай Z – обрана ціль.

Загальну лінійну математичну модель формалізації економічних процесів і явищ, так звану загальну задачу лінійного програмування, можна подати у вигляді:

знайти максимум (мінімум) функції

Z = c0 + c1x1 + c2 x2 +... + cn xn ,

за умов

a x

+ a x

2

+... + a

x

{≤,=,≥}b ,

11 1

12

1n

n

1

a21x1 + a22 x2 +... + a2n xn{≤,=,≥}b2 ,

.....................................................

a

x

+ a

m2

x

2

+... + a

mn

x

{≤,=,≥}b

,

m1 1

n

m

x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,..., xn ≥ 0 .

(2.1)

(2.2)

(2.3)

Функцію Z називають цільовою функцією або функцією мети.

Для економічної системи це є функція ефективності її функціонування та розвитку.

Сформулюємо загальне визначення задачі лінійного програмування таким чином:

Необхідно знайти такі значення керованих змінних хj, щоб цільова функція при цих значеннях набувала екстремального (мінімального чи максимального) значення за виконання певної множини умов.

Отже, потрібно знайти значення змінних x1, x2,…, xn, які задовольняють умови (2.2) і (2.3), при яких цільова функція (2.1) набуває екстремального (максимального чи мінімального) значення. Набір символів {≤, =,≥} в (2.2) означає, що для деяких значень

47

індексу i (i =1, n) виконуються нерівності «≤», для інших – рівності

(=), а для решти – нерівності типу «≥».

Система (2.2)-(2.3) називається системою обмежень або системою умов задачі. Вона описує внутрішні технологічні та економічні процеси функціонування і розвитку виробничоекономічної системи, а також процеси зовнішнього середовища, які впливають на результат діяльності системи. Для економічних систем змінні хj мають бути невід’ємними.

Формалізований запис задачі (2.1)-(2.3) є загальною економікоматематичною моделлю функціонування умовної економічної системи. Розробляючи окреслену модель, потрібно керуватися такими правилами:

1)модель має адекватно описувати реальні економічні та технологічні процеси;

2)у моделі потрібно враховувати все істотне, суттєве в досліджуваному явищі чи процесі, відкидаючи все другорядне, неістотне;

3)модель має бути зрозумілою для користувача;

4)треба забезпечити, щоб множина наборів хj була непустою. Для цього в економіко-математичних моделях потрібно якнайменше використовувати обмеження-рівності, а також суперечливі обмеження.

Будь-який набір змінних x1, x2,…, xn, що задовольняє умови (2.2) та (2.3), називають допустимим планом або планом. Очевидно, що кожний допустимий план є відповідною стратегією економічної системи, програмою дій. Кожному допустимому плану відповідає значення цільової функції, яке обчислюється за формулою (2.1).

Сукупність усіх розв’язків систем обмежень (2.2) та (2.3), тобто множина всіх допустимих планів, становить область існування планів.

План, за якого цільова функція набуває екстремального значення, називається оптимальним. Оптимальний план є розв’язком задачі математичного програмування (2.1)-(2.3).

Слід відзначити, що в задачі математичного програмування передбачається одна цільова функція, яка кількісно виражена. В реальних економічних системах на роль критерію оптимальності (ефективності) претендують багато показників. Наприклад, максимум чистого доходу від виготовленої продукції чи максимум рентабельності, мінімум собівартості виготовленої продукції або

48

мінімум витрат дефіцитних ресурсів і т.д. Хоча загальна задача математичного програмування передбачає одну цільову функцію, але існують математичні методи побудови компромісних планів, тобто методи багатокритеріальної оптимізації.

Розглянемо найпростіші математичні моделі задач лінійного програмування (ЛП):

1) Задача про використання ресурсів (сировини).

Для виготовлення двох видів продукції П1 та П2 використовуються три види сировини S1, S2, S3. Запаси сировини, норми витрат сировини на виготовлення одиниці продукції кожного виду та дохід від одиниці продукції кожного виду наведені в таблиці:

	Вид	Запаси	Витрати сировини на виготовлення
			одиниці продукції
	сировини	сировини
			П1	П2
	S1	b1	a11	a12
	S2	b2	a21	a22
	S3	b3	a31	a32
	Дохід від одиниці продукції		с1	с2

Необхідно знайти такий план виробництва продукції, який забезпечить найбільший сумарний дохід.

Побудуємо математичну модель задачі. Позначимо: х1, х2 – загальна кількість продукції П1 та П2;

Z – сумарний дохід, який отримаємо від реалізації всієї продукції

П1 та П2.

Запишемо цільову функцію задачі. Дохід від реалізації одиниці продукції П1 становить с1, а всього цієї продукції плануємо випустити х1 одиниць, тому перемноживши с1 на х1, отримаємо весь дохід, який матимемо від реалізації всієї продукції. Аналогічно дохід від реалізації продукції П2 становитиме с2х2. Додамо ці два доданки (с1х1+с2х2) і отримаємо весь дохід від реалізації всієї продукції П1 та П2. Оскільки ми хочемо отримати найбільший дохід, то будемо знаходити максимальне значення цільової функції:

Z = c1 x1 + c2 x2 (max).

Тепер потрібно записати обмеження задачі. Нам відомо, скільки ресурсів кожного виду затрачається на виготовлення одиниці

49

продукції кожного виду. Так, на виготовлення одиниці продукції П1 ресурсу (сировини) S1 витрачаємо a11, всього продукції П1 плануємо виготовити х1 одиниць. Перемножимо a11 на х1 і отримаємо ту кількість ресурсу S1, яка піде на виготовлення всієї продукції П1. Цього ж ресурсу S1 на виготовлення одиниці продукції П2 затрачаємо a12, а плануємо виготовити х2 одиниць продукції П2, тому, коли перемножимо a12 на х2, будемо мати кількість ресурсу S1, затрачену на виготовлення всієї продукції П2. Якщо додамо a11х1 та a12х2, то отримаємо сумарні витрати ресурсу S1 на виготовлення всієї продукції П1 та П2. Але запас кожного виду ресурсу обмежений і використати більше, ніж ми маємо, не можемо. Запас ресурсу S1 становить b1. Тому обмеження з використання ресурсу S1 матиме вигляд: a11 x1 + a12 x2 ≤ b1 . Аналогічно запишемо обмеження з

використання ресурсів S2 та S3:

a21 x1 + a22 x2 ≤ b2 , a31 x1 + a32 x2 ≤ b3 .

Очевидно, що невідомі х1, х2 не можуть бути від’ємними. Причому рівність нулю однієї з них означає, що даний вид продукції виготовляти недоцільно.

Ми отримали таку задачу лінійного програмування:

Z = c1 x1 +c2 x2							(max),	(2.4)
a11x1 + a12 x2 ≤ b1,
a		x	+ a	22	x	2	≤ b ,
	21 1						2
a31x1			+ a32 x2				≤ b3 ,	(2.5)
x		≥ 0,
1
		≥ 0.
x2

Функція (2.4) – це цільова функція або функція мети, (2.5) – система обмежень нашої задачі, причому перші три обмеження (2.5) називають основними обмеженнями, а останні два (обмеження на знак змінних х1 та х2) – природними чи економічними.

2) Узагальнена модель оптимального планування.

Розглянемо загальну модель оптимального планування. Припустимо, що планується організувати випуск продукції r видів за допомогою m можливих технологій. Для цього використовується n

50