1		2				3	4
8	Інтегрування ірраціональних виразів.					2
9	Обчислення визначених інтегралів. Заміна змінної і					2	1
	інтегрування частинами визначених інтегралів
10	Дослідження збіжності невласних інтегралів.					2
11	Обчислення довжин дуг.					2	1
12	Обчислення площ плоских фігур і об’ємів тіл.					2	1
13	Обчислення площ поверхонь тіл обертання. Фізичні					2
	застосування визначеного інтеграла.
14	Диференціальні	рівняння	І	порядку	з	2
	відокремлюваними змінними і однорідні.
15	Лінійні диференціальні рівняння І порядку.					2	1
	Рівняння Бернуллі.
16	Диференціальні	рівняння ІІ порядку, що				2	1
	допускають пониження порядку. Лінійні однорідні
	диференціальні рівняння.
17	Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння.					2
18	Системи диференціальних рівнянь.					2
	Всього					36	8

9

1.3 Структура залікового кредиту

		Кількість годин
Назви тем, змістових	Лекцій	Практич­	Самос­	Разом
		них	тійна та
модулів			індиві­
			дуальна
			робота
Змістовий модуль 1.	10/2	16/3	14/35	40/40
Невизначений інтеграл.
Тема 1.	4/1	8/2	7/16	19/18
Тема 2.	6/1	8/1	7/19	21/22
Змістовий модуль 2.	10/2	10/3	20/35	40/40
Визначений інтеграл.
Тема 3.	4/1	4/2	10/15	18/18
Тема 4.	6/1	6/1	10/20	22/22
Змістовий модуль 3.	10/2	10/2	35/51	55/55
Звичайні диференціальні
рівняння.
Тема 5.	4/1	4/1	12/18	20/20
Тема 6.	4/1	4/1	8/14	16/16
Тема 7.	2/0	2/0	15/19	19/19
Всього годин	30/6	36/8	69/121	135/135

10

1.4. Розподіл балів, що присвоюються студентам згідно кредитно­модульної системи

				Модуль 1						Підсум­	Сума
										ковий
										контроль
Змістовий		Змістовий			Змістовий модуль 3					іспит
модуль 1		модуль 2								40	100
20 ( 10 + 10)		20 ( 10 + 10)					20 ( 10 + 10)
Т­1	Т­2	Т­3	Т­4		Т­5		Т­6	Т­7
10	10	10	10		5		10	5

Додаткові бали (в кожному змістовому модулі – 10 б.):

­теорія: основні означення, формули і теореми ­ (3 б.);

­відвідування занять (2 б.);

­виконання домашніх завдань – (2б.);

­активність на занятті, вихід до дошки – (1 б.);

­виконання індивідуального завдання для підготовки до іспиту

(2 б.).

11

2. Змістовий модуль № 1 “Невизначений інтеграл”

2.1. Методичні рекомендації до вивчення змістового модуля №1 “Невизначений інтеграл”

Шановні студенти. Ви приступаєте до вивчення нового розділу навчальної програми “Невизначений інтеграл”. В цьому розділі розглядається операція обернена по відношенню до операції диференціювання, тобто операція знаходження невідомої функції за відомою похідною цієї функції. Ця операція є набагато складнішою ніж диференціювання і потребує наполегливої праці. Чим швидше ви позбавитесь від ейфорії, яка виникла у вас під час вивчення попередніх розділів програми, тим краще. Кавалерійським наскоком цей розділ не опануєш. А він є базовим для багатьох наступних розділів програми. До кожного практичного заняття потрібно ретельно готуватися, вивчаючи відповідний теоретичний матеріал. Інакше ці заняття пройдуть для вас даремно і залишать тільки гіркий присмак зростаючої невпевненості в собі та своїй здібності. Для прикладу знайдемо похідну і невизначений інтеграл від однієї і тієї ж

функції	f x =		1		.
		x4 1
Похідна:
f ' x =		−1		4 x3 .
		x 4 1 2
Невизначений інтеграл:							dx	.
						∫ x4 1

Підінтегральна функція є правильний раціональний дріб. Розкла­ демо її на суму найпростіших.

12

dx

=

dx

=

∫ x4 1

∫ x2 x 2 1 x2− x 2 1

=∫

A1 x B1

A2 x B2

dx.

x2 x

1

x2 −x

1

2

2

Знайдемо коефіцієнти розкладу:

A1 x B1 x2−x 2 1 A2 x B2 x2 x 2 1 =1 .

x=0 : B1 B2=1; x3 : A1 A2=0;

x2 : −A1 2 B1 A2 2 B2=0 ; x : A1 A2−B1 2 B2 2=0.

З врахуванням перших двох рівнянь два останні рівняння суттєво спрощуються.

x2 : −A1

2

A2

2

1=0 ;

x :

−B1

2

B2

2

=0.

Або:

x2 :

−A1 A2=−

1

;

x :

B1=B2 .

1

2

−1

=1 ;

1

Звідки:

A

=

;

A

=

;

B

B

=

;

2 2

1

2

2

2

1

2

2

2

Отже:

13

																										1																		1																		−1													1
																																								x 2																														x 2
																										2																																				2
								dx																										2																																2
			∫															=∫																																																																				dx=
						x4 1																		x2 x																						1												x2−x																			1
																																											2																														2
										1								2 x																								1												1								2 x−																			− 1
																												2																																															2
								4
		=∫												2																												4			−						4 2																																				4											dx=
														x2 x 2 1																																											x2−x 2 1
										1								ln x 2 x																							1−															1								x2−x																			1
				=																																2																																													2
						4								2																																						4				2
	1							dx															1																								dx														1																							x2 x 2 1
		∫																								∫																																					=															ln x2−x																								1
	4		x2 x													1							4												x2−x																				1												4
													2																																							2																				2																													2
																										1																																																	1
																		d x																																																	d x−
				1		∫																									2																					1			∫																													2																=
																							2																					2																	x− 2														2																							2
				4						x 2 2																																										4																									2
														1																				1																											1																										1
																																																																														x									1
																			x2 x																																	1													arctg
						1																												2 1																																																										2
		=													ln																																														2
						4 2 x2−x 2 1																																														4																							1
																																																																																						2
																										1
												arctg										x−
																																																																	ln			x2 x
				1																														2						C=																1																															2 1
									2
				4																						1																										4				2 x2−x 2 1
																													2				1
									2			arctg x																																								2			arctg x
																													2																																														2−1 C.
						4																																						4

Для подальшого спрощення результату використаємо формулу:

14

arctg x arctg y=arctg

x y

.

1−xy

Одержимо:

1 x2 x

1

x

dx

2

2

2

∫

=

ln

4 arctg

C .

x4 1

4

x2−x

1

1−x2

2

2

Вираз, що стоїть під знаком логарифма додатний. Отже

			1 x2 x							1					x
	dx							2					2			2
∫		=				ln						4 arctg						C .
	x4 1		4				x2−x		1						1−x2
				2				2

Не потрібно зараз розбиратися, як знайдено цей інтеграл. Поверніться до нього після вивчення розділу “Невизначений інтеграл” і ви зрозумієте які методи було використано для знаходження цього інтегралу.

Зауваження. В зв'язку з надзвичайно важливим значенням розділу “Невизначений інтеграл”, без засвоєння якого неможливе успішне вивчення майже всіх наступних розділів курсу “Вища математика” і значним скороченням кількості занять, відведених навчальним планом на розгляд цього розділу, вважаємо за доцільне для допомоги студентам всіх форм навчання навести конспект лекцій, методичні поради до практичних занять, та індивідуальні завдання (ТР) з вказаного розділу. Крім того для успішного вивчення розділу “Невизначений інтеграл” слід обов'язково використовувати рекомендовану літературу, зокрема підручник Пискунова Н.С. [4]

15

2.2Конспект лекцій. Розділ І “Невизначений інтеграл”

§1.1. Поняття первісної функції і невизначеного інтегралу П.1. Поняття первісної функції

Означення. Функція F(x) називається первісною функцією для функції f(x) на деякому проміжку (a;b), якщо:

1)функція F(x) неперервна на проміжку (a;b);

2)в усіх внутрішніх точках x проміжку (a;b) функція F(x) має похідну і F'(x) = f(x).

Зауваження. Проміжок може бути скінченним або нескінченним.

Приклад 1. Функція

F x =12 sin x

25−x2

є первісною для

функції

f x =cos x−

x

на проміжку (­5;5) ,

бо в кожній

25− x2

точці цього проміжку виконується умова

F ' x = 12 sin x

'=cos x−

x

25−x2

= f x .

25−x 2

Приклад 2. Функція

F x =2 x8 cos x

є первісною для функції

f x =16 x7−sin x

на проміжку −∞; ∞

, бо в кожній точці

цього проміжку виконується умова

F ' x = 2 x8 cos x '=16 x7−sin x= f x .

Приклад

3. Функція

F x =7x 5ln x

є

первісною

для функції

f x =7

5

на проміжку 0;∞ ,

бо

в

кожній

точці цього

x

проміжку виконується умова F ' x = 7 x 5 ln x '=7 5 = f x . x

16

Із означення первісної і властивостей похідної випливає, що у випадку, коли функція F(x) є первісною для функції f(x) на проміжку (a,b), то і функція F(x) + C, де C ­ будь­яка стала, також буде первісною для функції f(x) на цьому проміжку.

Дійсно: (F(x) + C)' =F'(x) = f(x) для всіх x з цього проміжку. Виникає питання: як пов'язані між собою різні первісні для однієї і тієї ж функції f(x) ? Відповідь на нього дає наступна теорема.

Теорема 1. Якщо F1 (x) і F2(x) — дві будь­які первісні для функції f(x) на проміжку (a,b) , то в усіх точках цього проміжку виконується умова: F2(x) — F1(x) = C, де C — деяка стала. Іншими словами, дві будь­які первісні для однієї і тієї ж функції можуть відрізнятися одна від одної лише на сталу.

Доведення. Нехай F1 (x) і F2(x) — дві будь­які первісні для функції f(x) на проміжку (a,b) , отже в усіх точках цього проміжку виконуються умови: F'1 (x)= f(x) і F'2(x) = f(x). Розглянемо функцію

F(x) = F2(x) ­ F1(x). Знайдемо її похідну: F'(x) = (F2(x) ­ F1(x))' = F'2(x) ­ F'1 (x) = f(x) ­ f(x) = 0. З курсу диференціального числення відомо, що у випадку, коли функція F(x) диференційована на проміжку (a,b) і у всіх точках цього проміжку її похідна дорівнює нулю, то ця функція є сталою на вказаному проміжку. Отже F(x) = F2(x) ­ F1(x)= С = const.

Наслідок. Якщо F(x) яка­небудь первісна для функції f(x) на проміжку (a,b) , то сукупність всіх первісних функцій для функції f(x) на цьому проміжку має вид: F(x)+ С, де C — деяка стала.

П.2 Невизначений інтеграл

Означення. Сукупність всіх первісних функцій деяка стала, для функції f(x) на проміжку невизначеним інтегралом від функції f(x) на

F(x)+С, де C — (a,b) називається цьому проміжку і

17

позначається символом ∫ f ( x)dx .

При цьому знак ∫ називають знаком невизначеного інтегралу;

функцію f(x) — підінтегральною функцією; вираз f(x)dx — підінтегральним виразом; змінну х — змінною інтегрування.

Таким чином, згідно з означенням
∫ f x dx=F x C.	(1)

З геометричної точки зору невизначений інтеграл у=F x C представляє собою сімейство кривих, які можна одержати з графіка функції у=F x шляхом паралельного переносу на C оди­ ниць вздовж осі ординат у напрямку, що співпадає із знаком С .

Відмітимо без доведення, що для кожної функції f(x), неперервної на проміжку (a,b) існує на цьому проміжку первісна функція F(x), а , отже, і невизначений інтеграл (теорема Коші або теорема існування невизначеного інтегралу).

П.3 Основні властивості невизначеного інтегралу

Нехай F(x) є первісною для функції f(x) на проміжку (a,b).

1. Похідна від невизначеного інтеграла ∫ f x dx дорівнює підінтегральній функції f(x) .

∫ f x dx '= F x C ' =F ' x = f x .

2. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінте­ гральному виразу.

d ∫ f x dx = ∫ f x dx ' dx= f x dx.

3. Невизначений інтеграл	від диференціала деякої неперервної
диференційованої функції	ϕ( x) дорівнює сумі цієї функції і

18

довільної сталої С, тобто ∫d ϕ( x)=ϕ(x)+C ,деC=const.

∫d ϕ( x)=∫(ϕ(x))' dx=ϕ( x)+C , бо ϕ( x) є первісною для

ϕ ' (x) на заданому проміжку.

Дві наступні властивості називаються лінійними властивостями невизначеного інтегралу.

4. ∫ f 1 x ± f 2 x dx=∫ f 1 x dx±∫ f 2 x dx.

5. ∫a f x dx=a∫ f x dx , де a=const.

Слід мати на увазі, що рівність в цих формулах носить умовний характер: тобто її слід розуміти як рівність правої і лівої частин з точністю до довільної сталої.

Знайдемо похідні від лівої і правої частин рівності (4).

∫ f 1 x ± f 2 x dx '= f 1 x ± f 2 x .

∫ f 1 x dx±∫ f 2 x dx ' = ∫ f 1 x dx ' ± ∫ f 2 x dx ' = = f 1 x ± f 2 x .

Так як знайдені похідні рівні, то в обох частинах рівності (4) знаходяться первісні від однієї і тієї ж функції, які можуть відрізнятися одна від одної лише сталим доданком. Аналогічно доводиться рівність (5).

П.4 Таблиця основних невизначених інтегралів

З курсу диференціального числення нам відома таблиця похідних деяких простих елементарних функцій. Кожна формула таблиці

19

похідних, яка встановлює, що та чи інша функція F(x) має похідну f(x) приводить з врахуванням означення невизначеного інтегралу до відповідної формули інтегрального числення. Наприклад:

tg x ' =	1	;	звідки	∫	dx		=tg x C.
	2				2
	cos x				cos	x

Будь­яка формула інтегрування зберігає свій вигляд незалежно від того якою є змінна інтегрування: незалежною змінною чи диференційованою функцію (властивість інваріантності формул інтегрування).

Нехай u= u (х) диференційована функція. Тоді, якщо

∫ f x dx=F x C , то і ∫ f u du=F u C .

Наприклад:

Якщо

∫x3 dx=

x4

C

, то і

∫arctg3 x d arctg x=arctg4 x

C .

4

4

∫ dx

=2

∫ d

4 sin x

=2

C .

Якщо

x

C

, то і

4 sin x

x

4 sin x

Наведемо таблицю основних невизначених інтегралів.

№п/п

Невизначений інтеграл

1

2

1

∫du = u C ;

2

∫u du =

u

1

C ; ≠−1 ;

1

20

1

2

3

∫ du2

= −1 C ;

u

u

4

du

= 2 u C ;

∫

u

5

du = ln u C ;

∫ u

6

u

∫au du =

a

+C ,де 0 <a≠1;

ln a

7

∫eu du =eu C ;

8

∫sin u du = −cosu C ;

9

∫cos u du = sin u C ;

10

∫

du

= ln tg(2u)+C ;

sin u

11

du

u

∫

= ln tg (2 + π4 )+C ;

cosu

12

∫

du

= tgu+C ;

cos2 u

13

∫

du

= −ctg u+C ;

sin2 u

14

∫tg udu = −ln cosu +C ;

15

∫ctg u du = ln sin u +C ;

21

1

2

16

∫

du

=

1 arctg u +C ;

2

2

a +u

a

a

17

∫

du

=arctg u +C ;

2

1+u

18

∫

du

u

= arcsin a C ;

a2−u2

19

∫

du

= arcsin u C ;

1−u2

20

du

1

a+u

∫

=

ln a−u

+C ;

a2−u2

2 a

21

du

1

a−u

∫

=

ln a+u

+C ;

u2−a2

2 a

22

∫

du

= ln u+

√

+C ;

u2±a

√u2±a

23

∫sh u du = ch u +C ;

24

∫ch u du = sh u +C ;

25

∫

du

= th u+C ;

ch2 u

26

∫

du

= − cth u+C ;

sh2 u

Для перевірки цих формул достатньо переконатись, що похідні від виразів, що стоять у правих частинах цих формул, співпадають з відповідними підінтегральними функціями.

22

На відміну від операції диференціювання інтеграли від деяких елементарних функцій вже не будуть елементарними функціями. Наведемо приклади таких інтегралів .

1.∫e−x2 dx ­ інтеграл Пуассона, застосовується у теорії

ймовірностей.

2.	∫cos(x2)dx ,∫sin (x2)dx ­ інтеграли Френеля,

застосовуються в оптиці.

3. ∫ lndxx , 0 x≠1 ­ інтегральний логарифм.

4.	∫	cos x	dx ,	∫	sin x	dx , x≠0	­ інтегральні косинус і
					x
		x

синус.

Для цих функцій складені спеціальні таблиці і побудовані графіки.

Розглянемо методи інтегрування.

§ 1.2 Основні методи інтегрування

До основних методів інтегрування відносять такі методи: метод безпосереднього інтегрування, метод заміни змінної або підстановки і метод інтегрування частинами. Розглянемо їх.

П.1. Метод безпосереднього інтегрування

Суть методу безпосереднього інтегрування полягає в тому, що інтегрування заданої функції проводять, використовуючи властивості невизначеного інтегралу, тотожні перетворення підінтегральної функції і таблицю інтегралів.

Приклад 4. Знайти невизначені інтеграли. Зробити перевірку.

23

∫ 3sin x 5−4 x2

1

2

dx=

16 x

2

9−x2

. =3∫sin x dx 5∫dx−4∫x2 dx ∫

dx

2∫

dx

=

42 x2

32−x2

=−3cos x 5 x− 4 x3

1 arctg

x

2arcsin

x

C.

3

4

4

3

Зауваження. Зверніть увагу, що довільні сталі, які за означенням входять до кожного інтегралу, об'єднуються в одну довільну сталу С, яка записується лише після того, коли взято останній інтеграл з одержаного розкладу.

Щоб перевірити, чи вірно знайдено інтеграл, знаходимо похідну

від одержаної функції.
−3cos x 5x−	4 x3 1 arctg								x		2 arcsin					x				C ' =
	3		4		4										3
	2		1		1						1				1						1
=3sin x 5−4 x			4							4 2											3	=
							x 2
																	x2
				1 16
															1− 9
			2		1										2
=3sin x 5−4 x																			.
						16 x2
														9−x2

Знайдена похідна співпадає з підінтегральною функцією. Інтеграл знайдено вірно.

Приклад 5.

2	sin2 x	1−cos2 x
∫tg	x dx=∫ cos2 x dx=∫	cos2 x

dx=∫ cos12 x dx−∫dx=tg x− x+C.

	Перевірка. (tg x−x+C)'=	1	−1=	1−cos2 x	= sin2 x	=tg2 x.
		cos2 x		cos2 x
					cos2 x

24

П.2. Інтегрування методом заміни змінної або підстановкою

Якщо при знаходженні невизначеного інтегралу ∫ f x dx (1)

метод безпосереднього інтегрування застосувати не вдається, то досить часто шляхом заміни змінної цей інтеграл можна звести до такого інтегралу, метод знаходження якого відомий.

Для цього зробимо заміну змінної у підінтегральному виразі, поклавши x=ϕ (t ) (2) , де ϕ(t) ­ неперервна функція з неперервною похідною. Тоді dx=ϕ ' (t) dt .

Доведемо, що при такій заміні змінної інтегрування має місце формула:

∫ f ( x)dx=∫ f (ϕ(t ))ϕ' (t )dt . (3)

Зауваження. Вважається, що після проведення інтегрування по змінній t з допомогою формули x=ϕ (t ) змінна t в правій частині буде виражена через змінну х. Для цього слід доповнити умову теореми, наприклад, вимогою, щоб на проміжку інтегрування функція ϕ(t) була строго монотонною, бо в цьому випадку для неї буде існувати однозначна обернена функція.

Для доведення достатньо встановити, що похідні від виразів, що стоять в обох частинах рівності (3) рівні.

∫ f x dx '= f x .

(∫ f (ϕ(t ))ϕ ' (t) dt)' =(∫ f (ϕ(t ))ϕ' (t )dt)'t dxdt = = f (ϕ(t)) ϕ' (t ) ϕ'1(t )= f (ϕ(t ))= f ( x) ,

25

dt

1

бо

=

і ϕ(t)=x

dx

ϕ' (t )

за правилом знаходження похідної оберненої функції.

Приклад 6. Знайти

I=∫

dx

.

Проводимо заміну змінної,

3

1 x

щоб позбутися ірраціональності:

x=t3 ; dx=3 t 2 dt

.Тоді

3 t2

t2−1 1

1

I =∫

dt =3∫

dt =3∫ t−1

dt =

1 t

1 t

1 t

=3

t dt −3

∫

dt 3

d 1 t =3 t2

−3t 3ln 1 t C.

∫

∫

1 t

2

Виразимо результат через змінну х:

x=t3 ; t =3

.

x

I= 32 3 x2−3 3 x 3ln 1 3 x C .

Зауваження 3. Покладемо у формулі ∫ f x dx=F x C x=at b де — a , b сталі. Тоді

∫f at b a dt=F at b C a ∫ f at b dt =

=F at b C ∫ f at b dt= 1a F at b C1 .

Позначимо змінну інтегрування через х, а сталу через С. Одержимо:

∫ f ax b dx= 1 F ax b C . a

Часткові випадки:

26

∫ f ax dx= 1 F ax C	; ∫ f x b dx=F x b C .
a

Приклад 7. ∫sin x dx=−cos x C .

Приклад 8.	∫sin 3 x 5 dx=−1 cos 3 x 5 C.
	3
Приклад 9.	∫sin 3 x dx=−	1	cos 3 x C.
	3
Приклад 10.	∫sin x 5 dx=−cos x 5 C.

Отже, наведені формули суттєво розширяють таблицю інтегралів. Формула заміни змінної

∫ f ( x )dx=( x=ϕ(t ); dx=ϕ ' (t) dt )=∫ f (ϕ(t))ϕ' (t )dt

може бути використана і у зворотному вигляді “справа на ліво”. Для цього проводять заміну змінної не у вигляді x=ϕ (t ) , а

у вигляді u=ϕ( x) , du=ϕ ' ( x) dx. Тоді

∫ f (ϕ( x))ϕ' (x)dt=(u=ϕ( x) ; du=ϕ ' (x) dx)=∫ f (u) du.

Після цього використовують метод безпосереднього інтегрування і властивість інваріантності формул інтегрування.

Приклад 11.

	arctg5 x		1	5		1 6
∫		dx= u=arctg x ; du=		dx =∫u	du=	6 u C=
	1 x2		1 x2

= u=arctg x = 16 arctg6 x C.

27

sin 2 x

Приклад 12.

∫ 25 cos2 x dx=

= u=cos2 x ; du=2cos x −sin x dx=−sin 2 x dx =

=−∫ du =−ln u 25 u2 = u=cos x =

25 u2

=−ln cos x 25 cos2 x .

Приклад 13.

∫esin x cos x dx= u=sin x ; du=cos x dx =∫eu du= =eu C= u=sin x =esin x C.

Приклад 14.
			∫	sin 3 x
					dx=
				8 cos3 x
= u=8 cos 3 x ;du=−3sin 3 x dx ; sin 3 x dx=−31 du =
	1	du		1
=−	3	∫ u	=−	3 ln u C= u=8 cos3 x =

=−13 ln 8 cos3 x C .

Застосування формули

∫f (ϕ( x))ϕ' (x)dt =(u=ϕ( x) ; du=ϕ ' (x) dx)=∫ f (u) du

увигляді

∫ f (ϕ( x))ϕ' (x)dt=∫ f (ϕ(t ))d ϕ(t)=∫ f (u) du , де u=ϕ(t)

виділяють іноді як окремий метод інтегрування і називають такий

спосіб	“інтегрування методом	підведення під знак
диференціала”.

28

Приклад 15.
∫	arcsin x 50			dx=∫ arcsin x	50		1	51
						d arcsin x=		arcsin x	C.
							51
		1−x2

Щоб підвести функцію під знак диференціала, потрібно її проінтегрувати. При цьому стала C береться рівною нулю або вибирається відповідно до особливостей підінтегральної функції. Наведемо таблицю підведень під знак диференціала деяких елементарних функцій, яку можна отримати, наприклад, з таблиці диференціалів простих елементарних функцій або шляхом інтегрування відповідної функції.

Таблиця підведень під знак диференціала деяких функцій

1

8

x

x

dx= 1 d ax b , де a≠0;

e dx=d e C ;

a

2

x dx=

1

d x 1 C ;

9

sin x dx=−d соs x C ;

1

3

xdx= 1 d x2 C ;

10

cos x dx=d sin x C ;

2

4

dx

11

dx

=2 d x C ;

=d tg x C ;

2

x

cos

x

5

dx

=d ln x C , де

x 0 ;

12

dx

=−d ctg x C ;

x

sin2 x

6

dx

1

13

dx

=−d x

C ;

=d arctg x C ;

x2

1 x2

7

a x dx=

1

d ax C ;

14

dx

=d arcsin x C ;

lna

1−x2

29

Приклад 16:

∫cos 7 x 3 dx= 1

∫cos 7 x 3 d 7 x 3 =

1 sin 7 x 3 C.

7

7

Приклад 17.

∫

tg x dx=

sin x

dx=−

d cos x

=−ln cos x C.

∫

cos x

∫

cos x

5

dx=2∫5

d

= 2 5

∫

x

x

Приклад 18.

x

x

C.

x

ln5

tg3 x

3

1

4

Приклад 19.

∫

dx=∫tg

x d tg x=

4 tg

x C.

cos2 x

Приклад 20.

∫esin2 x sin 2 x dx=∫esin2 x 2sin x cos x dx=∫esin2 x 2sin x d sin x=

=∫esin2 x d sin2 x=esin2 x C.

x dx 1

d x2

1 1 x2

Приклад 21.

∫

=2

∫

= 4 ln 1−x2 C.

1−x4

1− x2 2

Приклад 22.

5 3 x arctg8 x

5

3 x

arctg8 x

∫

dx=∫

dx ∫

dx ∫

dx=

1 x2

1 x2

1 x2

1 x2

dx

3

d 1 x

2

arctg8 x

=5∫

2

∫

∫ 1 x2 dx=

1 x 2

1 x2

=5arctg x 3 ln 1 x2

1 arctg9 x C .

2

9

30

П.3. Інтегрування частинами
Теорема. Якщо функції u x	і v x неперервні на деякому

проміжку, диференційовані у його внутрішніх точках і на цьому

проміжку існує інтеграл					∫v du	, то на ньому існує також інтеграл
∫		, причому	∫		∫			(1)
	u dv			udv=uv−			vdu .

Доведення. Для внутрішніх точок вказаного проміжку дифе­

ренціал добутку

d u v =vdu udv

, звідки

udv=d uv −vdu.

Інтеграл від

кожного доданку

в правій

частині

існує, бо

∫d uv =uv C

, а

∫vdu існує за умовою теореми. Отже існує і

інтеграл

∫

, причому

∫

∫

∫

udv

udv= d uv −

vdu.

∫

∫

Таким чином

udv=uv− v du .

При цьому стала С віднесена

до інтегралу.

Приклад 23. Знайти

∫ln x dx. Покладаємо

u=ln x ; dv=dx.

Тоді du= ln x ' dx= 1 dx ;v=∫dx=x C1. Приймаємо

С1=0 .

x

Отже: ∫ln x dx=ln x x−∫x 1x dx=x ln x−∫dx=x ln x−x C.

Зауваження. При визначенні функції v по її диференціалу dv можна вибрати будь­яку довільну сталу, так як в кінцевий результат вона не входить.

Дійсно, підставимо у формулу інтегрування частинами								1
∫	∫				1
	udv=uv−		v du замість v вираз	v С		, де	С		­
стала. Одержимо:		∫ud v С1 =∫udv ; ліва частина не змінилась.
u v C1 −∫ v C1 du=uv uC1−∫vdu−uc1=uv−∫vdu ;
права теж. Тому цю сталу можна прийняти рівною нулю.

31

Велика частина інтегралів, які беруться з допомогою інтегру­ вання частинами, може бути розбита на три характерні групи.

1. До першої групи відносять інтеграли, підінтегральна функція яких містить як множник логарифмічні або обернені тригонометрич­ ні функції: ln x , ln x ,arcsin x , arccos x , arctg x , arcctg x , ln x 2 ,

arcsin x 2 , arctg x 2 ,..., при умові, що інша частина підінтеграль­ ної функції є похідною відомої функції або може бути проін­ тегрована. Тоді за u(x) приймають одну з вказаних вище функцій.

	Приклад 24. Знайти ∫arctg x dx. Покладаємо
	u=arctg x ; dv=dx. Тоді	du= arctg x ' dx=	1	dx ;
			1 x2

v=∫dx=x C1. Приймаємо С1=0 .

∫arctg x dx=arctg x x−∫x

1

dx=

1 x2

Отже:

=x arctg x− 1

∫ 2 x dx2 =x arctg x−

1 ln 1 x2

C.

2

1 x

2

Приклад 25. Знайти

∫arcsin x dx.

Покладаємо

u=arcsin x ; dv=dx.

Тоді

du= arcsin x ' dx=

1

dx ; v=∫dx=x .

Отже:

1−x2

1

∫arcsin x dx=arcsin x x−∫ x

dx=

√

1− x2

= x arcsin x+ 1∫−

2 x dx

=x arcsin x+ 1 2

√

(1−x2 )+C=

2

2

√1−x

2

=x arcsin x+√1−x2+C .

32

Приклад 26. Знайти

∫x2 arctg x dx. Покладаємо

u=arctg x ; dv=x2 dx.

Тоді

1

2

x3

du= arctg x ' dx=

dx ; v=∫ x

dx=

.

Отже:

1 x2

3

∫x2 arctg x dx=arctg x

x3

−1∫

x3

dx=

2

3

3

1 x

x3

1

x3 x −x

x3

1

=

arctg x− 3 ∫

1 x2

dx=

arctg x−

3∫ x dx

3

3

2 x

3

1

∫

dx=

x

arctg x− 1 x2

1 ln 1 x2 C.

2

6

1 x

3

6

6

Приклад 27.

Знайти

∫ x2−5 x 8 ln x dx .

Покладаємо

u=ln x ;dv= x2−5 x 8 dx. Тоді

du= ln x ' dx= 1 dx ; v=∫ x2−5 x 8 dx=

x3

−5 x2 8 x.

Отже:

x

3

2

∫ x2−5 x 8 ln x dx=

=

x3

− 52x2 8x ln x −∫

x3

−52x2 8 x 1x dx=

3

3

=

x3

−

5 x2

8 x ln x−∫

x2

−

5x

8 dx=

3

2

3

2

x3

5 x2

x3

5 x2

=

−

2 8 x ln x

−

4

−8x C.

3

9

При необхідності формулу інтегрування частинами можна застосовувати декілька разів.

33

Приклад 28. Знайти

∫ln2 x dx= u=ln2 x ; dv=dx ; du=2 ln x 1x dx ;v=x =

=ln2 x x−∫x 2 ln x 1 dx=x ln2 x−2∫ln x dx= x

= u=ln x ; dv=dx ; du= 1 dx ;v=x =x ln2 x− x

−2 ln x x−∫x 1x dx =x ln2 x−2 x ln x 2 x C.

Після набуття певного досвіду формулу інтегрування частинами для простих функцій можна застосовувати і так:

Приклад 29.

∫arctg x dx=arctg x x −∫ x d arctg x=arctg x x−∫ 1x dxx2 = =x arctg x−12 ∫ 12 xdxx2 =x arctg x− 12 ln 1 x2 C.

Приклад 30.

∫ln2 x dx=ln2 x x−∫x d ln2 x=x ln2 x−2∫ln x dx=

=x ln2 x−2 ln x x−∫x d ln x = x ln2 x−2 x ln x 2∫ dx=

=x ln2 x−2 x ln x 2 x C.

або

∫ln2 x dx=x ln2 x−2∫ln x dx=x ln2 x−2 x ln x 2∫dx=

=x ln2 x−2 x ln x 2 x C.

Легко записати і узагальнену формулу для інтегралів виду ∫lnn x dx з натуральним показником n .

34

∫lnn x dx=x lnn x−n lnn−1 x n n−1 lnn−2 x±... −1 n n! C .

Приклад 31.		∫ln3 x dx=x ln3 x−3ln2 x 6 ln x−6 C.
Приклад 32.
∫ln5 x dx=x ln5 x−5 ln4 x 20ln3 x−60 ln2 x 120 ln x−120 C.
2.	До	другої		групи		відносять	інтеграли		виду
∫Pn x sin x dx ,				∫Pn x cos x dx ,
∫Pn x e x dx		,	∫ Pn x m x dx , ..., де				,	, m	­ сталі
m 0,	m≠1	,	Pn x		­	многочлен степені		n . Інтеграли
другої групи беруться шляхом					n ­кратного інтегрування частинами,
причому	за	u(x)	кожний			раз слід приймати		многочлен у
відповідному степені.
Приклад 33. Знайти			∫ 2 x 3 cos 4 x dx. Покладаємо
u=2 x 3; dv=cos4 x dx.				Тоді
du= 2 x 3 ' dx=2dx ; v=∫cos 4 x dx= 1 sin 4 x C1.								Приймаємо
						4

С1=0 . Отже:

∫2 x 3 cos 4 x dx= 2 x 3 14 sin 4 x−∫ 14 sin 4 x 2 dx=

=14 2 x 3 sin 4 x 18 cos 4 x C .

Приклад 34. Знайти I=∫ 5 x 3	2 sin 3 x dx .
Перший раз інтегруємо частинами.

35

u= 5 x 3 2 ;dv=sin 3 x dx ; du=2 5 x 3 5 dx ; v=−13 cos3 x

I=−13 5 x 3 2 cos3 x 103 ∫ 5 x 3 cos3 x dx.

Другий раз інтегруємо частинами.

u=5 x 3 ; dv=cos 3 x dx ; du=5dx ; v=13 sin 3 x

I=−31 5 x 3 2 cos3 x 109 5 x 3 sin 3 x− 509 ∫ 5 x 3 sin 3 x dx=

=−13 5 x 3 2 cos3 x 109 5 x 3 sin 3x 5027 cos3 x C .

Зауваження. При обчисленні деяких інтегралів метод інтегру­ вання частинами використовується послідовно декілька разів. Результат може бути отриманий значно швидше і у більш компактному вигляді, якщо використовувати так звану узагальнену формулу інтегрування частинами (її також називають формулою кратного інтегрування частинами)[12]

∫u x v x dx=u x v1 x −u' x v2 x u' ' x v3 x −...

... −1 n−1 u n−1 x vn x − −1 n−1∫u n x vn x dx.

де v1 x =∫v x dx ; v2 x =∫v1 x dx ; ...;

vn x =∫vn−1 x dx .

При цьому вважається, що всі вказані у формулі інтеграли існують.

Для двократного інтегрування частинами формула має вид:

∫u x v x dx=u x v1 x −u' x v2 x u' ' x v3 x .

36

де
v1 x =∫v x dx ;	v2 x =∫v1 x dx ;	v3 x =∫v2 x dx

Приклад 35. I=∫ 5 x 3 2 sin 3 x dx .

u x = 5 x 3 2 ;u' x =10 5 x 3 ; u' ' =50 ;

v x =sin 3 x ; v1 x =−13 cos3 x ; v2 x =− 19 sin 3 x ;

1

v3 x = 27 cos3 x .

I=∫ 5x 3 2 sin 3x dx=

=−13 5 x 3 2 cos3 x 109 5 x 3 sin 3 x 5027 cos 3 x C .

Застосування узагальненої формули інтегрування частинами особливо зручно при знаходженні інтегралів ∫Pn x x dx , де Pn x ­

многочлен степеня n , а множник x легко інтегрується послідовно n+1 разів, тобто до інтегралів другої групи. При цьому можуть бути виведені зручні формули для інтегрування подібних інтегралів.

Приклад 36.

∫x3 ex dx=∫ x3 d ex =x3 ex−3∫x 2 d ex =

=x3 ex −3 x2 e x 6∫ x d ex =x3 ex −3 x2 ex 6 x ex −6ex C .

З цього прикладу видно, що для інтегралів виду ∫ Pn x ex dx відповідь може бути записана без операції інтегрування.

37

∫ 3 x4 5 x2 7 ex dx=

=ex 3 x4 5 x2 7−12 x3−10 x 36 x2 10−72 x 72 C= =ex 3x4−12 x3 41 x2−82 x 89 C.

Перевірка:

ex 3x4−12 x3 41 x2−82 x 89 C ' =

=ex 3 x4−12 x3 41 x2−82 x 89 12 x3−36 x2 82 x−82 = =ex 3 x4 5 x2 7 .

Спробуйте записати цю формулу самостійно. Вона має вид

n

∫ Pn x ex dx=ex ∑ −1 i Pn x i C .

i=0

Приклад 37.

∫ x6 ex dx=e x x6−6 x5 30 x4−120 x3 360 x2−720 x 720 C.

Формула для більш загального інтеграла ∫Pn x e x dx трошки складніша:

i=0

n

1

i 1

∫ Pn x e

x

dx=e

x

i

i

C ,

або

∑ −1

Pn x

n

i

∫ Pn x e x dx=e x ∑

−1

Pn x i C .

i 1

i=0

2

3 x

3 x x2

2 x

2

Приклад 38. ∫ x

e

dx=e

−

C.

3

9

27

38

Приклад 39.

∫x e−x dx=e−x x − 1 C=−e−x x 1 C .

−1 −1 2

Приклад 40.

∫ 3 x3−17 e2 x dx=e2 x 3 x32−17 − 94x2 188x −1816 C=

=e2 x 32 x 3− 94 x2 94 x− 778 C.

Аналогічні формули можуть бути записані і для інших інтегралів другого типу.

n

1

x

x

i

i

∫Pn x

m

dx=m ∑ −1

Pn x

C .

i 1

i=0

ln m

n

1

x

x

i

i

∫Pn x m

dx=m

∑ −1

Pn

x

C .

i 1

Приклад 41.

i=0

ln m

−x

−x

1

1

∫x 2

dx=2

x−

C=

−1 ln2

−1 2 ln2 2

=2−x −lnx2 ln12 2 C.

Неважко одержати формули інтегрування і для інтегралів виду

∫Pn x sin x dx , ∫Pn x cos x dx . Розглянемо,

наприклад , перший з них.

∫Pn x sin x dx=− 1 Pn x cos x

	1	Pn x ' sin x	1	Pn x ' ' cos x −− ...
	2		3

39

Таким чином при знаходженні інтегралів такого типу може бути застосована лише операція диференціювання без використання методу невизначених коефіцієнтів.

Приклади. Приклад 42.

∫ x3 sin x dx=−x3 cos x 3x2 sin x 6x cos x−6sin x C.

Приклад 43.

∫x5 sin x dx=−x5 cos x 5 x4 sin x 20 x3 cos x−60 x2 sin x− −120 x cos x 120 sin x C.

Приклад 44. ∫x sin 2 x dx=−12 x cos 2 x 14 sin 2 x C.

Приклад 45.

			I=∫ 5 x 3 2 sin 3 x dx=
1			2	10						50
=−3 5 x 3 cos3 x				9 5 x					3 sin 3 x	27 cos 3 x C .
Приклад 46.			I=∫ x2 2 x−1 sin 3 x dx=
=−1 x2 2 x−1 cos3 x 1 2 x 2 sin 3 x											2	cos 3 x C .
3				9						27
Для другого інтеграла формула має вид:
			∫Pn x cos x dx=
1				1					Pn x ' cos x −
		= Pn	x sin x
								2
−	1	Pn x ' ' sin x −			1	Pn x ' ' ' cos x −−...
	3				4

40

Приклад 47. ∫ x cos x dx=x sin x cos x C.

Приклад 48. ∫ x cos3 x dx=13 xsin 3 x 19 cos 3x C.

Приклад 49.

∫x2 5 x 6 cos2 x dx=

=12 x2 5 x 6 sin 2 x 14 2 x 5 cos2 x− 28 sin 2 x C=

= 12 x2 52 x 114 sin 2 x 12 x 54 cos2 x C .

Приклад 50.

∫x2 3 x 5 cos 2 x dx=

=12 x2 3 x 5 sin 2 x 14 2 x 3 cos 2 x− 28 sin2 x C= = 12 x2 32 x 94 sin 2 x 12 x 34 cos 2 x C .

3.До третьої групи відносяться інтеграли виду:

∫e x cos x dx	,	∫e x sin x dx	,	∫sin ln x dx ,
∫cos ln x dx ...,	де	, ­ сталі.	Позначимо інтеграл цієї

групи через	І(х) і проведемо двократне інтегрування частинами.
Одержимо для шуканого інтегралу рівняння першого порядку.
Приклад 51.	Знайти I x =∫e x cos x dx .

Застосовуємо перший раз формулу інтегрування частинами.

41

2 2

u=e x ; dv=cos x dx ; du= e x dx ; v= 1 sin x.

I x = 1 e x sin x− ∫e x sin x dx.

Застосовуємо другий раз формулу інтегрування частинами.

u=e x ; dv=sin x dx ; du= e x dx ;v=−1 cos x .

1

x

x

2

x

I x = e

sin x

e

cos

x−

2 ∫e

cos x dx.

2

I x =

1

e

x

sin

x

e

x

cos x−

2

I x .

2

2

I x

1

2

=

1

e

x

sin x

e

x

cos x C

2

2

1.

I x = e x sin x e x cos x C.

Цей же приклад можна зробити і з застосуванням метода невизна­ чених коефіцієнтів. Будемо шукати розв'язок у вигляді:

I x = Ae x sin x B e x cos x C.

Знаходимо похідну і прирівнюємо її до підінтегральної функції.

A e x sin x A e x cos x B e x cos x−B e x sin x=e x cos x.

42

Поділимо обидві частини на e x .

A sin x A cos x B cos x−B sin x=cos x .

Прирівнюємо послідовно коефіцієнти при sin x і cos x . Одержимо систему лінійних рівнянь для знаходження невідомих коефіцієнтів:

{ A −B =0 ;			A B =1 }. Звідки
B= A		;		2	A=		;	B=		;
			A A	=1 ;		2 2			2 2

I x = e x sin x e x cos x C.

2 2

	Приклад 52.	∫		.
		I x =	sin ln x dx

Застосовуємо перший раз формулу інтегрування частинами.

u=sin ln x ; dv=dx ; du=cos ln x 1 dx ; v=x . x

I x =x sin ln x −∫x cos ln x 1 dx=xsin ln x −∫cos ln x dx. x

Застосовуємо другий раз формулу інтегрування частинами.

u=cos ln x ; dv=dx ; du=−sin ln x 1 dx ; v=x . x

I x =x sin ln x −x cos ln x −∫sin ln x dx.

I x =x sin ln x −x cos ln x −I x .

43

2 I x =x sin ln x −x cos ln x C1.

I x = x sin ln x −x cos ln x C. 2

Зауваження. Багато інтегралів, що беруться інтегруванням частина­ ми, не входять ні в одну із згаданих трьох груп.

x dx

dx

Приклад 53.

∫

; u=x ; dv=

; du=dx ; v=−ctg x

sin2 x

sin2 x

∫

x dx

=−x ctg x

ctg x dx=−x ctg x ln sin x C .

2

x

∫

sin

∫

dx .

Приклад 54.

m2−x2

u=

−xdx

m2

−x2 ; dv=dx ; du=

;v=x

m2−x 2

x2

2

2

2

2

I x =∫ m

−x

dx

=x m

−x ∫

dx=

m2−x2

m2−x2 −m2

2

2

=x m

−x

−∫

dx=

m2−x2

dx

2

2

2

2

2

=x m

−x

m ∫

−∫ m

−x

dx=

m2−x2

m

=x m2

−x2 m2 arcsin

x

−I x .

2 I x =x m2−x2 m2 arcsin mx 2 C.

44

— сталі.

Ix = x2 m2−x2 m22 arcsin mx C.

§1.3 Інтеграли від деяких функцій, що містять квадратний тричлен

Розглянемо інтеграли виду:

I1 x =∫

dx

2 x =∫

Ax B

;

I

dx ;

ax2 bx c

ax2 bx c

3 x =∫

dx

4 x =∫

Ax B

I

;

I

dx ,

ax2 bx c

ax2 bx c

де a , b ,c , A , B

Всі ці інтеграли шляхом нескладних стандартних перетворень зводяться до табличних. Причому для практичного використання важливо пам'ятати саме ці перетворення, а не кінцеві формули.

П.1 Перший з них зводиться до табличного шляхом виділення в

знаменнику повного квадрату.

dx

1

dx

I

1 x =∫

=a ∫

=

ax2 bx c

x2 ba x

c

a

=1 ∫

dx

.

2

2

a x

b

c

−

b

2 a

a

4 a2

В останньому інтегралі зробимо підстановку

x

b

=t ;

dx=dt , і позначимо

c

−

b2

=±k2 .

Знак

2 a

a 4 a2

45

k2

співпадає

із знаком

виразу,

що стоїть зліва. Одержимо

1

∫

dt

табличний інтеграл виду

I1 x =a

,який інтегрується в

t2±k2

залежності від знаку при

k2 за формулами 16 або 21 таблиці

інтегралів.

Приклад 55.

dx

1

dx

I x =∫

=3∫

=

3 x 2−x 1

x2− 31 x 31

1

dx

1

d x− 61

= ∫

=

∫

=

2

1

2

2

3 x− 61

31−

3 x−61 3611

36

1

1

x−1

2

6 x−1

6

=3

arctg

C=

arctg

C .

11

11

11

11

36

36

Ax B

I2 x =∫

П2.

Розглянемо

інтеграл

dx

. Виділимо у

ax2 bx c

чисельнику похідну від виразу, що стоїть у знаменнику.

A

2 ax b B− Ab

A

2ax b

I 2 x =∫

2 a

2 a

dx=

∫

dx

ax2 bx c

2 a

ax2 bx c

Ab

dx

A

2

Ab

B−

2 a ∫

=

ln ax

bx c B−

2 a I 1 x ,

a x2 bx c

2 a

де

I1 x

­ інтеграл, знаходження якого розглянуто вище.

46

Зауваження 1.

∫

u ' x dx

=

d u x

=ln u x C .

u x

∫

u x

Приклад 56. Знайти інтеграл:

∫

4−3 x dx

.

5 x2 6 x 18

4−3x dx

−3 10 x 6 4 18

∫

=∫

10

10

dx=

5 x2 6 x 18

5 x2 6 x 18

=−3 ∫

10

x 6

dx 58

∫

1

dx=

2

x2

10

5 x 6 x 18

50

6 x 18/5

5

=−3 ln 5 x2 6 x 18 58∫

dx

=

2

10

50

3

9

x

5 18/5−

25

−3

2

29

d x 3 /5

=

ln 5 x 6 x 18

∫

=

10

25

2

2

x 3 /5

9/ 5

=−3 ln 5 x2 6 x 18

29 5 arctg

x 3/5

C=

9/ 5

10

25

9

=−3 ln 5 x2 6 x 18

29 arctg

5 x 3 C.

10

45

9

П.3 Інтеграл виду

I3 x =∫

dx

зводиться до таблич­

ax2 bx c

ного шляхом виділення у підкореневому виразі знаменника повного квадрату.

47

dx

dx

I

3 x =∫

=∫

=

ax2 bx c

a x2 ab x ac

=∫

dx

.

a x

b

2

c

−

b2

2 a

a

4 a2

В останньому інтегралі зробимо підстановку

x

b

=t ;

dx=dt , і позначимо

c

−

b2

=±k2 .

Знак k2

2 a

a 4 a2

співпадає із знаком виразу, що стоїть зліва. Одержимо інтеграл виду

I3 x =∫

dt

. В залежності від знаку

a він зводиться

a t2±k2

до табличних інтегралів:

I3 x =

1

∫

dt

при a 0 , або

a

t2±k2

1

∫

dt

I3 x =

при

a 0 .

−a

k2−t 2

Приклад 57.

Знайти інтеграл I x =∫

dx

.

9 x2−6 x 2

Зробимо цей приклад двома способами:

а)

I x =∫

dx

=∫

dx

=

9 x2−6 x 2

3 x−1 2 1

=1 ∫

d 3x−1

= 1 ln 3 x−1

3 x−1 2 1 C=

3

3 x−1 2 1

3

=13 ln 3 x−1 9 x2−6 x 2 C.

48

б)

	I x =∫														dx									=∫									dx						=
												9 x2−6 x 2																	9 x2− 32 x 92
=∫													dx													=∫					d x− 31											=
		9			x− 31 92 −91																							9 x− 31									31
														2																			2						2
				d			x−				1
																																	2						2
=31∫											3					= 31 ln x− 31												x− 31								31			C1=
							1		2					1	2
			x−				3							3
																										2
				=1 ln x− 1															x2		− 2 x 1 1 C =
							3								3											3				9 9						1
								3
														3 x−1							3
						=		1		ln											9 x −6 x 2												C1			=
		=1 ln 3 x−1															9 x2−6 x 2 −1 ln3 C1=
			3																									3
										1 ln 3 x−1																								C.
							=																	9 x2−6 x 2
										3

Бачимо, що в першому випадку інтеграл знайдено дещо простіше.

П4. Розглянемо інтеграл I4 x =∫		Ax B
				dx . Виділимо у
		ax2 bx c

чисельнику похідну від підкореневого виразу, що стоїть у знаменнику.

49

A

(2 ax+b)+B− Ab

I 4( x)=∫

2 a

2 a

dx=

√

ax2+bx+c

A

2 ax+b

Ab

dx

=

∫

dx+(B−

)∫

=

2 a

√

2 a

√

ax2+bx+c

ax2 +bx +c

A

Ab

2

=

2

√ax

+bx+c+(B−

)I3

(x) ,

2 a

2 a

де I3 x ­ інтеграл, знаходження якого розглянуто вище.

u' x dx

d u x

=2 u x C .

Зауваження 3.

∫

x =∫

u

u x

Приклад 58.

2 x 5 dx

1 18 x 6 5−

6

I x =∫

=∫

9

9

dx=

9 x2 6 x 2

9 x2 6 x 2

=

1 ∫

18 x 6

dx

13 ∫

d 3 x 1

=

9

9 x2 6 x 2

9

3 x 1 2 1

=29 9 x2 6 x 2 139 ln 3 x 1 9 x2 6 x 2 C .

§1.4 Інтегрування раціональних дробів

П.1. Означення раціонального дробу. Правильні і неправильні раціональні дроби. Представлення неправильного раціональ­ ного дробу у вигляді суми многочлена і правильного раціональ­ ного дробу

Нехай Pn x	і Qm x ­ многочлени степені	n і m з
дійсними коефіцієнтами. Раціональним дробом R x		називається

50

відношення двох многочленів:

P x

a

0

xn a

1

x n−1 ... a

R x =

n

=

n

.

xm b

Q

m

x

b

0

xm−1 ...=b

m

1

Раціональний дріб R x

називається правильним, якщо степінь

многочлена n , що стоїть у чисельнику, менше степені многочлена m , що стоїть у знаменнику (n<m ) , інакше раціональний дріб називається неправильним.

Якщо раціональний дріб R x неправильний, то виконавши ділення чисельника на знаменник за правилом ділення многочленів, його можна представити у вигляді суми многочлена Mn−m x і

правильного раціонального дробу

Pr x

:

Qm x

R x =

Pn x

=M

x

Pr x

.

n−m

Qm x

Qm x

Приклад 59. Неправильний раціональний

дріб

x4

3

x2 2 x 3

представити у вигляді суми многочлена і правильного раціонального дробу.

Зауваження. При діленні многочлена на многочлен їх записують за спадними степенями.

51

Поділимо чисельник на знаменник. x 4 3

− x4 2 x3 3 x2

__________________________________

−2 x3−3 x2 3

− −2 x3−4 x2−6x

_______________________________________

x2 6 x 3

− x2 2 x 3

_____________________________________

x2 2 x 3

x2−2 x 1

	4 x
Отже	x4 3	=x2−2 x 1	4 x	.
	x2 2 x 3
			x2 2 x 3

Так як інтегрування многочленів не викликає труднощів, то проблема інтегрування раціональних дробів зводиться до проблеми інтегрування правильних раціональних дробів.

П.2. Найпростіші раціональні дроби і їх інтегрування

Правильні раціональні дроби виду:

A

B

Mx N

Mx N

І.

;

II.

; III.

; IV.

x−a

k

2

px q

2

px q

r

x−b

x

x

де

A ,B , M , N , p, q

— сталі,

k ,r ,

k≠1,

r≠1

, корені

p2

виразу x2 px q ­ комплексні, тобто

−q 0 , називаються

4

найпростішими дробами I, II, III i IV типів.

52

Розглянемо їх інтегрування.

П.2.1

∫

A

dx= A∫ d x−a

= A ln x−a C .

x−a

x−a

∫

B

dx=B∫ x−b −k d x−b =B x−b −k 1 C=

k

П.2.2

x−b

−k 1

B

=

C .

1−k

k −1

x−b

П.2.3

Mx N

dx . Це частковий

випадок інтегралу

∫ x2 px q

I2 x =∫

Ax B

dx

, знаходження якого

було розглянуто в

ax2 bx c

§ 1.3

Потрібно в чисельнику виділити похідну від знаменника,

записати інтеграл як лінійну комбінацію двох інтегралів, перший з яких у чисельнику містить похідну від знаменника, а другий сталу, в другому інтегралі виділити в знаменнику повний квадрат і потім виконати інтегрування.

53

M

2 x p N − Mp

Mx N

2

2

∫

dx=∫

dx=

x2 px q

x2 px q

M

2 x p

Mp

dx

=

∫

dx

N − 2 ∫

=

2

x2 px q

x2 px q

M

2

Mp

d x p / 2

=

ln x

px q N

−

2 ∫

=

2

x p /2 2

2

q−p2 / 4

M

2

N − Mp2

x p /2

=

ln

x

px q

arctg

C=

2

q−p2 / 4

q− p2 /4

M

2

2 N −Mp

2 x p

=

ln x px q

arctg

C .

2

4 q−p2

4 q− p2

Більш складних обчислень потребує інтегрування дробів ІV типу, з їх інтегруванням можна ознайомитись по підручникам з математич­ ного аналізу , наприклад [7 ].

П.3. Розклад правильних раціональних дробів на найпростіші

	Pn	x
Нехай дано правильний раціональний дріб			. Будемо
	Qm x

вважати, що коефіцієнти многочленів — дійсні числа і що чисельник і знаменник не мають спільних коренів. З курсу алгебри відомо, що кожний многочлен з дійсними коефіцієнтами може бути представлений у вигляді добутку лінійних і квадратичних співмножників. Справедлива теорема, яку ми наводимо без доведення.

54

Теорема. Якщо

Q

m

x = x−a ... x−b k ... x2 px q ... x2 p x q

1

r , то

1

Pn x

правильний раціональний дріб

може бути представлений у

Qm x

вигляді

Pn x

A

...

B1

B

2

....

Bk

Mx N

...

=

x −a

x−b

x −b

2

k

x

2

Qm x

x−b

px q

M

x N

M

x N

M

x N

1

1

2

2

...

r

r

.

x

2

2

2

2

r

p1 x q1

x

p1 x q1

x

p1 x q1

Відмітимо, що у такому розкладі:

1) простому множнику

x−a

відповідає один найпростіший дріб І

типу

A

;

x−a

2) множнику x−b k

кратності k відповідає k дробів I і II

типів:

B1

B2

....

Bk

.

x−b

x−b

2

x−b

k

3)

однократному квадратичному множнику

x2 px q

відповідає один найпростіший дріб ІІІ типу:

Mx N

.

x2 px q

Наведемо приклади розкладів правильних раціональних дробів на

найпростіші ( без знаходження коефіцієнтів розкладу).

Приклад 60.

x2 6

=

A1

A

2

A3

.

x−1 x 5 x 8

x 8

x−1 x 5

55

Приклад 61.

2 x2 9

A

B1

B2

B3

=

.

3

2

3

x 1 x−5

x 1 x−5

x−5

x−5

Приклад 62.

7 x 8

=

A

Mx N

.

x−1

x−1 x2 2 x 5

x2 2 x 5

Приклад 63.

5x2 3

=

5x2 3

=

A1

A2

Mx N

.

x2 1

x4−1 x−1 x 1 x2 1

x−1 x 1

Коефіцієнти розкладу A , A1, ... , B , B1, ... , M , N визначають так. Написана рівність є тотожність. Тому, якщо привести дроби до спільного знаменника Qm x то одержимо тотожно рівні

раціональні дроби з однаковими знаменниками, отже многочлени, що стоять у чисельниках цих дробів теж повинні бути тотожно рівними.

Прирівнюючи коефіцієнти при однакових степенях х , одержимо систему рівнянь для визначення вказаних коефіцієнтів. Цей метод називається методом порівняння коефіцієнтів (методом невизначених коефіцієнтів). Можна також при порівнянні многочленів надавати змінній х окремі числові значення (метод часткових або вибіркових значень), а також застосовувати обидва вказані методи.

Приклади. Розглянемо спочатку випадок інтегрування раціонального дробу, коли знаменник має тільки дійсні різні корені. В цьому випадку правильний раціональний дріб розкладається на лінійну комбінацію найпростіших дробів І типу.

∫ 2 x2 41 x−91

Приклад 64. I x = dx . x3−2 x2−11 x 12

56

Розкладемо знаменник на множники.

x3−2 x2−11 x 12=x3−x2−12 x−x2 x 12= =x x2−x−12 − x2−x−12 = x−1 x2−x−12 =

= x −1 x 3 x−4 .

Тоді:

I x =∫	2 x2 41 x−91	dx=∫	A1		A2		A3	dx.
	x−1 x 3 x−4		x−1		x 3		x−4

Зводимо найпростіші дроби до спільного знаменника і прирівнюємо многочлени, що стоять у чисельниках.

A1 x 3 x−4 A2 x−1 x−4 A3 x−1 x−3 = =2 x2 41 x−91.

Для знаходження невідомих коефіцієнтів використаємо метод часткових значень. Такими значеннями для дробів першого типу є значення коренів знаменника.

x=1 : A1 4 −3 =−48; A1=4.

x =−3: A2 −4 −7 =−196 ; A2=−7.

x =4 : A3 3 7=105 ;						A3=5.
4		7				5
I x =∫							dx=
	x−1		x 3		x−4

=4ln x−1 −7ln x 3 5ln x−4 C .

57

Спробуємо знайти ці ж коефіцієнти методом порівняння коефіцієнтів.

A1 x 3 x−4 A2 x−1 x−4 A3 x−1 x 3 = =2 x2 41 x−91.

A1 x2−x−12 A2 x2−5 x 4 A3 x2 2 x−3 = =2 x 2 41 x −91.

x2 A1 A2 A3 x −A1−5A2 2A3 −12A1 4A2−3A3 = =2x2 41x−91.

Прирівнюємо коефіцієнти при однакових степенях х. Одержимо систему з трьох рівнянь з трьома невідомими.

{A1 A2 A3=2 ;

−A1−5A2 2A3=41; −12A1 4A2−3A3=−91.

Розв'язок цієї системи можна знайти за формулами Крамера, матричним або іншим способом. Отже ми переконались, що при розкладі підінтегральної функції на найпростіші дроби І типу метод вибіркових значень має суттєві переваги порівняно з методом прирівнювання коефіцієнтів.

Розглянемо випадок, коли знаменник має тільки дійсні корені, але серед них деякі є кратними. В цьому випадку правильний раціональний дріб розкладається на лінійну комбінацію найпростіших дробів І і ІІ типів.

58

Приклад

65.

∫

x2−3 x 2

dx=∫

x2−3 x 2

dx=∫

x2−3 x 2

dx=

3

2

x

2

x

2

x

2 x

x x 2 x 1

x 1

=∫

A

B1

B2

dx ;

x

x 1

x 1 2

A x 1 2 B1 x x 1 B2 x=x2−3 x 2.

x =0: A=2. x=−1 : B2 −1 =6 ; B2=−6.

x2 : A B =1; B

=−1.

1

1

x2−3 x 2

2

1

6

∫

dx=∫ x

−

−

dx=

x x2 2 x 1

x 1

x 1 2

=2ln x −ln x 1

6

C .

x 1

Як бачимо з наведених прикладів при інтегруванні правильних раціональних дробів суттєву роль грає вміння розкладати многочлени на множники.

Приклади. Розкласти на множники многочлени:

1.Q x =x3−3 x 2;

2.Q x =x3 x 2−5 x 3;

3.Q x =x3−3 x2 3 x−1;

59

4.Q x =x3 3 x2−9 x 5 ;

5.Q x =x3 4 x2 5 x 2;

6.Q x =x3 6 x2 11 x 6.

Приклад 66. Знайти I x =∫

2 x3 4 x

2 x 2

dx.

4

3

x

−x −x 1

I

x =∫

2 x3 4 x2 x 2

dx=∫

2 x3 4 x2 x 2

dx=

3

x−1 − x−1

3

x

x−1 x −1

2 x3 4 x2 x 2

B1

B2

Mx N

=∫

dx=∫

dx.

x−1 2 x2 x 1

x−1

x−1 2

x2 x 1

Знаходимо коефіцієнти розкладу.

B1 x−1 x2 x 1 B2 x2 x 1 Mx N x−1 2= =2 x3 4 x2 x 2.

Або

B1 x3−1 B2 x2 x 1 Mx N x−1 2=2 x3 4 x2 x 2.

Представимо цей вираз і в такій формі, яка зручна для використан­ ня методу прирівнювання коефіцієнтів:

B	M x3 B	−2 M N x 2 B	M −2 N x −B B			N =
1	2	2		1	2
		=2 x3 4 x2 x 2.
Методом часткових значень знаходимо коефіцієнт				B2	:

60

x=1 : 3 B2=9 ; B2=3.

Інші коефіцієнти знаходимо методом прирівнювання коефіцієнтів

при однакових степенях x

многочленів.

x3 : B

M =2.

1

x2 : B

2

−2 M N=4;

−2M N=1.

x : B2 M −2 N=1; M −2 N =−2.

З двох останніх рівнянь знаходимо

M =0

і N =1.

Тоді з

першого рівняння випливає, що

B1=2.

Отже:

2

3

1

I x =∫

dx=

x−1

x−1 2

x2 x 1

=2∫

d x−1

3∫

d x−1

∫

d x 1 /2

=

x−1

x−1 2

2

2

3/ 4

x 1/ 2

=2 ln x−1 −

3

1

arctg

x 1/2

C=

x−1

3 /4

3/ 4

=2ln x−1 −

3

2

arctg 2x

1 C.

x−1

3

3

§ 1.4 Інтегрування деяких тригонометричних виразів

Многочленом n­го степеня від двох аргументів x і y називається вираз виду:

Pn x , y =a00 a10 x a01 y a20 x2 a11 x y a02 y2

a30 x3 a21 x2 y a12 x y2 a03 y3 ... a0n yn .

де a00 , a10 ,a01 , a20 ,a11 ,a02 ,... ,a0n ­ деякі числа.

61

Раціональною функцією від двох аргументів R x , y називається відношення двох многочленів від двох аргументів.

Якщо деяка підстановка зводить інтеграл від заданої функції до інтегралу від раціонального дробу, то кажуть, що ця підстановка раціоналізує інтеграл від заданої функції.

П.1. Інтеграли виду ∫R sin x ,cos x dx .

Інтеграли такого виду раціоналізуються з допомогою універсальної

підстановки:

t=tg

x

.

2

Дійсно,

sin x=

2sin x /2 cos x/ 2

=

2 tg x/ 2

=

2 t

;

1 t2

cos2 x /2 sin2 x/2

1 tg2 x /2

cos x= cos2 x/ 2 −sin2 x /2

=1−tg2 x/

2 =1−t2

;

cos2 x/2 sin2 x /2

1 tg2 x/

2

1 t2

x=2 arctg t ;

dx=

2 dt

.

1 t 2

Таким чином

2t

1−t2

2

∫R sin x ,cos x dx=∫R

, 1 t2

dt .

1 t2

1 t2

Інтеграл, що стоїть в правій частині останньої рівності є інтеграл від раціонального дробу.

62

Приклад 67.

Знайти інтеграл

I=∫

dx

.

8−4sin x 7cos x

Робимо універсальну підстановку:

x

2 t

1−t2

2dt

tg

=t ; sin x=

;

cos x=1 t2 ;

dx=

.

2

1 t 2

1 t 2

2dt

I=∫

1 t2

=∫

2 dt

=

2 t

2

2

2

8−4

7 1−t

8 8 t −8t 7−7 t

1 t 2

1 t2

2 dt

dt

2 1−t 4

5−t

=∫

=∫

=

2 ln 1 t−4 C=ln t−3 C=

t2−8t 15

t−4 2−1

= t=tg x/ 2 =ln tg5−xtg/ 2x−/23 C .

Приклад 68.

Знайти інтеграл

I=∫

dx

.

sin x

Робимо універсальну підстановку:

x

2 t

2 dt

tg

=t ;

sin x=

;

dx=

.

2

1 t 2

1 t2

2dt

I=∫ 12tt2 =∫ dtt =ln t C= t=tg x/ 2 =ln tg x2 C . 1 t2

Таким чином доведено один з табличних інтегралів. Зауваження. Універсальна підстановка хоч і завжди раціоналізує

63

інтеграл ∫ R sin x ,cos x dx , але на практиці часто приводить до

громіздких обчислень досить складних раціональних дробів. Тому, крім універсальної підстановки важливо знати і деякі інші підстановки, що в окремих випадках дозволяють суттєво спростити обчислення.

П.2 Якщо інтеграл має вид

∫ R sin x cos x dx

, то рекомендується

підстановка

sin x=t ;

cos x dx=dt .

Така

ж

сама

підстановка

рекомендується

і

для

інтегралів

більш

загального

виду

∫R sin x , cos x dx

у

яких

функція

R sin x , cos x

непарна

відносно

cos x

, тобто

R sin x ,−cos x =−R sin x ,cos x .

П.3 Якщо інтеграл має вид

∫ R cos x sin x dx

, то рекомендується

підстановка

cos x=t ;

sin x dx=−dt .

Така ж

сама

підстановка

рекомендується

і

для

інтегралів

більш

загального

виду

∫R sin x , cos x dx

у

яких

функція

R sin x , cos x

непарна

відносно

sin x

, тобто

R −sin x ,cos x =−R sin x ,cos x .

Приклад 69.

sin3 x

sin2 x sin x

1−cos2 x

I=∫

dx=∫

dx=∫ 2 cos x

sin x dx.

2 cos x

2 cos x

У цьому інтегралі підінтегральна функція непарна

відносно

sin x

,тому рекомендується підстановка:

cos x=t ;

−sin x dx=dt.

Одержимо:

1−t2

t2−4 3

dt =∫

t −2 t 2

3

dt =

I=−∫

2 t dt =∫

2 t

2 t

2 t

=∫ t −2

3

dt =

t2

−2t 3 ln 2 t C.

2 t

2

64

Повертаємось до змінної х . Для цього робимо підстановку t=cos x .

I= 12 cos2 x−2cos x 3ln 2 cos x C.

Зауваження. Іноді саме універсальна підстановка дозволяє швидше отримати результат. Таким, наприклад, є інтеграл

∫

dx

.

Підінтегральна функція непарна відносно

sin x .

3

sin

x

Проте підстановка

cos x=t

приводить до громіздких обчислень,

а універсальна підстановка дозволяє одержати інтеграл більш

простого вигляду.

Приклад 70.

Знайти інтеграл

I=∫

dx

.

Робимо універсальну

sin3 x

підстановку:

tg

=t ;

x

2 t

2 dt

sin x=

;

dx=

.

2

1 t 2

1 t2

2 dt

1 t 2

1

1 t2 2

1

1 2 t2 t4

I =∫

= 4∫

dt= 4 ∫

dt =

3

t3

t3

1 t2

2t

4

∫

t

4 2t2

2

=1

t−3 2 t

dt= 1

−1

2ln t

t2

C= t=tg x /2 =

1

−1

tg2 x/ 2

C .

=

2 ln tg x/2

4

2 tg2 x /2

2

Приклад 70.

Знайти інтеграл

I=∫

dx

.

sin5 x

65

Робимо універсальну підстановку:

x

2 t

2 dt

tg

=t ;

sin x=

;

dx=

.

2

1 t 2

1 t2

2 dt

I=∫

1 t2

1

∫

1 t2 4

1

∫

1 4t2 6 t4 4 t6 t8

=

dt=

dt =

1 t2

5

16

t5

16

t5

2t

=161 ∫ t−5 4 t−3 6t 4 t t3 dt=

=161 −4 t14 −24t2 6 ln t 2 t2 t44 C= t=tg x/2 =

=

−1

−

1

3 ln tg x/ 2 1 tg2 x/ 2

64tg4 x /2

8tg2 x/ 2

8

8

1

tg4 x /2 C .

64

3. Якщо розглядаються інтеграли виду

∫ R tg x dx ,

де

підінтегральна функція

залежить тільки від

tg x

, то реко­

мендується підстановка:

tg x=t ;

dx=

dt

.

1 t2

Якщо розглядаються інтеграли виду

∫R сtg x dx ,

де

підінтегральна функція

залежить тільки від

сtg x

, то реко­

мендується підстановка:

сtg x=t ;

dx=

−dt

.

1 t2

66

Приклад 71. I=∫tg5 x dx.

Робимо підстановку:

tg x=t ;

dx=

dt

.

1 t 2

t5

3

t

t4

t2

1

2

I=∫

dt =∫ t

−t

dt

=

−

2 ln t

1 C.

t2 1

t2 1

4

2

Повертаємось до змінної х. Робимо підстановку t = tg x.

Одержимо:

I=

1 tg4 x−1 tg2 x

1 ln tg2 x 1 C.

4

2

2

Або:

I= 14 tg4 x− 12 tg2 x−ln cos x C.

Якщо

розглядаються інтеграли виду

∫R sin x ;cos x dx , але

sin x і

cos x

входять у підінтегральну функцію

лише в парних

степенях, то рекомендується підстановка:

tg x=t ;

cos2 x=

cos2 x

=

1

=

1

;

cos2 x sin2 x

1 tg2

x 1 t2

sin2 x=

sin2 x

=

tg2 x

=

t 2

;

dx=

dt

.

cos2 x sin2 x

1 t2

1 t2

1 tg2 x

Приклад 72.

I=∫

dx

;

Робимо підстановку:

2−sin2 x

2

t 2

dt

tg x=t ; sin

x=

;

dx=

.

1 t 2

1 t2

67

Тоді:

dt

∫dt

I=∫

1 t2

=∫

dt

=∫

dt

=

=

t2

2 2 t2−t2

2 t 2

2 t2

2−

2

1 t2

=

1

arctg

t

C .

2

2

Щоб повернутись до змінної х, робимо підстановку: t = tg x.

I= 12 arctg tg2x C.

П2. Інтеграли виду: ∫sinm x cosn x dx ,	де	m ,n .
Розглянемо три випадки:
Випадок 1. I=∫sinm x cosn x dx , де	m ,n такі,		що хоча б
одне з них непарне. Нехай, наприклад, непарним є n			. Тоді його
можна представити у вигляді n=2 p 1	, де	p .

I=∫sinm x cos2 x p cos x dx=∫sinm x 1−sin2 x p cos x dx.

Робимо підстановку	sin x=t ;	cos x dx=dt. Одержимо
I=∫t m 1−t 2 p dt ,	тобто інтеграл від раціональної функції.
	cos3 x
Приклад 73. Знайти	I=∫ sin4 x	dx ;

Має місце випадок розглянутий вище випадок. Отже

68

cos3 x

cos2 x cos x

1−sin2 x

I=∫ sin4 x dx=∫

sin4 x

dx=∫

sin4 x

cos x dx .

Робимо підстановку: sin x=t

;

cos x dx=dt.

Одержимо

1−t 2

−4

1

−1

1

I=∫

dt =∫ t

−

dt=

t C.

t 4

t2

3t 3

Щоб повернутись до змінної х,

робимо підстановку t=sin x .

I =−

1

1

C.

sin x

3sin3 x

Приклад 74. Знайти

I=∫sin3 x cos2 x dx.

Має місце випадок, ко­

ли один з показників непарний. В даному прикладі це показник при sin x . Потрібно робити підстановку cos x=t ; −sinx dx=dt.

I=∫sin3 x cos2 x dx=∫ 1−cos2 x cos2 x sin x dx.

Робимо вказану підстановку.

I=∫ 1−t2 t2 −1 dt = t4−t2 dt=t5 − t3 C.

5 3

Так як t=cos x		, то: I=	1 cos5 x−	1 cos3 x C.
			5	3
Випадок 2.	I=∫sinm x cosn x dx ,			де	m ,n невід'ємні парні
числа. Тоді	m ,n	можна	представити		у вигляді m=2 p ,

69

n=2q , де	p, q . Застосуємо відомі тригонометричні
формули пониження степеня:
	sin2 x= 1−cos2 x ; cos2 x=		1 cos2 x .
	2		2
Тоді:
I=∫ sin2 x p cos2 x q dx=∫		1−cos2	x	p	1 cos2	x	q dx.
		2			2

Після піднесення до степеня одержимо підінтегральну функцію
у вигляді суми доданків, шо містять	cos 2 x у парних і непарних
степенях. Члени з непарними степенями інтегруються так, як це
вказано у випадку 1, а до членів	з парними степенями знову

застосовуємо формули пониження степеня.

Приклад 75. Знайти I=∫sin4 x dx.
I =∫sin4 x dx=∫ sin2 x 2 dx=∫ 1−cos2	2 x 2 dx=

=14 ∫ 1−2cos 2 x cos2 4 x dx= 14∫ 1−2 cos2 x 1 cos2 4 x dx=

=14∫ 32 −2cos 2 x 12 cos 4 x dx= 38 x− 14 sin 2 x 321 sin 4 x C.

Приклад 76. I=∫sin2 x cos4 x dx.

Має місце такий же випадок, коли обидва показники невід'ємні парні числа. Рекомендується застосовувати формули пониження степеня.

70

I=∫sin2 x cos4 x dx=∫ 1−cos2 2 x 1 cos22 x 2 dx=

=18∫ 1−cos2 2 x 1 cos2 x dx=18 ∫sin2 2 x 1 cos2 x dx=

=18 ∫sin2 2 x dx 18∫sin2 2 x cos2 x dx=161 ∫ 1−cos4 x dx161 ∫sin2 2 x d sin 2 x= 161 x− 14 sin 4 x 481 sin3 2 x C.

Випадок 3. Якщо обидва показники парні і хоча б один з них від'ємний то потрібно робити підстановку tg x=t або

ctg x=t .

sin2 x

Приклад 77.

I=∫ cos6 x dx .

Будемо робити підстановку tg x=t.

Для спрощення підстановки перетворимо підінтегральну

функцію.

sin2 x

sin2 x

1

1

sin2 x

2

2

I=∫ cos6 x

dx=∫ cos2 x

dx.

=tg

x=t

;

cos2 x

cos2 x

cos2 x

1

=

cos2 x sin

2 x

=1 tg

2

x=1 t

2

;

1

dx=dt.

cos2 x

cos2 x

cos2 x

I=∫t 2 1 t 2 d t=∫ t 2 t4 dt =1 t3

1 t5 C.

3

5

71

Так як t = tg x, то I=			1 tg3 x	1 tg5 x C.
			3	5
Приклад 78. I=∫	dx	.	Будемо робити підстановку ctg x=t .
	sin6 x

Для спрощення підстановки перетворимо підінтегральну функцію.

dx

1

1

1

I=∫

=∫

dx.

sin6 x

sin2 x

sin2 x

sin2 x

1

=

sin2 x + cos2 x

=1+ ctg2 x=1+ t 2

; −

1

dx=dt.

sin2 x

sin2 x

sin2 x

∫

∫

2

1

I=− 1 t2 2 d t=− 1 2t2 t4 dt=−t−

3

t3−

5

t5 C.

Так як t = ctg x, то

I=−ctg x –

2 ctg3 x –

1 ctg5 x C.

3

5

П3. Інтеграли виду:

∫cos mx cos nx dx ,

∫cos mx sin nx dx ,

∫sin mx sin nx dx.

Вцих випадках використовуються формули:

cos mx cosnx= 12 cos m n x cos m−n x ;

sin mx cos nx=21 sin m n x sin m−n x ;

72

sin mx sin nx=−12 cos m n x−cos m−n x .

Приклад 79.

∫sin 9 x sin 7 x dx=− 12 ∫ cos 9 7 x−cos 9−7 x dx= =−12 ∫ cos16 x−cos2 x dx=−321 sin 16 x 14 sin 2 x C.

Приклад 80.

∫cos5 x cos3 x cos x dx= 12 ∫ cos8 x cos 2 x cos x dx=

=12 ∫ cos8 x cos x cos 2 x cos x dx=

=14 ∫ cos9 x cos 7 x cos3 x cos x dx=

=361 sin 9 x 281 sin 7 x 121 sin 3 x 14 sin x C.

§1.7 Інтегрування деяких ірраціональних виразів

Слід відзначити, що не від всякої ірраціональної функції інтеграл виражається через елементарні функції. Тому розглянемо деякі класи ірраціональних функцій, інтеграли від яких з допомогою спеціальних підстановок можуть бути зведені до інтегралів від раціональних функцій.

П. 1 Інтеграли виду ∫R x , xm/ n ,... , xr/ s dx , де m ,n ,... ,r , s .

73

Нехай		k ­			спільний знаменник	дробів	m	,... ,	r	.	Зробимо
							n
									s
підстановку:					x=t k ; dx=k tk −1 dt.	Тоді кожний дробовий сте­
пінь	m	,... ,	r	.	буде виражено через цілий степінь нової змінної t ,
	n
			s

отже підінтегральна функція перетвориться у раціональну функцію від t.

x

3

x2

5

6

x

Приклад 81. I=

∫

dx ;

3

x 1 x

Робимо підстановку:

6

x=t6 ; dx=6 t 5 dt.

x=t;

I=∫

t6 t4 5t

5

dt =6∫

t 5 t 3 5

dt =6∫

t3

t 2 1 5

6 t

dt =

6

2

2

2

1

t

1 t

t 1

t

=6∫t3 dt 30∫

dt

= 6 t4 30 arctgt C.

2

t

1

4

Повертаємось до змінної х:

6

t= x .

= 23

3

6

I

x2 30 arctg x C.

Приклад 82. I=

∫

dx

;

3

1 x 1

3

x 1=t3 ;

x t3−1 ;

dx=3t 2 dt.

x 1=t ;

74

3t2

t2

−1 1

3∫ t −1

1

dt=

I=∫

dt=3∫

dt=

1 t

t 1

t 1

= 3 t2−3 t 3ln t 1 C.

2

Повертаємось до змінної х:

3

t= x 1.

3

3

3

I= 3 x 1 2−3 x 1 3ln x 1 1 C.

2

Приклад 83.

I=∫

dx

.

x 2

x 2 3

Робимо підстановку:

=t ;

x 2=t2 ;

dx=2t dt.

x 2

I=∫ 2 t dt3

=2∫

dt

=2 arctgt C .

t=

;

x 2

1 t

2

t t

Тоді: I=2arctg

C.

x 2

ax b

m/ n

ax b

r/ s

dx ,

П.2 Інтеграли виду ∫R x , cx d

,... , cx d

де m ,n ,... ,r ,s ;

ad−bc≠0.

Нехай k ­ спільний знаменник дробів

m ,... ,

r

.

Тоді з

n

s

допомогою підстановки:

ax b=tk

підінтегральна функція

cx d

75

перетвориться у раціональну функцію від t.

I=∫

2

2−x

Приклад 84.

3

dx.

Робимо підстановку:

2

2−x

2 x

3 2−x

2−x

3

3

3

3

3

2 x =t ;

2 x =t

; 2−x=2 t xt

; 2−2t

=x 1 t

;

2−2 t

3

−6 t2 1 t3 − 2−2 t3 3 t2

x=

1 t

3

; dx= x' dt=

3 2

dt=

1 t

=

−12 t2

dt ; 2−x=

4 t3

.

1 t3 2

1 t3

2 1 t3 2 t −12t2

3 dt

3

−3

I=∫

dt =−

2 ∫

=−

2∫ t

dt=

Тоді:

4t3 2 1 t3 2

t3

3

t−2

3

C=

C.

=−

−2

4 t

2

2

2

3

2−x

3

3 2 x

А так як t= 2 x ,

то

I=

4 2−x

C.

П.3 Інтегрування деяких ірраціональних функцій з допомогою тригонометричних підстановок.

Розглянемо інтеграли виду: ∫R x , ax2 bx c dx ,

де a≠0 ; b2−4 ac≠0.

Проведемо перетворення квадратного тричлена, що стоїть під знаком кореня:

76

ax2 bx c=a x2 ab x

c

=

a

4 a

2 a

a

4 a2

2 a

=a

x

b

2

c

−

b2

=a

x

b

2 c−

b2

.

Зробимо підстановку

2 a

4 a

b

Тоді

=

c−

b2

x

=t ; dx=dt .

ax2 bx c

at 2

.

Розглянемо всі можливі випадки:

b2

Випадок 1.

Нехай

a 0 ;

c−

0 .

Введемо позначення

4a

a=m2 ;

c−

b2

=n2 .

Тоді

=

.

ax2 bx c

m2 t 2 n2

4 a

b2

Випадок 2.

Нехай

a 0 ;

c−

0 .

Введемо позначення

4a

a=m2 ;

c−

b2

=−n2 .

Тоді

=

.

ax2 bx c

m2 t 2−n2

4 a

b2

Випадок 3.

Нехай

a 0 ;

c−

0 .

Введемо позначення

4a

a=−m2 ;

c−

b2

=n2 .

Тоді

=

.

ax2 bx c

n2−m2 t 2

4 a

77

	Випадок 4. Нехай	a 0 ;	c−	b2	0 .	Тоді вираз
								ax2 bx c
				4a

є комплексне число при будь­якому значенні x.

Таким чином, інтеграл, що розглядається, зводиться до одного з таких інтегралів:

	∫R x ,			dx ; II.		∫ R x ,		dx ;
I.		m2 x2 n2					m2 x2−n2
	∫R x ,				dx.
III.			n2−m2 x 2

Вкажемо з допомогою яких підстановок раціоналізуються такі інтеграли:

∫R x ,

dx ;

x=

n

tgt ;

dx=

n

1

I.

m2 x2 n2

dt.

m

2

m

cos

t

∫ R x ,

dx ;

x=

n

1

dx=

n

sin t

dt.

II.

m2 x2−n2

;

cost

2

m

m cos t

∫R x ,

dx ;

x=

n

sin t ;

dx=

n

cos t dt.

III.

n2−m2 x2

m

m

Приклад 85.

I=∫

dx

. Цей інтеграл відноситься до

2

2

x 1 x

інтегралів І виду. Отже

x=tgt ; 1 x2=1 tg2 t=

1

;

dx=

1

dt .

cos2 t

cos2 t

78

	cos t	cost dt		d sin t	1
I=∫		dt =∫ sin2 t	=∫		=−		C.
	tg2 t cos2 t			sin2 t		sin t

Потрібно виразити цей результат через змінну х.

sin t=		tg t	; I=−	1 tg2 t	C ; tgt=x.
	1 tg2 t			tg t

I=− 1 x2 C. x

Приклад 86.	I=∫	x2−9	dx.	Цей інтеграл відноситься до
		x
інтегралів ІI виду. Отже:

3

dx= 3sin2 t dt ;

=

9

−9= 3sin t .

x=

;

x2−9

cos

2

t

cost

cos t

cos t

Робимо вказану підстановку, інтегруємо і перетворюємо одержаний вираз до виду, зручному для повернення до змінної х.

3sin t

cos t

3sin t

sin2 t

1−cos2 t

I=∫ cos t

3

cos2 t

dt =3∫ cos2 t dt =3∫

cos2 t

dt =

1

1−cos2 t

=3∫

−1 dt =3 tgt −3 t C=3

−3 t C=

cos2 t

cos t

1

=3

−1−3t C.

cos2 t

79

cos t= 3x ; t=arccos 3/ x .

x2

−1−3arccos 3 / x C=

−3arccos 3/ x C.

I=3

x2−9

9

Приклад 87.

I=∫

dx

. Цей інтеграл відноситься до

4−x2 3

інтегралів ІIІ виду. Отже:

=

=2 cost.

x=2sin t ; dx=2cost dt ;

4−x2

4−4sin2 t

2 cost

1

dt

1

1

sin t

I=∫

dt= 4∫

=

4 tgt C= 4

C.

2cos t 3

cos2 t

1−sin2 t

Так як

sin t=

x

,

то:

I= 1

x /2

C=

x

C.

2

4

2

2

1−x

/ 4

4 4−x

П.3 Інтегрування біноміальних диференціалів.

Біноміальними називаються диференціали виду

xm a bxn p dx ,

де: a , b ­ будь­які сталі, а показники m, n, p ­ раціональні

числа.

Розглянемо інтегрування біноміальних диференціалів.

П.Л. Чебишев встановив, що інтеграли такого виду інтегруються у скінченному вигляді лише тоді, коли виявляється цілим одне з чисел:

80

p ;	m 1	;	m 1 p .

nn

1)Якщо p ­ ціле число, то інтеграл раціоналізується з допомогою

підстановки

, де

­ спільний знаменник дробів m і n.

t= x

2) Якщо

m 1

­ ціле число, то застосовується підстановка

n

, де

­ знаменник дробу p.

t= a bxn

m 1

3) Якщо

p

­ ціле число, то

n

t= ax−n b .

5

−1

1

1

4

∫

x

∫

Приклад.

I=

1 x

dx=

x 2 1 x 4 5 dx.

В даному випадку

m=−

1

,

n=

1

,

p=

1

і так як

2

4

5

m 1=−1/2 1 =2

, то має місце другий випадок. Робимо під­

n

1/4

становку t=5

;

x= t5−1 4 ;

dx =4 t5−1 3 5t4 dt.

1 x1 / 4

Одержимо:

I=20∫

t

t5−1 3 t4 dt=20

∫ t5−1 t5 dt=

5

2

t −1

=20∫ t10−t5 dt=20

t11

−

t6

C=

11

6

= 20 1 x

11

− 10

6

C.

1 x

11

4

5

3

4

5

81

Теоретичні питання до змістового модуля №1 “Невизначений інтеграл”

1.Поняття первісної функції і невизначеного інтеграла. Означення невизначеного інтеграла, теорема існування і геометричний зміст.

2.Основні властивості невизначеного інтегралу.

3.Таблиця основних невизначених інтегралів. Приклади інтегралів від елементарних функцій, які не можуть бути вираженими через елементарні функції.

4.Безпосереднє інтегрування. Інтегрування підведенням під знак диференціала.

5.Інтегрування підстановкою (заміною змінної).

6.Інтегрування частинами.

7.Інтегрування деяких функцій, що містять квадратний тричлен.

8.Найпростіші раціональні дроби і їх інтегрування.

9.Розклад правильних раціональних дробів на найпростіші. Методи знаходження коефіцієнтів розкладу.

10.Інтегрування деяких тригонометричних виразів.

	Інтеграли виду:		∫R sinx ; cos x dx.
11.	Інтеграли виду:	∫sinm x cosn x dx , де m ,n .
12.	Інтеграли виду:		∫cos mx cosnx dx ,
	∫cos mx sin nx dx ,				∫sin mx sin nx dx.
13.	Інтегрування деяких ірраціональних виразів.
					m			r
	Інтеграли виду:	∫R x ; x n ;... ; x							dx ,
								s
	ax b		mn		ax b	rs	dx.
	∫ R x ; cx d			;... ; cx d

82

14.Інтегрування деяких ірраціональних функцій з допомогою тригонометричних підстановок.

15.Комплексні числа. Дії над ними. Розв'язування квадратного рівняння в комплексній області. Поняття про тригонометричну і показникову форму комплексного числа. Формули Ейлера.

Питання для самоперевірки

1.Дайте означення первісної і невизначеного інтеграла.

2.Сформулюйте основні властивості невизначеного інтеграла.

3.Запишіть таблицю невизначених інтегралів.

4.Наведіть приклади інтегралів від елементарних функцій, які не можуть бути виражені через елементарні функції.

5.Які основні методи інтегрування?

6.Як виконується інтегрування підведенням під знак диферен­ ціала? Наведіть приклади. Запишіть табличку підведень під знак диференціала деяких функцій.

7.Як виконується інтегрування підстановкою?

8.Виведіть формулу інтегрування частинами?

9.Які групи інтегралів, що беруться з допомогою інтегрування час­ тинами, Ви знаєте? Наведіть приклади по кожній групі.

10.Як беруться інтеграли від деяких функцій, що містять квадратний тричлен (вкажіть 4 види таких інтегралів)?

11.Який раціональний дріб називається правильним? Як можна представити неправильний раціональний дріб?

12.Як розкладаються правильні раціональні дроби на найпростіші?

13.Як інтегруються найпростіші раціональні дроби?

14.Яка підстановка називається універсальною? Інтеграли якого виду беруться з допомогою універсальної підстановки?

15.Які ще підстановки застосовуються при знаходженні інтеграли

виду: ∫ R sinx ; cos x dx в часткових випадках?

83

16. Як знаходяться			інтеграли				виду: ∫sinm x cosn x dx ,	де
m ,n ?							∫cos mx cosnx dx ,
17. Як знаходяться інтеграли виду :
∫cos mx sin nx dx ,			∫sin mx sin nx dx .
18. Як проводиться інтегрування деяких ірраціональних виразів:
			m			r
Інтеграли виду:	∫R x ; x n ;... ; x						dx ,
						s
ax b	mn		ax b	sr	dx ?
∫R x ; cx d		; ...; cx d

19.Як проводиться інтегрування деяких ірраціональних функцій з допомогою тригонометричних підстановок?

20.Які числа називаються комплексними ? Як виконуються дії над ними? Як проводиться розв'язування квадратного рівняння в комплексній області? Наведіть приклад. Які тригонометрична і показникова форми комплексного числа? Запишіть формули Ейлера.

84

2.3 Зразок типової контрольної роботи для змістового модуля №1 (10 б.)

Варіант 9 (навчальний). Знайти невизначені інтеграли:

Тема 1. Основні методи інтегрування (4 бали)

1. ∫ 3e3 x−5cos2 x dx ; (2б.)

2. ∫arccos x dx ; (2 б.)

Тема 2. Інтегрування раціональних, тригонометричних та ірраціональних функцій (6 балів).

3.

∫

3 x2

−2 x 4

dx ;

(2 б.) 4.

∫

dx

;

(2 б.)

2

4

6

x−1 x

sin

x

5.

∫

dx

;

(2 б.)

3

1 x 1

2.4. Тренінговий варіант контрольної роботи для змістового модуля №1 (10 б)

Варіант 10 (тренінговий) Знайти невизначені інтеграли:

Тема 1. Основні методи інтегрування (4 бали).

		x			2		5					4
		1						x	5			3				3
1.	∫ x2	3			dx ; (2 б.) Відп.					3 x2 x2						3 x C.
	∫x ln x dx ;						2						2
2.					(2 б.)	Відп.	1 x2					ln x−	1		C.

Тема 2. Інтегрування раціональних, тригонометричних та ірраціональних функцій (6 балів)

85

3. ∫

3 x−7

ln

x2

4

1

arctg

x

C.

dx ; (2 б.) Відп.

3

2

4 x 4

2

2

2

x x

x 1

dx

1

x

4.

∫

;

(2 б.)

Відп.

2 arctg 2tg

C.

5−3cos x

2

∫

dx

5.

;

(2 б.) Відп.

2 arctg x 1 C.

x 1 x 1

3

Література [4 ] Гл. 10, [ 2 ] М085­110, стор.29­42.

Методичні поради

Змістовий модуль №1 “Невизначений інтеграл” включає в себе 5 прикладів і теоретичне питання. Це приклади на основні методи інтегрування, інтегрування виразів, що містять квадратний тричлен, інтегрування раціональних дробів, інтегрування тригоно­метричних функцій і інтегрування деяких ірраціональних функцій.

Величезна кількість і різноманітність інтегралів по кожній групі приводять до того, що підготовка по навчальному і тренінговому модулям недостатня для успішного виконання модульної контрольної роботи № 1. Для успішної підготовки бажано виконати індивідуальне завдання, розроблене на кафедрі, кожне з яких містить 35 невизначених інтегралів всіх видів, що виносяться на контрольну роботу. За виконання цієї роботи нараховуються заохочувальні бали. Наведемо навчальний приклад такого завдання, який включає в себе і всі інтеграли навчально варіанта змістового модуля №1 (варіант 9) вказаного вище (№№ 2; 10; 19; 27; 30). Перед тим, як робити ці приклади, потрібно уважно вивчити відповідні розділи з теорії.

86

2.5. Індивідуальна робота (ТР) по матеріалу змістового №1 “Невизначений інтеграл” . Зразок виконання індивідуальної роботи (ТР)

Варіант №31 (навчальний)

Безпосереднє інтегрування. Інтегрування підведенням під знак диференціала:

3

2

tg2

x

1.

∫

x2

x

dx ;

2.

∫ 3 e3 x −5cos2 x dx ;

3.

∫

dx ;

2

5

x

cos

x

cos 5 x dx

∫

arcsin x 2 x

4.

∫tg2 x dx ;

5.

∫ 7 sin 5 x ;

6.

dx ;

1−x2

7. ∫

2arctg x 1−x4 6 x

dx ; 8. ∫

dx

; 9.

∫

dx

;

1 x

2

2

4

2

x sin

ln x

cos

x sin

x

Інтегрування частинами:

10.

∫arccos x dx ;

11.

∫ln 3 x 2 dx ;

12.

∫ 3 x2 2x 5 sin2 x dx ;

13.

∫e2x cos 3x 5 dx ;

Інтегрування деяких функцій, що містять квадратний

тричлен:

14.

dx

;

15.

5x 3

dx ;

∫ 2 x2 8 x 19

∫ x2 4 x 20

16.

∫

dx

;

17.

3 x 4

dx ;

x2 2 x 5

∫ −x2 6 x−8

Інтегрування раціональних дробів:

18.

5 x 4

dx ;

19.

3 x2−2 x 4

dx ;

∫ x x−1 x

∫ x−1 x2 4

−2

87

20.

∫

x5−x4 x2−2 x 3 dx ;

x3−2 x2 x

Інтегрування тригонометричних виразів виду

∫R sin x ,cos x dx

:

а)

універсальна підстановка:

21.

∫

dx

;

4sin x 3cos x 5

б)

часткові випадки:

22.

∫

sin3 x

dx ;

23.

∫tg5 x dx ;

24.

∫

dx

;

2 cos x

2

2−sin x

в)

інтеграли виду:

∫sinm x cosn x dx

:

25. ∫sin3 x cos2 x dx ;

26.

∫sin2 x cos4 xdx ;

27.

∫

dx

;

6

x

sin

г) інтеграли виду

∫cos m x cos n x dx

,

∫sin m x cos n x dx ,

∫sin m x sin n x dx

:

28.

∫sin 9 x sin 7 x dx ;

29.

∫cos 5x cos3 x cos x dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

dx

;

dx

;

30.

∫1 3 x 1

31.

∫ x 2 x 2 3

32.∫ 2−2x 2 3 22− xx dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій з допомогою тригонометричних підстановок.

33. ∫

dx

; 34.

∫

x2−9

dx ; 35. ∫

dx

.

2

2

2 3

1 x

x

4−x

x

88

2.6. Зразок виконання індивідуальної роботи (ТР). Індивідуальна робота. Варіант №31 (навчальний)

Безпосереднє інтегрування. Інтегрування підведенням під знак диференціала

							2						1	2
	x2		3							x2 x3									7		2		−1
		x																4	3		3		5
∫								dx=∫								dx=∫ x 2 x				x		x		dx=
		5								1
			x
1)											x 5
				19					32	7						24		47				22
																5	x 5	30 x 15			15 x 15
	=∫ x 5 2 x15 x15 dx=																						C.
																24
																		47			22
∫ 3 e3 x−5cos2 x dx=3∫e3 x dx− 25 ∫ 1 cos 2 x dx=
2)									=e3 x − 25 x 21 sin 2 x C.
3)		∫		tg2 x					dx=∫tg2 x dtgx =1 tg3 x C.
				2
				cos				x								3

4)∫tg2 x dx=∫

∫cos 5 x

5)7 sin 5 x

sin2 x				1−cos2 x			1
cos2 x dx=∫						dx=∫			−1 dx=
				cos2 x				cos2 x
		=tg x−x C.
dx=	1	∫	d sin 5 x		=	1	∫ d 7 sin 5 x			=
	5					5
			7 sin 5 x				7 sin 5 x

=15 ln 7 sin 5 x C.

89

6)

∫

arcsin x

2 x

dx=∫

arcsin x

dx ∫

2 x

dx=

1−x2

1− x2

1−x2

d 1−x2

2

3

1/2

2

−2 1

2

=∫

arcsin x

d arcsin x−∫

=

3 arcsin x

−x

C.

1−x2

7)

2arctg x 1−x4 6 x

2arctg x

1−x4

x

∫

dx=∫1 x2 dx ∫

1 x2 dx 6∫

dx=

1 x2

1 x2

arctg x

2

d 1 x2

=∫ 2

d arctg x ∫ 1−x

dx 3∫

=

1 x2

2arctg x

x3

2

=

x−

3ln 1 x

C.

ln 2

3

8)

∫

dx

=∫

d ln x

=−ctg ln x C.

x sin2 ln x

sin2 ln x

9)

∫

1

dx=∫

sin2 x cos2 x 2

dx=

cos4 x sin2 x

cos4 x sin2 x

=∫

sin4 x 2sin2 x cos2

x cos4 x

dx=∫

sin2 x

dx 2∫

dx

4

2

x

4

x

2

cos x sin

cos

cos

x

∫

dx

=∫tg2 x d tg x 2 tg x−ctg x= tg3 x

2tg x−ctg x C.

2

x

sin

3

Інтегрування частинами

Нагадаємо теорему і формулу інтегрування частинами:

90

Якщо функції u=u(x) і v=v(x) неперервні на деякому проміжку, диференційовані у його внутрішніх точках і на цьому проміжку існує

інтеграл ∫v du , то на ньому існує і інтеграл ∫udv , причому:

∫udv=u v−∫v du.

Зауваження:

­ диференціал du знаходиться за формулою du = u' dx;

­ при визначенні функції v=v(x) по її диференціалу dv

	v=∫dv можна вибрати будь­яку						довільну сталу С, так	як в
	кінцевий результат вона не входить.
	10) ∫arccos x dx ;	Приймаємо					u=arccos x і dv=dx	. Тоді
	du=u' dx= arccos x ' dx=		−dx			і	v=∫ dv−∫dx=x C1=x.
			1−x2
	Згідно з зауваженням
		C1=0.

Застосовуємо формулу інтегрування частинами:

∫arccos x dx=arccos x x−∫ x 1−−1x2 dx=

=x arccos x−1∫ d 1−x2 =x arccos x− 1−x2 C. 2 1−x2

	11) ∫ln 3 x 2 dx.			Приймаємо:	u=ln 3 x 2 ;dv=dx. Тоді
	du=u' dx=	3 dx	;	v =∫dx=x.	Стала прийнята рівною нулю.
		3 x 2

Застосовуємо формулу інтегрування частинами:

91

∫ln 3 x 2 dx=ln 3 x 2 x−∫ 33xxdx2=x ln 3 x 2 −

−∫	3 x 2 −2	dx=x ln 3x 2 −∫dx 2∫	dx	=
	3 x 2		3 x 2

=x ln 3 x 2 −x 23 ln 3 x 2 C.

Зауваження. Нагадаємо, як можна зробити перевірку одер­жаного результату. Похідна від знайденої функції повинна дорівнювати

підінтегральній функції.
		2	3 x
x ln 3 x 2 −x 3 ln 3 x 2 C '=ln 3 x 2				−1
			3 x 2
	2	=ln 3x 2 3x−3 x−2 2 =ln 3 x 2 .
	3 x 2
		3 x 2

Отже ми переконались, що інтеграл знайдено вірно.

Розглянемо тепер інтеграл, що відноситься до інтегралів другої групи, при знаходженні яких формула інтегрування частинами застосовується послідовно декілька разів.

12)	∫ 3 x2 2 x 5 sin 2 x dx. в підінтегральну функцію як

множник входить многочлен другого степеня, отже формулу інтегрування частинами будемо застосовувати 2 рази, приймаючи кожний раз за u відповідний многочлен.

u=3 x2 2 x 5 ; dv=sin 2 x dx ;

du= 6 x 2 dx ;	v=∫sin 2 x dx=	−1	cos 2 x.
	2

92

Застосовуємо формулу інтегрування частинами:

∫3 x2 2 x 5 sin 2 x dx=−21 3 x2 2 x 5 cos2 x

12 ∫ 6 x 2 cos 2 x dx.

Ще раз застосовуємо формулу інтегрування частинами.

u=6 x 2;	dv=cos2 x dx ;		du=6 dx ; v=∫cos2 x dx=				1 sin 2 x.
							2
∫ 3 x2 2 x 5 sin 2 x dx=				−1	3 x2 2 x 5 cos 2 x
			2
	1	6 x 2 1 sin 2 x− 1 6∫sin 2 x dx=
	2	2	2			2

=−21 3 x2 2 x 5 cos2 x 12 3 x 1 sin 2 x 34 cos2 x C.

Перевірка:

−21 3 x2 2 x 5 cos2 x 12 3 x 1 sin 2 x 34 cos2 x C ' = =−21 6 x 2 cos2 x 3x2 2 x 5 sin 2 x 32 sin 2 x

3 x 1 cos 2 x− 32 sin 2 x= 3 x2 2 x 5 sin 2 x.

Розглянемо тепер інтеграл, що відноситься до інтегралів третьої групи, при знаходженні яких формула інтегрування частинами

93

застосовується послідовно два рази і одержується лінійне рівняння відносно шуканого інтегралу, з якого він і знаходиться.

13. ∫e2 x cos 3 x 5 dx.

u=e2 x ; v=cos 3 x 5 ;

du=u' dx=2 e2 x dx ; v=∫cos 3 x 5 dx=13 sin 3 x 5 .

Застосовуємо формулу інтегрування частинами:

∫e2 x cos 3 x 5 dx=13 e2 x sin 3 x 5 −23 ∫e2 x sin 3 x 5 dx.

u=e2 x ; v=sin 3 x 5 ;

du=u' dx=2 e2 x dx ; v=∫sin 3 x 5 dx=−31 cos 3 x 5 .

Застосовуємо формулу інтегрування частинами ще раз:

∫e2 x cos 3 x 5 dx=13 e2 x sin 3x 5 −

−23 −31 e2 x cos 3x 5 23∫e2 x cos 3 x 5 dx .

Позначимо: I=∫e2 x cos 3 x 5 dx.

Одержимо рівняння:

I= 13 e2 x sin 3 x 5 29 e2 x cos 3 x 5 − 49 I .

94

I 1 49 = 13 e2 x sin 3 x 5 29 e2 x cos 3 x 5 .

I= 139 13 e2 x sin 3 x 5 29 e2 x cos 3 x 5 .

∫e2 x cos 3 x 5 dx=131 3e2 x sin 3 x 5 2e2 x cos 3 x 5 C .

Зауваження. Багато інтегралів, що беруться інтегруванням частинами, не входять ні в одну із згаданих трьох груп.

Приклад. Знайти			∫	x dx	.
				2
				cos x
u=x ; dv=	dx		; du=1; v=∫			dx	=tg x.
	2	x				2
	cos					cos x

Застосовуємо формулу інтегрування частинами:

∫ x dx =x tg x−∫tg x dx=x tg x ln cos x C. cos2 x

Інтегрування деяких функцій, що містять квадратний тричлен

	14.			dx	.	Виділяємо в знаменнику повний квадрат і
		∫ x2		4 x 20

зводимо інтеграл до табличного.

95

∫

dx

=∫

dx

=∫

d x 2

=

1

arctg

x 2

C.

x2 4 x 20

x 2 2 16

x 2 2 42

4

4

15.

∫

5 x 3 dx

.

2 x2 8 x 19

В чисельнику виділяємо похідну від знаменника, потім розбиває­ мо інтеграл на суму двох інтегралів, один з яких у чисельнику містить похідну від знаменника, а другий сталу і берем ці інтеграли.

	∫	u' dx	∫	du	=ln u =C.
Нагадаємо, що		u	=	u		Другий інтеграл

зводимо до табличного шляхом виділення у знаменнику повного квадрату.

5 x 3 dx

5

4 x 8 3−10

4 x 8

4

5

∫

=∫

dx= 4 ∫

dx−

2 x2 8 x 19

2 x2 8 x 19

2 x2 8 x 19

−

7 ∫

1

dx= 5 ln 2 x2

8 x 19 −

7

∫

dx

=

x

2

x

2

2

4 x 19/2

4

2

2 19/2−4

=

5

ln 2x2

8 x 19 −

7

∫

d x 2

=

2

4

2

x 2 2 11/ 2

5

2

7

1

x 2

=

4 ln 2 x

8 x 19 −

arctg

C.

2

11/2

11/ 2

∫

dx

=∫

d x 1

=ln x 4

16)

x2 2 x 5 C.

x2 2 x 5

x 1 2 4

17)

3 x 4

dx.

∫ −x2 6 x−8

96

В чисельнику виділяємо похідну від підкореневого виразу, потім розбиваємо інтеграл на суму двох інтегралів, один з яких у чисель­ нику містить зазначену похідну , а другий сталу і беремо ці інтеграли.

		u' dx				du
	Нагадаємо, що ∫				=∫			=2 u=C. Другий інтеграл
			u				u

зводимо до табличного шляхом виділення у підкореневому виразі повного квадрату.

∫

3 x 4

dx=∫

− 3/ 2 −2 x 6 9 4

dx=

−x2 6 x−8

−x2 6 x−8

=−3

∫

−2 x 6

dx 13∫

d x−3

=

2

−x2 6 x−8

1− x−3 2

=−3

−x2 6 x−8

13arcsin x−3 C .

Інтегрування раціональних дробів

∫5 x 4

18)x x−1 x−2 dx.

Підінтегральна функція є правильний раціональний дріб, який розкладаємо на найпростіші.

5 x 4	=	A		B		C	=
x x−1 x−2
		x x−1 x−2

=A x−1 x −2 Bx x−2 C x x−1 ; x x−1 x−2

Вцій рівності знаменники обох дробів однакові, отже повинні бути однаковими і чисельники.

97

A x−1 x−2 Bx x−2 C x x−1 =5 x 4;

Знайдемо невідомі коефіцієнти методом вибіркових точок.

Ця рівність повинна виконуватись для всіх х, в тому числі і для

х = 0; х= 1; х=2.

x=0 ; A −1 −2 =4 ; 2 A=4; A=2.

x=1; B 1 −1 =9 ; B=−9.

x=2 ; C 2 1=14 ; C=7.

5 x 4

2

9

7

Отже:

∫

dx∫ x

−

dx=

x x −1 x−2

x−1

x−2

=2ln x −9ln x−1 7ln x−2 C.

19)

∫

3 x2−2 x 4

dx ;

x−1 x2 4

Підінтегральна функція є правильний раціональний дріб,

який розкладаємо на найпростіші.

3 x2−2 x 4

=

A

Bx C =

A x2 4 Bx C x−1

.

x−1 x2 4 x−1

x2 4

x−1 x2 4

Прирівнюємо чисельники одержаних дробів:

A x2 4 Bx C x −1 =3 x2 −2 x 4.

Знайдемо коефіцієнти розкладу методом вибіркових точок при х=1 і х=0 , і методом невизначених коефіцієнтів,

прирівнюючи коефіцієнти при x2 .

98

x=1 ;		5 A=5; A=1.
x=0 ;		4 A−C=4 ; C=4 A−4 ; C=0.
x2 : A B=3; B=3−A ; B=2.
	3 x2−2 x 4			1		2 x	2
∫			dx=∫				dx=ln x−1 ln x	4 C.
	x−1 x2 4			x−1		x2 4

20.∫ x5−x4 x2−2 x 3 dx ; x3−2 x2 x

Підінтегральна функція – неправильний раціональний дріб. Її можна представити у вигляді суми многочлена і правильного раціонального дробу. Для цього потрібно поділити чисельник на знаменник по правилу ділення многочленів.

	x5−x4 x2−2 x 3					2	2 x2−3 x 3		dx=
∫	x3−2 x2 x				dx=∫ x		x 1 x3−2 x2 x
		x3		x2	x ∫	2 x2−3 x 3		dx .
	=					x x−1 2
		3		2

Знайдемо останній інтеграл. Для цього розкладемо підінтегральну функцію на найпростіші дроби.

2 x2−3 x 3	=	A		B		C	=	A x−1 2 Bx C x x−1	.
2		x		2		x−1		2
x x−1				x−1				x x−1

99

Прирівнюємо чисельники.

A x−1 2 Bx C x x−1 =2 x2−3 x 3.

Знаходимо коефіцієнти:

x=1 ; B=2.

x =0 ; A=3 ;

x2 : A C=2 ; C=−1 ;

Тоді:

x5−x4 x2−2 x 3

x3

x2

3

2

1

∫

dx=

x ∫ x

−

dx=

x3−2 x2 x

3

2

x−1 2

x−1

=

x3

x2

x 3ln x −

2

−ln x−1 C.

3

2

x−1

Інтегрування тригонометричних виразів виду

∫R sin x ,cos x dx.

Універсальна підстановка

21. ∫	dx
		.
	4sin x 3cos x 5

універсальна підстановка застосовується до інтегралів виду

∫R sin x ,cos x dx ,				де R ­ раціональна функція.
Це підстановка виду:
	x				2 t		1−t2			2dt
tg		=t ;	sin x=			;	cos x=1 t2		; dx=		.
	2				1 t 2					1 t 2
Позначимо			I=∫			dx		.
				4sin x 3cos x 5

100

Робимо універсальну підстановку:

2dt

I=∫

1 t2

=∫

2 dt

=

2t

1−t2

8 t 3−3t2 5 5t2

4

3

5

1 t2

1 t2

=∫

2dt

=∫

dt

−1

=

C.

2 t2 8t 8

t 2 2

t 2

Після цього повертаємось до змінної х , враховуючи, що

t=tg x/2 ,

одержимо:

I=∫

dx

−1

=

C.

4sin x 3cos x 5

tg x/ 2 2

Всі інші приклади цього варіанту розглянуто вище у відповідних розділах.

Зауваження

При знаходженні невизначених інтегралів у сучасних підручниках основна увага приділяється методам інтегрування різних класів функцій, які рідко потребують спрощення. Це обумовлено в першу чергу браком часу. Студентам було б корисно розв'язувати і такі приклади на інтегрування, які потребують суттєвого спрощення підінтегральної функції з широким застосуванням формул елементарної математики. Наведемо такі приклади:

1)

I=∫

sin x sin 3 x 2 cos x cos3 x 2

dx ;

− / 2≤x≤3 /2 .

101

Щоб знайти цей інтеграл потрібно спростити підінтегральну функцію, використовуючи формули тригонометрії та алгебри:

										−
				sin sin =2sin				2 cos		2	;
								−
	cos cos =2cos				2 cos			2	;	cos − =cos ;
					sin2 cos2 =1;
			= a ;	− ≤x≤		3	cos x≤0			i cos x =−cos x .
		a2
				2	2

I =∫ sin x sin 3 x 2 cos x cos 3 x 2 dx= =∫ 2sin 2 x cos −x 2 2 cos2 x cos −x 2 dx= =∫ 4cos2 x sin2 2 x cos2 2 x dx=∫ 4cos2 x dx =

=2∫ cos2 x dx=2∫ cos x =−2∫cos x dx=−2sin x C.

2)

∫

3 x−2 2 24 x

9 x2−12 x 4 24 x

dx=

x dx=

3 x 2 / x

∫

3 x 2

3 x 2

dx= так як x 0 =

3 x 2 2

=

x dx=

x

3 x 2

3 x 2

∫

∫

=∫ x dx=23 x3/ 2 C =23 x x C.

102

Варіант №1

Безпосереднє інтегрування. Інтегрування підведенням під знак диференціала:

3

2

4

tg

x

x

2

1. ∫

dx ;

2.

∫ tg

x

dx ;

3. ∫

dx ;

x

9−x2

x

4.

∫

x2 dx

;

5.

∫

ex dx

;

6.

∫8sin x cos x dx ;

2 3

2x

sin x

1 e

arctg x

3

∫ x4

dx ;

∫ x e

dx ;

9. ∫

x

x

dx.

7.

1−x5

8.

2

4

1 x

1−x

Інтегрування частинами:

10.

∫ x arctg x dx ;

11.

∫ln3 x dx ;

12.

∫ 6x 1 2 sin 2 x dx ;

13.

∫e2 x cos3 x dx.

Інтегрування деяких функцій, що містять квадратний

тричлен:

14.

dx

;

15.

8 x 3

dx ;

∫ x2

∫ x2

2 x −3

4 x 20

16.

dx

;

17.

∫

5 x 3

dx.

x2 4 x−16

∫ 8−x2 2 x

Інтегрування раціональних дробів:

18.

∫

8 x 1

dx ;

19.

∫

5 x 3

dx ;

x 1 x 2 x 3

2

x

2

−1 x

4

20.∫ x4−x3−4 x2 6 x 1 dx. x3−3 x2 2 x

103

Інтегрування тригонометричних виразів виду

∫R sin x ,cos x dx

а)

універсальна підстановка:

21.

∫

dx

;

sin x 2 cos x 3

б)

часткові випадки:

22.

∫

sin5 x

dx ;

23.

∫tg5 x dx ; 24.

∫

dx

;

2

cos x 1

4 sin

x

в)

інтеграли виду:

∫sinm x cosn x dx

:

25.

∫ cos43 x dx ;

26.

∫sin4 x dx ;

27.

∫ sin26x dx ;

sin x

cos

x

г) інтеграли виду

∫cos m x cos n x dx ,

∫sin m x cos n x dx ,

∫sin m x sin n x dx

:

28.

∫sin 2 x sin 5 x dx ;

29. ∫cos x cos2 x cos3 x dx.

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

6

dx

30.

∫

4 x x

dx ;

31.

∫

;

3

3

x 1 x

x 1 x 1 2

32.∫ 1−1x 2 3 11−xx dx.

Інтегрування деяких ірраціональних функцій з допомогою тригонометричних підстановок.

33. ∫		x2 dx		; 34.	∫	x2−1		35.	∫	9−x2
							dx ;				dx .
		4 x2				x				x2

104

Варіант №2

Безпосереднє інтегрування. Інтегрування підведенням під знак

диференціала:

∫ ctg

dx ;

2

9

ex dx

x 2

2

1.

∫

x

dx ;

2.

x

3.

∫

;

4 x2

1 ex 2

x

4.

∫

x dx

;

5.

∫

x dx

;

6.

∫

3arcsin x

dx ;

4

1−x2

1 x

9−x2

1

1

x arctg2 x

tg3 x

tg x

7.

∫cos x

dx ;

8.

∫

dx ;

9.

∫

dx.

x2

1 x2

cos2 x

Інтегрування частинами:

10.

∫arcsin x dx ;

11.

∫x 5x dx ;

12.

∫ 3 x 2 2 cos 4 x dx ;

13.

∫sin ln x dx.

Інтегрування деяких функцій, що містять квадратний

тричлен:

14.

dx

;

15.

5 x 2

dx ;

∫ x2 6 x 25

∫ x2

4 x−12

dx

;

3 x 7

dx.

∫ x2

16.

8 x 20

17.

∫ 32−x2 4 x

Інтегрування раціональних дробів:

18.

∫

2 x 3

dx ; 19.

∫

3 x3

2 dx ;

2

x−1 x−2

x 1

20.

∫

x4−2 x3−5 x2 8 x 5 dx.

x3−4 x2 3 x

105

Інтегрування тригонометричних виразів виду

∫R sin x ,cos x dx

а)

універсальна підстановка:

21.

∫

dx

;

8−4sin x 7cos x

б)

часткові випадки:

22.

∫

cos3 x

dx ; 23.

∫ctg3 x dx ;

24.

∫

dx

;

2

sin x 1

9 cos

x

в)

інтеграли виду:

∫sinm x cosn x dx

:

25.

∫ cos67 x dx ;

26.

∫cos6 x dx ;

27.

∫ cos84 x dx ;

sin x

sin

x

г) інтеграли виду

∫cos m x cos n x dx

,

∫sin m x cos n x dx ,

∫sin m x sin n x dx

:

28.

∫cos3 x cos2 x dx ;

29.

∫sin x sin 2 x sin 6 x dx.

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

30.

∫

dx

;

31.

∫

x 3 dx

;

3

1

x

x

x 3

x 3 2

32.∫ 2−1x 2 3 22−xx dx.

Інтегрування деяких ірраціональних функцій з допомогою тригонометричних підстановок.

33. ∫

dx

;

∫

dx

;

∫ x2 dx

34.

35.

.

x 4 x2

x

x 2−25

16

−x

2

106

Варіант №3

Безпосереднє інтегрування. Інтегрування підведенням під знак диференціала:

3

2

1

sin x

1. ∫

x 1

dx ; 2.

∫

dx ;

3.

∫

dx ;

3

4

2

2

x

cos x sin x

cos

x

1

1

3

sin x cos x

4.

∫sin x

dx ;

5.

∫

ln x

dx ;

6.

∫

dx ;

x2

x

cos2 x−sin2 x

7.

∫ a2x

−

1 dx ;

8.

∫

x2 dx

;

9.

∫ x x2 arctg4 x dx.

ax

x3 1

1 x2

Інтегрування частинами:

10.

∫ x2 arctg x dx ;

11.

∫ x ln x dx ;

12.

∫ x2 2 x 3 cos x dx ;

13.

∫cos ln x dx.

Інтегрування деяких функцій, що містять квадратний

тричлен:

14.

dx

;

15.

5 x 4

dx ;

∫ x2 6 x 8

∫ x2

8 x 25

dx

;

3 x 2

dx.

16. ∫ 5−x2−4 x

17.

∫ x2

10 x 41

Інтегрування раціональних дробів:

18.

4 x 3

dx ;

19.

dx

;

∫ x3 1

∫ x2 x 1

20.∫ 6 x4−6 x3−2 x2 9 x 4 dx. x3−4 x2 3x

107

Інтегрування тригонометричних виразів виду

∫R sin x ,cos x dx

а)

універсальна підстановка:

21.

∫

dx

;

2cos x 6sin x 3

б)

часткові випадки:

22.

∫

cos3 x

dx ;

23.

∫tg5 x dx ;

24.

∫

dx

;

9 sin

2

4 sin x

x

в)

інтеграли виду: ∫sinm x cosn x dx

:

∫ sin28 x dx ;

25.

∫sin3 x cos4 x dx ;

26.

∫sin4 x cos6 x dx ;

27.

cos x

г) інтеграли виду

∫cos m x cos n x dx

,

∫sin m x cos n x dx ,

∫sin m x sin n x dx :

28.

∫sin 3 x cos 2 x dx ;

29.

∫cos x cos2 x sin 3x dx.

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

x

30.

∫

dx ; 31.

∫

x 4 dx ;

32.

∫

1

4

x 3

dx.

4

2

3

x

1

x

x −3

x−3

Інтегрування деяких ірраціональних функцій з допомогою

тригонометричних підстановок.

∫

dx

∫

dx

33.

;

34.

;

35. ∫ 1−x2 3 dx.

2

x

2

16 x

2

25−x

2

x

108

Варіант №4

Безпосереднє інтегрування. Інтегрування підведенням під знак диференціала:

x x

5

2

2

arcsinx

2 2

1. ∫

dx ;

2. ∫

dx ;

3.

∫

3 x x ctg

x

dx ;

1−x2

x2

3

x

e−x

x

sin ln x

1−sin x

4.

∫e 1− x3

dx ;

5.

∫

dx ;

6.

∫

dx ;

x

x cos x

2

∫

x3 dx

∫

earctg x x ln 1 x2

7.

∫esin

x sin 2 x dx ; 8.

;

9.

dx.

2

8

1 x

x

−1

Інтегрування частинами:

ln x

10.

∫arccos x dx ;

11.

∫

dx ;

x

12.

∫ 5 x2 3 x 1 2x dx ;

13.

∫cos x 5 e2 x dx.

Інтегрування деяких функцій, що містять квадратний

тричлен:

14.

dx

;

15.

4 x 5

dx ;

∫ 2 x2−2 x 3

∫ x2 8x−4

dx

;

∫

3 x−1

dx.

16. ∫ 16−x2

−6 x

17.

x2

−4 x 8

Інтегрування раціональних дробів:

18. ∫

3 dx

;

19.

∫

dx

;

x x−1 x 2

x−3 x2 2

20.∫ 2 x4−3 x3−5 x2 9 x 2 dx. x3−3 x2 2 x

109

Інтегрування тригонометричних виразів виду

∫R sin x ,cos x dx

а)

універсальна підстановка:

21.

∫

dx

;

4cos x 3sin x 5

б)

часткові випадки:

22.

∫

cos3 x

dx ;

23.

∫tg5 x dx ;

24.

∫

dx

;

2

2sin

2

2

1 sin

x

x 3 cos

x

в)

інтеграли виду:

∫sinm x cosn x dx

:

∫ cos82 x dx ;

25.

∫cos3 x sin2 x dx ;

26.

∫cos4 3 x dx ;

27.

sin

x

г) інтеграли виду

∫cos m x cos n x dx

,

∫sin m x cos n x dx ,

∫sin m x sin n x dx :

28.

∫sin 5 x sin 2 x dx ;

29.

∫cos x cos3 x cos6 x dx.

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

3

−1 dx ;

30.

∫

x

31.

∫

dx

;

3

x 1

x 1 x 1

32.∫ x −14 2 3 xx−44 dx.

Інтегрування деяких ірраціональних функцій з допомогою тригонометричних підстановок.

33. ∫

dx

;

34. ∫

dx

; 35.

∫

x2 dx

.

2

2

2

2

1 x

x −9

1−x

x

x

110

Варіант №5

Безпосереднє інтегрування. Інтегрування підведенням під знак диференціала:

5

2

−

2 x2

2−x2

x

x

∫

dx ;

4

x 5

1.

∫

dx ;

2.

4−x

4

3.

∫x 7

dx ;

4

x

x ln x dx ;

tg x

dx

4.

∫

5.

∫

e

dx ;

6.

∫

;

2

x

x

cos

x ln x

1

1

arctg

x

x 1

3 x 1

7.

∫tg x

dx ;

8.

2

dx ; 9.

∫

dx.

x2

∫

5 x2 1

2

4 x

Інтегрування частинами:

10.

∫ x arcsin x dx ;

11.

∫ln3 x dx ;

12.

∫ 4 x2 5 x 1 cos x dx ;

13.

∫sin 3 x 2 e5 x dx.

Інтегрування деяких функцій, що містять квадратний

тричлен:

14.

dx

;

15.

x dx

;

∫3−x2−2 x

∫ 2 x2 6 x 58

16.

dx

;

17.

3 x 7

dx.

∫ 5−x2 4 x

∫ x2 6 x 58

Інтегрування раціональних дробів:

18.

∫

3 x 1

dx ;

19.

∫

2 x 1

dx ;

2

x−2

2

1

x x−1

x

20.

∫

3 x4−13 x3 2 x2 12 x 1 dx.

x3−5 x2 4 x

111

Інтегрування тригонометричних виразів виду

∫R sin x ,cos x dx

а)

універсальна підстановка:

21.

∫

dx

;

3 cos x−5sin x 4

б)

часткові випадки:

22. ∫

sin3 x

dx ;

23.

∫ctg7 x dx ;

24.

∫

dx

;

1 cos2 x

sin2 x−5sin x cos x

в)

інтеграли виду:

∫sinm x cosn x dx

:

∫ cos84 x dx ;

25.

∫cos3 x sin2 x dx ;

26.

∫cos6 2 x dx ;

27.

sin

x

г) інтеграли виду

∫cos m x cos n x dx

,

∫sin m x cos n x dx ,

∫sin m x sin n x dx

:

∫

∫

2

3

28.

cos

x

sin

x

dx ;

29.

cos x cos5 x cos 7 x dx.

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

∫ 3

∫ x2

dx ;

30.

x

3 dx ;

31.

1 x

3

x 4

1 x

32.

1

5 x 11

∫ x−11 2 x−11 dx.

Інтегрування деяких ірраціональних функцій з допомогою

тригонометричних підстановок.

33.

∫

dx

;

34.

∫

dx

; 35.

∫

1−x2

dx.

2

2

2

2

x

1 x

x −25

x

x

112

Варіант №6

Безпосереднє інтегрування. Інтегрування підведенням під знак диференціала:

4

2

x

x

6

2

x

x

1.

∫

dx ; 2.

∫

4 tg

x x

dx ;

3. ∫e

cos e

1 dx ;

3

x

x2 dx

4.

∫

cos x

dx ;

5.

∫

;

6.

∫

dx

;

2 3

2

2sin x 1

sin x

cos

x 1 tg x

7.

∫

x2 dx

;

8.

∫ arcsin3 x

3 x dx ;

9.

∫ ln2 x sin ln x 5 dx ;

1 x6

1−x2

x

Інтегрування частинами:

10.

∫ arcsin

x dx ;

11.

∫x2 cos2 x dx ;

1−x

∫cos ln x dx ;

12.

∫ x2 3 x 5 sin 2 x dx ;

13.

Інтегрування деяких функцій, що містять квадратний

тричлен:

14.

dx

;

15.

∫

3 x 4

dx ;

∫ x2 6 x 73

33−x2 4 x

16.

dx

;

17.

4 x 6

dx ;

∫ x2 8 x 97

∫ 15−x2−2 x

Інтегрування раціональних дробів:

18.

x

2 dx

;

19.

2 x 1

dx ;

∫ x−1 x2 3

∫ x2−4 x 3 x 2

20.

∫

4 x4 7 x3−5 x2−4 x 5 dx ;

x3 x2−2 x

113

Інтегрування тригонометричних виразів виду

∫R sin x ,cos x dx

а)

універсальна підстановка:

21.

∫

dx

;

2cos x−7sin x 3

б)

часткові випадки:

22.

∫

cos5 x

dx ;

23.

∫ctg3 x dx ;

24.

∫

dx

;

2

1 sin x

2 cos

x

в)

інтеграли виду:

∫sinm x cosn x dx

:

∫ sin48 x dx ;

25.

∫cos3 x sin5 x dx ;

26.

∫sin2 x cos4 x dx ;

27.

cos x

г) інтеграли виду

∫cos m x cos n x dx

,

∫sin m x cos n x dx ,

∫sin m x sin n x dx

:

28.

∫sin 2 x cos3 x dx ;

29. ∫cos 2 x cos 6 x cos8 x dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

4

1

x

x

30.

∫

dx ;

31.

∫

dx ;

3

4

3

x 2

x 2

x 4 x

32.∫ x −16 2 8 xx−66 dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій з допомогою тригонометричних підстановок.

33. ∫

dx

;

34. ∫

dx

; 35.

∫

1−x2

dx.

2

2

2

4

25 x

x −1

x

x

x

114

Варіант №7

Безпосереднє інтегрування. Інтегрування підведенням під знак

диференціала:

3

x 2

dx

3

1.

∫

x

x

dx ;

2.

∫

;

3.

∫

1 ln x

dx ;

sin

2

2

x

4

sin

x

x cos x

∫

x

∫

tg3 x−ctg 3 x

∫

2 x dx

4.

dx ;

5.

dx ;

6.

;

x

sin 3 x

1−4 x2

7.

∫

sin x

dx ;

8.

∫

ln2 x 3

dx ;

9.

∫

arctg5 x x3

dx ;

3

3

1 x

2

cos2 x

x ln x

Інтегрування частинами:

10.

∫arctg x dx ;

11.

∫ x tg2 x dx ;

12.

∫ x3 2 x 3 ex dx ;

13.

∫sin3 x e4 x dx ;

Інтегрування деяких функцій, що містять квадратний

тричлен:

14.

dx

;

15.

∫

2x 7

dx ;

∫ x2 6 x 73

32−x2

4 x

16.

dx

;

17.

3 x 5

dx ;

∫ x2 8 x 41

∫ −x2−10 x−9

Інтегрування раціональних дробів:

18.

2 x 9

dx ;

19.

x dx

;

∫ x3 27

∫ x2 x−1 x−3

20.∫ 2 x4 x 3 2 x2 4 x 5 dx ; x 3−3 x 2

115

Інтегрування тригонометричних виразів виду

∫R sin x ,cos x dx

а)

універсальна підстановка:

21.

∫

dx

;

2cos x−4sin x 3

б)

часткові випадки:

22.

∫

cos3 x

dx ;

23.

∫ctg5 x dx ;

24.

∫

tg x dx

;

2

4 sin x

1 sin

x

в)

інтеграли виду: ∫sinm x cosn x dx

:

25.

∫ sin34x dx ;

26.

∫cos2 3 x 2 dx ;

27.

∫

dx

;

4

cos

x

cos

x

г) інтеграли виду

∫cos m x cos n x dx

,

∫sin m x cos n x dx ,

∫sin m x sin n x dx

:

28.

∫cos3 x cos7 x dx ;

29. ∫sin 3 x sin 5 x sin 6 x dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

30.

∫

x 1

dx ;

31.

∫

x dx

;

3

6

3

x 1 x5

x 7 x 7

32.∫ x −17 2 12 xx−77 dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій з допомогою тригонометричних підстановок.

33. ∫		dx			34. ∫	x2−9
				;			dx ; 35.	∫ x2 25−x2 dx.
	x 4 x2					x3

116

Варіант №8

Безпосереднє інтегрування. Інтегрування підведенням під знак диференціала:

											5				2
					x									x
1.	∫																dx ;			2.
									3
	∫								x
4.					3				2		9 dx ;									5.
		x x
7.	∫				sin 2 x dx														;	8.
							9 cos2 x

x

2

1

3.

∫5

x

1

dx ;

∫

4 ctg

x

9

dx ;

x

1

1

x dx

∫ctg x

dx ;

6.

∫

;

x2

x 2

4 6

∫

4 x arcsin9 x

dx ;

9.

∫

dx

;

1−x2

x 5

ln4 x

Інтегрування частинами:

10.

∫6 x2 arctg 2 x dx ;

11.

∫

ln x

dx ;

2

x

12.

∫ 4 x3 2 x 1 sin x dx ;

13.

∫sin ln x dx ;

Інтегрування деяких функцій, що містять квадратний

тричлен:

14.

dx

;

15.

∫

3 x 9

dx ;

∫ x2 6 x 34

60−x2−2 x

16.

∫

dx

;

17.

∫

3 x 9

dx ;

x2 6 x−72

21−x2−2 x

Інтегрування раціональних дробів:

2 x 3

3 x2

18.

dx ;

19.

dx ;

∫ x2 x−1 x−4

∫ x 2 x2 1

20.∫ x4−4 x3−2 x2−9 x 15 dx ; x3 x2−5 x 3

117

Інтегрування тригонометричних виразів виду

∫ R sin x ,cos x dx

а)

універсальна підстановка:

21.

∫

dx

;

9−4sin x 8cos x

б)

часткові випадки:

22.

∫

cos5 x

dx ;

23.

∫tg7 x dx ;

24.

∫

dx

;

2 sin x

2

3 cos

x

в)

інтеграли виду: ∫sinm x cosn x dx

:

25.

∫ cos35 x dx ;

26. ∫sin2 2 x 3 dx ;

27.

∫

dx

;

4

sin x

sin

x

г) інтеграли виду

∫cos m x cos n x dx

,

∫sin m x cos n x dx ,

∫sin m x sin n x dx

:

28.

∫sin 5 x cos8 x dx

29. ∫sin 2 x sin 8 x cos6 x dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

3

x

x x

30.

∫

dx ;

31.

∫

dx ;

3

3

x x

x 8 x 8

32.∫ x−18 2 7 xx−88 dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій з допомогою тригонометричних підстановок.

33. ∫

dx

;

34.

∫

dx

;

35.

∫

4−x2

dx.

x

x 36 x2

x2

−9

x2

118

Варіант №9

Безпосереднє інтегрування. Інтегрування підведенням під знак диференціала:

2

4

5

dx

x x

2

∫x

1. ∫

dx ;

2.

∫ 3 ctg

x 6sin 3 x cos 3 x

dx ;

3.

;

1− x5

x

x

dx

2

1

1

4.

∫

;

5.

∫esin

x sin 2 x dx ;

6.

∫tg x

dx ;

arcsin3 x

1−x2

x2

7.

∫

dx

; 8.

∫

2arctg x arctg x x2 3

dx ;

9.

∫

x7 x3

dx ;

5

2

1 x

8

x ln

x

x

5

Інтегрування частинами:

10.

∫arctg x dx ;

11.

∫ln3 x dx ;

12.

∫ 3 x2 4 2 x dx ;

13.

∫e4 x sin 2 x dx ;

Інтегрування деяких функцій, що містять квадратний

тричлен:

14.

dx

;

15.

3 x 8 dx

;

∫ x

2 12 x−13

∫ x2 16 x 65

16.

dx

17.

5 x 1

dx ;

∫ −x2−14 x−24

∫ x2 4 x 20

Інтегрування раціональних дробів:

18.

x2 2 x 4

dx ;

19.

dx

;

∫ x−1 x−2 x−3

∫ x3 1

20.

x4−3 x3 3 x2 x 1

dx ;

∫ x3−3 x2 3 x−1

119

Інтегрування тригонометричних виразів виду

∫ R sin x ,cos x dx

а)

універсальна підстановка:

21.

∫

dx

;

9cos x−5sin x 10

б)

часткові випадки:

22.

∫

sin3 x

dx ;

23.

∫ctg3 x dx ; 24.

∫

dx

;

1 cos

2

3sin

2

x 5cos

2

x

x

в)

інтеграли виду:

∫sinm x cosn x dx

:

25.

∫ sin54x dx ;

26.

∫cos4 2 x dx ;

27.

∫ sin26x dx ;

cos x

cos x

г) інтеграли виду

∫cos m x cos n x dx

,

∫sin m x cos n x dx ,

∫sin m x sin n x dx

:

28.

∫cos3 x cos

x

dx ;

29.

∫cos x cos2 3 x dx ;

3

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

6

dx

30.

∫

x 3

dx ;

31.

∫

;

3

3

1 x

1 1 x

32.∫ x−15 2 9 xx−55 dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій з допомогою тригонометричних підстановок.

33. ∫

dx

;

34. ∫

x2

−81

dx ; 35. ∫

9−x2

dx.

2

49 x

2

x

3

x

4

x

120

Варіант №10

Безпосереднє інтегрування. Інтегрування підведенням під знак диференціала:

x

3

cos2 x

1.

∫

x

2.

∫

dx ;

3.

∫ x ctg

2

dx ;

x

1 dx ;

x2

cos2 x sin2 x

4.

∫

ln x

dx ;

5.

∫

1 sin 3 x

dx ;

6. ∫

dx

;

2

2

2

x

cos 3 x

cos

4−tg

x

x

∫7

1

∫

sin 2 x

∫

arcsin3 x 3 x 1

x

dx ;

7.

8.

dx ;

9.

dx ;

1 cos2 x

x

1−x2

Інтегрування частинами:

∫ x3

∫

10.

arcsin x dx ;

11.

ln x

dx ;

12.

∫ 5 x2 4 x 3 ex dx ;

13.

∫e2 x sin 3 x dx ;

Інтегрування деяких функцій, що містять квадратний

тричлен:

14.

dx

;

15.

5 x 9

dx ;

∫ x2

∫ x2 10 x−11

14 x 53

16.

dx

;

17.

7 x 1

dx ;

∫ x2 12 x 45

∫ 9−x2−8 x

Інтегрування раціональних дробів:

18.

∫

3 x 2

dx ;

19.

∫

2 x 1

dx ;

x−1 x−2

2

x

−1 x

2

5

20.∫ 2 x4−x3 x2 2 x 3 dx ; x3−x2

121

Інтегрування тригонометричних виразів виду

∫ R sin x ,cos x dx

:

а)

універсальна підстановка:

21.

∫

dx

;

10 cos x−6sin x 11

б)

часткові випадки:

22.

sin3 x

dx ;

∫ 2 cos x

23. ∫ 2 tg2 x tg3 x dx ;

24.

∫

dx

;

sin

2

x 3sin x cos x−cos

2

x

в)

інтеграли виду:

∫sinm x cosn x dx

:

27. ∫ sin48 x dx ;

25.

∫sin5 x cos4 x dx ;

26.

∫sin4 2 x dx ;

cos x

г) інтеграли виду

∫cos m x cos n x dx

,

∫sin m x cos n x dx ,

∫sin m x sin n x dx

:

28.∫sin 6 x cos10 x dx 29. ∫cos x cos10 x cos12 x dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

x

x

5 dx

30. ∫

dx ;

31. ∫

;

3

1

3

x

x 10 x 10

32.∫ x −17 2 10 xx−77 dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій з допомогою

тригонометричних підстановок.

∫

dx

; 34.

∫

dx

;

33.

35.

3

2

x

4−x dx.

64 x2

x2−25

∫

x

x2

122

Варіант №11

Безпосереднє інтегрування. Інтегрування підведенням під знак диференціала:

3

2

1 cos2 x

arctg5 x x

1.

∫

x 2 x

dx ;

2.

∫

dx ;

3.

∫

dx ;

1 cos 2x

1 x2

x

1

tg

x2 dx

4. ∫

1

∫

x−1

∫

;

3

x

dx ;

5.

dx ;

6.

x2

x−1

3 x3 1

∫

et dt

8. ∫

dx

tg5 x−ctg 5 x

7.

;

;

9.

∫ sin 5 x

dx ;

1−e

2 t

2

1−x

2

arcsin x

Інтегрування частинами:

10.

∫

arcsin x

dx ;

11.

∫ln x2 1 dx ;

x

2

12.

∫ 4 x2 3 sin 2 x dx ;

13.

∫e3 x cos 4 x dx ;

Інтегрування деяких функцій, що містять квадратний

тричлен:

14.

dx

;

15.

3x 10

dx ;

∫ x

2 16 x 68

∫ x2 10 x 16

16.

dx

;

17.

2 x 7

dx ;

∫ 77−x2

−4 x

∫ x2

6 x 90

Інтегрування раціональних дробів:

18.

2 x 7

dx ;

19.

∫

3 x−2

dx ;

x 1 x2

∫ x2 x−1 x 4

4

20.

∫

x4−4 x 3−x2 6 x 3 dx ;

x3−5 x2 4 x

123

Інтегрування тригонометричних виразів виду

∫ R sin x ,cos x dx

а)

універсальна підстановка:

21.

∫

dx

;

sin x cos x

б)

часткові випадки:

22.

∫

sin3 x

dx ;

23.

∫ tg2 x 3 dx ;

24. ∫

dx

;

2

1 cos x

1 3cos

x

в)

інтеграли виду:

∫sinm x cosn x dx

:

∫ cos84 x dx ;

25.

∫sin3 x cos4 x dx ;

26.

∫sin4 x cos2 x dx ; 27.

sin x

г) інтеграли виду

∫cos m x cos n x dx ,

∫sin m x cos n x dx ,

∫sin m x sin n x dx

:

28.∫cos x cos11 x dx 29. ∫sin 2 x sin 4 x cos 5 x dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

3

1

x

2 x−3 2

30.

∫

x

dx ;

31.

∫

dx ;

4

6

1

x5

x7

2 x−3 3 1

32.

1

7

x 11

∫ x −11 2 x−11 dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій з допомогою

тригонометричних підстановок.

33. ∫

dx

;

34.

∫

x2−25

35. ∫

1−x

2

dx ;

dx.

2

81 x

2

x

3

x

6

x

124

Варіант №12

Безпосереднє інтегрування. Інтегрування підведенням під знак диференціала:

x

2

3 2x −2 3x

cos2 x

1.

∫

x

x

2.

∫

dx ;

3.

∫

dx ;

dx ;

x

5

3

2

2 x

x

3

sin

x dx

ln5 x x

4.

∫

;

5.

∫

tg x

dx ;

6.

∫

dx ;

sin2 x2

cos2 x

x

5

2arctg x x3

5−3 x

1 ctg x

7.

∫

dx ;

8.

∫

dx ;

9.

∫

dx ;

1 x2

sin2 x

4−x2

Інтегрування частинами:

10.

∫ arcsin x dx ;

11.

∫ln4 x dx ;

x 1

12.

∫ 2 x2 3 x 1 2x dx ;

13.

∫sin 3 x 1 e2 x dx ;

Інтегрування деяких функцій, що містять квадратний

тричлен:

14.

dx

;

15.

3 x−4

dx ;

∫ x2

10 x −119

∫ 4 x2 12 x 25

16.

dx

;

17.

5 x−2

dx ;

∫

∫ −x2−14 x−40

x2 12 x 52

Інтегрування раціональних дробів:

18.

2 x 1

dx ;

19.

∫

x2 x

dx ;

∫ x2

x−1 x2 9

x−1 x 1

20.∫ x4 3 x3−9 x2 7 x 2 dx ; x3 3 x2−9 x 5

125

Інтегрування тригонометричних виразів виду

∫ R sin x ,cos x dx

а)

універсальна підстановка:

21. ∫

dx

;

12 cos x 6sin x 13

б)

часткові випадки:

22. ∫ cos3 x dx ;

23.

∫ ctg3 x ctg x dx ;

24.

∫

dx

;

sin

2

x 4 cos

2

1 sin x

x

в)

інтеграли виду:

∫sinm x cosn x dx

:

25.

∫cos3 x sin4 x dx ;

26.

∫cos4 x dx ;

27.

∫

dx

;

6

x

sin

г) інтеграли виду

∫cos m x cos n x dx

,

∫sin m x cos n x dx ,

∫sin m x sin n x dx

:

28.

∫sin 6 x cos7 x dx

29.

∫cos 2 x cos12 x sin 3 x dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

4

x dx

x

30.

∫

dx ;

31.

∫

;

8

3

1 x

x 12 x 12

32.∫ x −17 2 5 xx−77 dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій з допомогою тригонометричних підстановок.

33. ∫

dx

; 34. ∫

dx

; 35.

∫

x2 dx

.

2

2

2

2

2

9 x

x −25

4−x

x

x

126

Варіант №13

Безпосереднє інтегрування. Інтегрування підведенням під знак диференціала:

∫

x 5

2

sin x

1.

x

dx ;

2. ∫

dx ;

3.

x

1 sin x

1

∫ ctg

dx ;

∫e

dx ; 5.

x 1

4.

x

6.

1

x

x 1

1

dx ; 8. ∫

4arcsin x arcsin3 x x

7. ∫2x

dx ;

2

1−x

2

x

∫ 1−2 x dx ;

1−4 x2

∫			dx				;
	x
			1−ln2 x
9. ∫		cos x			dx ;
		3 sin2 x

Інтегрування частинами:

10.

∫arccos x dx ;

11.

∫ln3 x dx ;

12.

∫ 2x2 3 x 4 ex dx ;

13.

∫sin ln x dx ;

Інтегрування деяких функцій, що містять квадратний

тричлен:

14.

∫

dx

;

15.

∫

3 x−7

dx ;

41 x2

12 x

117−x2−4 x

16. ∫

dx

;

4 x−5

dx ;

√85+x2 +18 x

17. ∫ 4−x2 2 x

Інтегрування раціональних дробів:

18.

x 5

dx ;

19.

dx

;

∫ x2 x−1 x 3

∫ x3−8

20.

∫

x4 6 x3 13 x2 14 x 4 dx ;

x3 4 x2 5 x 2

127

Інтегрування тригонометричних виразів виду

∫ R sin x ,cos x dx

:

а)

універсальна підстановка:

21.

∫

dx

;

4cos x 13sin x 5

б)

часткові випадки:

22.

∫

sin5 x

dx ;

23.

∫ tg4 x tg x dx ;

24.

∫

dx

;

1 cos x

2

4 sin

x

в)

інтеграли виду:

∫sinm x cosn x dx

:

∫ sin48 x dx ;

25.

∫sin3 x cos5 x dx ;

26. ∫sin4 2 x dx ;

27.

cos x

г) інтеграли виду

∫cos m x cos n x dx

,

∫sin m x cos n x dx ,

∫sin m x sin n x dx

:

28.

∫sin 6 x cos7 x dx

29. ∫sin 2 x cos2 4 x dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

dx

3

30.

∫

;

31.

∫

x x 1

dx ;

3

5

x x

x 1

32.∫ x−18 2 5 xx−88 dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій з допомогою тригонометричних підстановок.

33. ∫

dx

;

34.

∫

dx

;

35. ∫

x4 dx

.

2 3

2

2

2

5 2 x x

16−x

x x −4

128

Варіант №14

Безпосереднє інтегрування. Інтегрування підведенням під знак диференціала:

3

2

1.

x x

dx ;

2.

∫ 3tg2 2x x dx ;

3.

∫

sin x

cos x dx ;

∫

5

x

3

4. ∫

x dx

;

5.

∫

arcsin x

dx ;

6.

∫e−

x

1

dx ;

4

x

1 x

1−x2

7.

dx

;

8.

4arctg x x4 1

dx ;

9.

∫

cos x dx

;

∫ x sin2 ln x

∫

1 x2

sin3 x

Інтегрування частинами:

10.

∫ x arctg x dx ;

11.

∫ln3 x dx ;

12.

∫ x2 3 cos2 x dx ;

13.

∫e5 x sin 2 x 3 dx ;

Інтегрування деяких функцій, що містять квадратний

тричлен:

14.

dx

;

15.

4 x−9

dx ;

∫ x2 4 x 6

∫ 4−x2−2 x

16.

dx

;

17.

5x−7

dx ;

∫ −6−x2−6 x

∫ 32 x2 5 x

Інтегрування раціональних дробів:

18. ∫

2 x 3

dx ;

19.

∫

3 x 2

dx ;

2

x −2

2

4

x−1 x−2

x

20.∫ x4 6 x3 11 x2 7 x 4 dx ; x3 6 x2 11 x 6

129

Інтегрування тригонометричних виразів виду

∫R sin x ,cos x dx

а)

універсальна підстановка:

21.

∫

dx

;

3 cos x 14 sin x 4

б)

часткові випадки:

22. ∫

sin3 x

dx ;

23.

∫ctg

9

x dx ; 24.

∫

2 tg x 3

dx ;

1 cos

2

sin

2

x 2cos

2

x

x

в)

інтеграли виду:

∫sinm x cosn x dx

:

∫ cos62 x dx ;

25.

∫sin5 x cos2 x dx ;

26.

∫sin6 x dx ; 27.

sin

x

г) інтеграли виду

∫cos m x cos n x dx ,

∫sin m x cos n x dx ,

∫sin m x sin n x dx

:

28.∫sin 4 x sin 14 x dx ; 29. ∫cos 2 x cos14 x sin 3 x dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

3

6

dx

2 x

x

x

30. ∫

dx ;

31.

∫

;

3

3

3x 1 x

x 14 x 14

32.∫ x−19 2 4 xx−99 dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій з допомогою

тригонометричних підстановок.

∫

dx

; 34.

∫

dx

;

33.

35.

3

2

x

36−x dx.

100 x2

x2−16

∫

x2

x

130

Варіант №15

Безпосереднє інтегрування. Інтегрування підведенням під знак диференціала:

3

2

5

ex dx

x x

∫

1.

∫

dx ; 2.

∫ sin 3 x tg2 x x dx ;

3.

;

2 x

x

e

1

10

1

∫

dx

∫

cos x dx

4. ∫9 x

dx ;

5.

;

6.

;

2

2

x

x cos

ln x

2 3sin x

7.

∫

x dx

; 8. ∫

arcsin3 x −x 1

dx ; 9.

∫

ctg

2 x 3

dx ;

4

7 2 x2

1−x2

2 x 3

−

Інтегрування частинами:

10.

∫arctg 3 x dx ;

11.

∫x 3x dx ;

12.

∫ 4 x2 2 x 1 sin 2 x dx ;

13.

∫cos ln x dx ;

Інтегрування деяких функцій, що містять квадратний

тричлен:

14.

dx

;

15.

x−3 dx

;

∫

∫ 65 x2 14 x

−6−x2−6 x

16.

dx

;

17.

7 x−9

dx ;

∫

∫ 20 x2 4 x

4−x2−2 x

Інтегрування раціональних дробів:

18.

∫

3 x 2 dx

;

19.

∫

2 x−4 dx

;

x−1 x−2 x 1

2

2

9

x 1 x

20.∫ x4 3 x3 4 x2−3 x 1 dx ; x3 2 x2−3 x

Інтегрування тригонометричних виразів виду

131

∫ R sin x ,cos x dx

а)

універсальна підстановка:

21.

∫

dx

;

5cos x 15 sin x 6

б)

часткові випадки:

22.

∫

sin3 x

dx ;

23. ∫

1 tg x dx ;

24.

∫

dx

;

8 sin

2

x

cos x 2

1−tg x

в)

інтеграли виду:

∫sinm x cosn x dx

:

25.

∫cos3 x dx ;

26.

∫sin2 x cos2 x dx ;

27.

∫

dx

;

4

cos

x

г) інтеграли виду

∫cos m x cos n x dx

,

∫sin m x cos n x dx ,

∫sin m x sin n x dx

:

28.

∫cos 2 x sin 5 x dx ;

29.

∫cos x cos15 x cos 4 x dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

3

6

∫

x 15 dx

30.

∫

5x x x

dx ;

31.

;

x 15 3

x 3 x 4

x 15

32.

1

3

x 15

∫ x −15 2 x−15 dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій з допомогою

тригонометричних підстановок.

dx

;

dx

;

33.

34.

35.

2

2

∫

∫

x 16−x

dx.

36−x2

∫

x 9 x2

x2

132

Варіант №16

Безпосереднє інтегрування. Інтегрування підведенням під знак диференціала:

6 3

2 dx ;

5

dx ;

2 x

x

1.

∫

x

2. ∫

tg2 x

dx ;

3.

∫

2

x

25 x

x

4.

∫

x3 dx

;

5.

∫

ex dx

;

6.

∫9cos x sin x dx ;

2

4

1−e

2x

cos

x

x2 x5

∫

∫ x arctg4 x earctg x

dx ;

∫

dx ;

7.

x5 1−x6 dx ;

8.

9.

1 x2

1−x6

Інтегрування частинами:

10.

∫arctg

x

dx ;

11.

∫ln4 x dx ;

4

12.

∫ 3 x 2 2 sin 2 x dx ;

13.

∫e4 x cos2 x dx ;

Інтегрування деяких функцій, що містять квадратний

тричлен:

14.

dx

;

15.

8 x 3

dx ;

∫ x2 4 x−5

∫ x2 8 x 17

16.

dx

;

17.

∫

3 x 2

dx ;

∫ 35−x2 2 x

x2 4 x−21

Інтегрування раціональних дробів:

18.

∫

2 x 1

dx ;

19.

∫

4 x 3

dx ;

x−1 x 2 x−3

x−1 x2 9

20.∫ 2 x3 2 x2 4 x 3 dx ; x3 x2

133

Інтегрування тригонометричних виразів виду

∫ R sin x ,cos x dx

а)

універсальна підстановка:

21.

∫

dx

;

3

б)

часткові випадки:

sin

x

22. ∫

sin3 x

dx ;

23.

∫ tg x tg4 x dx ; 24.

∫

dx

;

4sin

2

x−5cos

2

cos x 1

x

в)

інтеграли виду: ∫sinm x cosn x dx

:

25.

∫ sin54x dx ;

26.

∫sin6 x dx ;

27.

∫sin4 x cos2 x dx ;

cos x

г) інтеграли виду

∫cos m x cos n x dx

,

∫sin m x cos n x dx ,

∫sin m x sin n x dx :

28.

∫sin 2 x sin 8 x dx ;

29.

∫cos 2 x cos 6 x cos8 x dx ;

29.

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

30.

∫

x dx

;

31.

∫

x 2 dx

;

3 x

3

x2

1 x 2

∫

1

16−x dx ;

32.

3

2

16−x

16 x

Інтегрування деяких ірраціональних функцій з допомогою

тригонометричних підстановок.

33.

∫

x2 dx

;

34.

∫

x2−4

dx ;

35.

∫

16−x2

dx .

9 x

2

x

x

2

134

Варіант №17

Безпосереднє інтегрування. Інтегрування підведенням під знак диференціала:

1 2

x dx

ctg2

2 x

x

x

1. ∫

4

dx ;

2. ∫

; 3.

∫

dx ;

36−x

2

x

4 x

2

x

4. ∫

x x3

∫

x 5arcsin x

6. ∫

2 x arctg4 x

dx ;

dx ; 5.

dx ;

1 x2

1 x4

1−x2

1 1

x

dx

3

e

tg7 x tg x

7.

∫tg x

dx ; 8.

∫

;

9.

∫

dx ;

x2

1−3 ex 2

cos2 x

Інтегрування частинами:

10.

∫arccos

x

dx ;

11.

∫ x 9x dx ;

3

12.

∫ 2 x 5 2 cos 2 x dx ;

13.

∫sin ln x dx ;

Інтегрування деяких функцій, що містять квадратний

тричлен:

14.

dx

;

15.

4 x 5

dx ;

∫ x2

∫ x2 8 x 25

2 x−8

dx

;

17. ∫

4 x 6

dx ;

16. ∫ x2 6 x 58

60−x2 4 x

Інтегрування раціональних дробів:

18.

∫

dx

;

19.

x 2

dx ;

x2−4 x x 5

∫ x3 1

20.∫ x4−x3 6 x2 8 x 2 dx ; x3−4 x2 3 x

135

Інтегрування тригонометричних виразів виду

∫ R sin x ,cos x dx

а)

універсальна підстановка:

21.

∫

dx

;

8−2sin x 5 cos x

б)

часткові випадки:

22.

∫

cos3 x

dx ;

23.

∫ 1 tg x dx ; 24.

∫

dx

;

7cos

2

2

x

sin x 1

1−tg x

x 2sin

в)

інтеграли виду:

∫sinm x cosn x dx

:

25.

∫ cos35 x dx ;

26.

∫cos6 x dx ;

27.

∫

dx

;

4

x

sin

x

sin

г) інтеграли виду

∫cos m x cos n x dx

,

∫sin m x cos n x dx ,

∫sin m x sin n x dx

:

28.

∫cos 6 x cos2 x dx ;

29.

∫sin x sin 5 x sin 8 x dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

x dx

−1 dx

30.

∫

;

31.

∫

x 1

;

1−3

3

x

x 1 1 x 1

32.

1

5 17−x

∫ 17−x 2 17 x dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій з допомогою

тригонометричних підстановок.

33.

∫

dx

;

34.

∫

dx

;

35.

∫x2 dx

;

x 121 x2

x

x2−64

49−x

2

136

Варіант №18

Безпосереднє інтегрування. Інтегрування підведенням під знак диференціала:

2

dx

∫

sin x

1. ∫x2 x 1 dx ;

2.

∫

2

2

;

3.

dx ;

5

2

3

cos

x sin x

cos

x

1

1

sin 2 x

2 x 4 x3 dx

4.

∫cos x

dx ;

5.

∫

dx ;

6.

∫

;

x2

cos2 x−sin2 x

x4 1

52x−1

1 3 x 2 x2 arctg6 x

5

ln x

7.

∫

dx ;

8.

∫

2

dx ;

9.

∫

dx ;

5

x

1 x

x

Інтегрування частинами:

10.

∫arccos 7 x dx ;

11.

∫ x e−6 x dx ;

12.

∫ x2 3 x 1 cos2 x dx ;

13.

∫cos ln x dx ;

Інтегрування деяких функцій, що містять квадратний

тричлен:

14.

dx

;

15.

3 x 5

dx ;

∫ x2 6 x 5

∫ x2 8x 80

16.

dx

;

17.

6 x 5

dx ;

∫ 21−x2−4 x

∫ x2

12 x 45

Інтегрування раціональних дробів:

18.

2 x 5

dx ;

19.

3 x 6

dx ;

∫ x2 x−1

∫ x2−4 x x 5

20.

x3−4 x 5

dx ;

∫ x2−1 x−1

137

Інтегрування тригонометричних виразів виду

∫ R sin x ,cos x dx

:

а)

універсальна підстановка:

21.

∫

dx

;

2cos x 4 sin x 3

б)

часткові випадки:

22.

∫

cos3 x

dx ;

23.

∫tg7 x dx ;

24.

∫

dx

;

16 sin

2

9 sin x

x

в)

інтеграли виду:

∫sinm x cosn x dx

:

∫ sin24 x dx ;

25. ∫sin3 x dx ;

26.

∫sin2 x cos4 x dx ; 27.

cos x

г) інтеграли виду

∫cos m x cos n x dx

,

∫sin m x cos n x dx ,

∫sin m x sin n x dx

:

28.

∫sin 5 x cos 3 x dx ;

29. ∫cos 4 x cos 6 x sin 5 x dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

x−3

x2

x−1−1

30.

∫

dx ;

31.

∫

dx ;

6

x 1 x

2 x−1

32.∫ x −18 2 3 xx−88 dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій з допомогою

тригонометричних підстановок.

33. ∫

dx

∫

dx

; 34.

; 35.

∫ 4−x2 3 dx.

2

36 x

2

2

16−x

2

x

x

138

Варіант №19

Безпосереднє інтегрування. Інтегрування підведенням під знак диференціала:

3

2

1 tg3 x

x

x

1−cos x

1. ∫

dx ;

2.

∫ cos2 x

dx ;

3.

∫ x−sin x dx ;

5

x

x

e−x

dx

9arcsinx

4. ∫e 1−

dx ; 5.

∫

;

6.

∫

dx ;

x

x3

1 ln x

1−x2

7. ∫

3arctg x x ln 1 x2

∫

x4 dx

2

dx ;

8.

; 9.

∫ecos

x sin 2 x dx ;

1 x

2

x

10

−1

Інтегрування частинами:

10.

∫

x cos x

dx ;

11.

∫

ln x

dx ;

3

x

x

2

sin

12.

∫ 3 x2 4 x 1 5x dx ;

13.

∫sin x 2 e3x dx ;

Інтегрування деяких функцій, що містять квадратний

тричлен:

14.

dx

;

15.

3 x 4

dx ;

∫ x2−2 x 5

∫ x2 6 x−25

dx

;

3x−1

dx ;

16.

∫ 40−x2−6 x

17.

∫ x2−4 x 68

Інтегрування раціональних дробів:

18.

∫

3 dx

;

19.

∫

dx

;

x x 1 x 3

x−3 x2 1

20.∫ x4−2 x3 6 x2 8 x 2 dx ; x3−3 x2 2 x

139

Інтегрування тригонометричних виразів виду

∫ R sin x ,cos x dx

а)

універсальна підстановка:

21.

∫

dx

;

3sin x 5

б)

часткові випадки:

22. ∫ sin52x dx ;

23.

∫ tg5 x tg3 x dx ;

24.

∫

dx

;

2sin

2

x cos

2

x

cos

x

в)

інтеграли виду: ∫sinm x cosn x dx

:

∫ cos42 x dx ;

25. ∫cos3 x sin4 x dx ;

26.

∫cos4 2 x dx ;

27.

sin x

г) інтеграли виду

∫cos m x cos n x dx

,

∫sin m x cos n x dx ,

∫sin m x sin n x dx :

28.

∫sin 2 x sin 6 x dx ;

29.

∫cos x cos5 x cos8 x dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

∫ 3

−1 dx ;

30.

x

31.

∫

dx

;

3

x 1

x 4 x 4

32.

1

5

x 19

∫ x −19 2 x−19 dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій з допомогою

тригонометричних підстановок.

33.

∫

dx

;

34.

∫

dx

;

35.

∫

x2 dx

;

2

2

2

2

x −

49

4−x

x 1 x

x

140

Варіант №20

Безпосереднє інтегрування. Інтегрування підведенням під знак диференціала:

2

5

3 x

2

2

x x

∫

− 3−x

dx ;

5

x6

1.

∫

dx ;

2.

9−x4

3.

∫ x

9

dx ;

5

x

4.

∫3 ln 3 x dx ;

5.

∫

e4 tg x

dx ;

6.

∫

dx

;

2

5

x

cos x

x ln

x

7.

∫

cos x

dx ;

8.

∫

x4 arctg3 x

dx ;

9. ∫

cos x

dx ;

2

x

1 x

2

1 sin

2

x

8 cos

Інтегрування частинами:

10.

∫x arcsin x dx ;

11.

∫ x ln x dx ;

12.

∫ x2 x 1 cos x dx ;

13.

∫sin x 4 e3x dx ;

Інтегрування деяких функцій, що містять квадратний

тричлен:

14.

∫

dx

;

15.

3 x−2 dx ;

8−x2−2 x

∫ x2−4 x 5

16.

dx

;

17.

2 x 5

dx ;

∫ 12−x2 4 x

∫ x2 6 x 92

Інтегрування раціональних дробів:

18.

∫

x 5

dx ;

19.

∫

x 5

dx ;

2

x 2

2

x x 1

x

1

20.∫ x4 8 x2 21 x 1 dx ; x3 3 x2 2 x

141

Інтегрування тригонометричних виразів виду

∫ R sin x ,cos x dx

:

а)

універсальна підстановка:

21.

∫

dx

;

3 5cos x

б)

часткові випадки:

22.

∫

5 9sin x cos x dx ;

23.

∫ ctg x ctg3 x dx ;

2 3sin x

24.

dx

;

∫ sin2 x−9sin x cos x

в)

інтеграли виду:

∫sinm x cosn x dx

:

∫ sin46x dx ;

25.

∫cos5 x sin2 x dx ;

26.

∫cos4 2 x dx ; 27.

cos

x

г) інтеграли виду

∫cos m x cos n x dx

,

∫sin m x cos n x dx ,

∫sin m x sin n x dx

:

28.

∫cos

x

sin

x

dx ;

29.

∫cos3 x cos5 x cos 6 x dx ;

2

4

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

x 3

5 6

x2

dx

x

30.

∫

dx ;

31.

∫

;

3

3

x 1 x

x 1 x 1

32.

1

3 x 20

∫ x−20 2 x−20 dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій з допомогою

тригонометричних підстановок.

33. ∫

dx

;

34.

∫

dx

;

35.

∫

9−x2

dx.

2

2

x x

2

−81

x

2

x 1 x

142

Варіант №21

Безпосереднє інтегрування. Інтегрування підведенням під знак диференціала:

3

2

sin e−x 1

x

x

1. ∫

dx ;

2. ∫tg x

1

dx ;

3. ∫

ex

dx ;

4

x

x

cos x dx

x3 dx

ln5 x cos ln x

4.

∫

;

5.

∫

;

6. ∫

x

dx ;

cos2 x4

5sin x 7

x

7.

∫

x3 dx

; 8. ∫

arcsin5 x 2 x−1

dx ;

9. ∫

dx

;

2

1 x

8

2

2

1−x

1 tg

x

cos x

Інтегрування частинами:

10.

∫ x5 ln x dx ;

11.

∫ x2 cos2 x dx ;

12.

∫ x2 x 3 ex dx ;

13.

∫cos ln x dx ;

Інтегрування деяких функцій, що містять квадратний

тричлен:

14.

dx

;

15.

3 x 1

dx ;

∫ x2 6 x 130

∫12−x2 4 x

16.

dx

;

17.

3x 6

dx ;

∫

x2

8 x 20

∫

24−x2−2 x

Інтегрування раціональних дробів:

18.

x2 2

dx ;

19.

4 x 1

dx ;

∫ x2−5 x 4 x 1

∫ x−1 x2

4

20.∫ x4 x3−3 x2−2 x 5 dx ; x3 x2−2 x

143

Інтегрування тригонометричних виразів виду

∫ R sin x ,cos x dx

а)

універсальна підстановка:

21.

∫

dx

;

cos x sin x

б)

часткові випадки:

22.

∫ cos3 x dx ;

23. ∫tg3 x dx ;

24.

∫

dx

;

2

1 cos x

1 sin

x

в)

інтеграли виду:

∫sinm x cosn x dx

:

25. ∫cos3 x sin2 x dx ;

26. ∫sin2 2x cos2 2x dx ;

27.

∫ sin46x dx ;

cos

x

г) інтеграли виду

∫cos m x cos n x dx

,

∫sin m x cos n x dx ,

∫sin m x sin n x dx :

28.

∫sin 5 x cos 3x dx ;

29.

∫cos x cos5 x cos 4 x dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

30.

∫

dx

;

31.

∫

4 x

dx ;

3

3

2 x 3

x 4 x 4

32.∫ x −17 2 3 xx−77 dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій з допомогою тригонометричних підстановок.

33. ∫

dx

;

34. ∫

dx

;

35. ∫

4−x2

dx.

2

2

2

4

16 x

x −9

x

x

x

144

Варіант №22

Безпосереднє інтегрування. Інтегрування підведенням під знак диференціала:

4

2

1.

∫

x x x

dx ;

2. ∫

dx

; 3.

∫

ctg

x

dx ;

2

2

3

x

sin 2 x cos 2 x

x

4.

∫

dx

; 5.

∫ tg4 x−ctg 4 x dx ;

6.

∫

3 x2 dx

;

2

3

cos4 x

cos x tg x

1−4 x

7.

∫

cos x

dx ;

8.

∫

x2

dx ;

9.

∫

2arctg x x 5

dx ;

5

x

6

1 x

2

sin2 x

−1

Інтегрування частинами:

10.

∫arctg x dx ;

11.

∫ x tg2 x dx ;

12.

∫ x3 2 x 3 ex dx ;

13.

∫sin 3 x e4x dx ;

Інтегрування деяких функцій, що містять квадратний

тричлен:

14.

dx

;

15.

3x 8

dx ;

∫ x2 6 x 90

∫ 21−x2 4 x

16.

dx

;

17.

3 x 5

dx ;

∫ x2 8 x 17

∫ −x2−4 x −3

Інтегрування раціональних дробів:

18.

∫

2 x 7

dx ;

19.

∫

x dx

;

x x 1 x 3

x3 8

20.

∫

x4

x3−2 x2 5x 1

dx ;

x3−3 x2 2

145

Інтегрування тригонометричних виразів виду

∫ R sin x ,cos x dx

а)

універсальна підстановка:

21.

∫

dx

;

8−4 sin x 7cos x

б)

часткові випадки:

22. ∫

cos3 x

dx ; 23.

∫ ctg3 x tg3 x dx ;

24.

∫

dx

;

1 sin x

cos

2

x 1 sin

2

x

в)

інтеграли виду:

∫sinm x cosn x dx

:

25.

∫sin5 x cos2 x dx ;

26. ∫cos2 2 x 1 dx ;

27.

∫

dx

;

4

cos 2 x

г) інтеграли виду

∫cos m x cos n x dx

,

∫sin m x cos n x dx ,

∫sin m x sin n x dx :

28.

∫cos 5x cos9 x dx ;

29. ∫sin 3 x sin 9 x sin 4 x dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

30.

∫

dx

;

31.

∫

dx

;

3

1 6

2 3

x

x

x 5

32.∫ x −17 2 9 xx−77 dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій з допомогою тригонометричних підстановок.

33. ∫		dx				∫	x2−16
				;	34.			dx ;	35. ∫ x2 81−x2 dx.
	x 9 x2						x3

146

Варіант №23

Безпосереднє інтегрування. Інтегрування підведенням під знак диференціала:

x 2

1. ∫

x

3

dx ;

∫

x

4.

2

3

3

x x 9 dx ;

7.

sin 2 x dx

;

∫ 16 cos2 2 x

sin2

x

1

x

2.

∫e

sin 2x dx ;

3.

∫8

dx ;

x

1 1

x dx

5.

∫cos x

dx ;

6.

∫

;

x2

x2 5 6

8.

∫ 2 x arcsin

12 x dx ; 9.

∫

dx

;

5

1−x2

x ln3 x

Інтегрування частинами:

10.

∫x2 arctg 3 x dx ;

11.

∫

ln x

dx ;

2

x

12.

∫ 5x

2

3 x 1 sin x dx ;

13.

∫

x cos x

dx ;

sin

3

x

Інтегрування деяких функцій, що містять квадратний

тричлен:

14.

dx

;

15.

x

dx ;

∫ 3−x2−2 x

∫ x2 4 x 40

16.

∫

dx

;

17.

4 x 7

dx ;

x2 8 x−128

∫ 63−x2−2 x

Інтегрування раціональних дробів:

18.

2 x 7

dx ;

19.

∫

3x2 2

dx ;

∫ x2 x 1 x −4

x−2 x2

1

20.∫ x4 5 x3 4 x2−5 x 1 dx ; x3 x2−5 x 3

147

Інтегрування тригонометричних виразів виду

∫ R sin x ,cos x dx

а)

універсальна підстановка:

21.

∫

dx

;

3 2sin x cos x

б)

часткові випадки:

22.

∫

cos3 x

dx ;

23.

∫tg6 x dx ;

24. ∫

1 cos2 x

dx ;

2 sin x

1 cos 2 x

в)

інтеграли виду:

∫sinm x cosn x dx

:

25.

∫ cos35 x dx ;

26.

∫sin2 2 x 7 dx ;

27. ∫

dx

;

3

x

sin

x

sin

г) інтеграли виду

∫cos m x cos n x dx ,

∫sin m x cos n x dx ,

∫sin m x sin n x dx :

28.

∫sin 5 x cos 9 x dx

29. ∫sin 6 x sin 8 x cos 5 x dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

3

x

x 2

30.

∫

dx ;

31.

∫

dx ;

3

x 2 1

x x

∫

1

x 23

32.

9

dx ;

2

x−23

x −23

Інтегрування деяких ірраціональних функцій з допомогою

тригонометричних підстановок.

dx

dx

64−x2

33. ∫

;

34.

∫

;

35.

∫ x2

dx.

x

x 100 x

2

x2−81

148

Варіант №24

Безпосереднє інтегрування. Інтегрування підведенням під знак диференціала:

9

2

1

5

x x

3ctg2 x 4 e3 x

dx ;

∫ x

dx

;

1. ∫

dx ; 2. ∫

4 x

3.

x x

1−x12

dx

1

1

4.

∫

; 5.

∫ecos 2 x sin 2 x dx ;

6.

∫cos x

dx ;

arcsin6 x

1−x2

x2

7. ∫

dx

; 8.

∫

9arctg x arctg5 x x 7

dx ; 9. ∫

dx

;

8

1 x

2

2

x ln

x

cos

1 tg x

x

Інтегрування частинами:

10.

∫ x sin x cos x dx ;

11.

∫ln 2 x dx ;

12.

∫ 4 x 5 3x dx ;

13.

∫e5 x sin 2 x dx ;

Інтегрування деяких функцій, що містять квадратний

тричлен:

14.

dx

;

15.

3 x 8 dx

;

∫ x2 12 x−13

∫ x2 16 x 65

16.

dx

17.

3 x−4

dx ;

∫

−x2−14 x−24

∫ x2−4 x 13

Інтегрування раціональних дробів:

18.

x2 x 6

dx ;

19.

∫

x 2 dx ;

∫ x−1 x−2 x−4

x3 1

20.

x4

−x3 3 x2

2 x 1

dx ;

∫ x3−3 x2

3 x−1

149

Інтегрування тригонометричних виразів виду

∫ R sin x ,cos x dx

а)

універсальна підстановка:

21.

∫

dx

;

4sin x 9cos x 2

б)

часткові випадки:

22.

∫sin3 2 x dx ;

23.

∫ctg5 x dx ; 24.

∫

dx

;

3sin

2

x 2cos

2

x

в)

інтеграли виду:

∫sinm x cosn x dx

:

25.

∫cos3 x sin2 x dx ;

26.

∫cos2 4 x dx ;

27.

∫ cos23 x dx ;

sin

x

г) інтеграли виду

∫cos m x cos n x dx

,

∫sin m x cos n x dx ,

∫sin m x sin n x dx

:

28.

∫cos 2 x cos

x

dx ;

29.

∫cos2 x cos2 4 x dx ;

4

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

6

dx

30.

∫

x 5

dx ;

31.

∫

;

3

x 1 x 1

3

x−1

1

3

x 4

32.

∫

dx ;

x−4 2

x−4

Інтегрування деяких ірраціональних функцій з допомогою

тригонометричних підстановок.

33.

∫

dx

; 34.

∫

x2

−4

35.

∫

25−x2

dx ;

dx.

2

121 x

2

x

3

x

4

x

150

Варіант №25

Безпосереднє інтегрування. Інтегрування підведенням під знак диференціала:

x

2

1 ctg x

x

∫

2

3

1. ∫

x4

dx ;

2.

sin2 x

dx ; 3. ∫ x tg x

1 dx ;

5

sin9 x

7arctg x

ln x

dx ;

4.

∫

dx ;

5.

∫1 cos2 9 x

6.

∫ 1 x2 dx ;

x

7. ∫

dx

;

8.

∫

sin x dx

;

9. ∫

arcsin5 x x 5

dx ;

2

2

5 cos x

2

cos x 9−tg x

1− x

Інтегрування частинами:

10.

∫

x

dx ;

11.

∫arcsin 2 x dx ;

x

2

12.

∫ x2 2 x 3 e2 x dx ;

13.

∫e3 x sin 4 x dx ;

Інтегрування деяких функцій, що містять квадратний

тричлен:

14.

dx

;

15.

3 x 5

dx ;

∫ x2 10 x−20

∫ x2 14 x 50

16.

dx

;

17.

4 x 3

dx ;

∫ x2 12 x 40

∫

33−x2−8 x

Інтегрування раціональних дробів:

18.

∫

5 x 2

dx ;

19.

∫

3 x 1

dx ;

2

2

9

x 1 x−2

x −1 x

20.

∫

x4

x3 2 x2 2 x 4 dx ;

x3−x2

151

Інтегрування тригонометричних виразів виду

∫ R sin x ,cos x dx

:

а)

універсальна підстановка:

21.

∫

dx

;

3 cos x 2

б)

часткові випадки:

22. ∫

sin3 x

dx ;

23.

∫ tg2 x tg4 x dx ;

24.

∫

cos3 x 1 dx

;

cos x 1

sin

2

x

∫sinm x cosn x dx

в)

інтеграли виду:

:

∫ sin42 x dx ;

25. ∫sin3 x cos2 x dx ; 26.

∫sin4 3 x dx ;

27.

cos

x

г) інтеграли виду

∫cos m x cos n x dx ,

∫sin m x cos n x dx ,

∫sin m x sin n x dx

:

28.∫sin 8 x cos10 x dx 29. ∫cos 2 x cos8 x cos 12 x dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

5

x

30. ∫

dx ;

31. ∫ x 1

2 dx

;

3

1 x

x 1 x 1

32. ∫

1

20

x 5

dx ;

x−5

2

x−5

Інтегрування деяких ірраціональних функцій з допомогою тригонометричних підстановок.

∫

dx

; 34.

∫

dx

;

33.

35.

3

2

x

225−x dx.

144 x2

x2−121

∫

x

x2

152

Варіант №26

Безпосереднє інтегрування. Інтегрування підведенням під знак диференціала:

3

2

cos x

arctg x 5 x

x 2

x

1. ∫

dx ;

2.

∫

dx ; 3.

∫

dx ;

1

2

1 x

2

3

x

sin

x

2

4. ∫ 4

1 dx ;

5. ∫

x−1

∫

dx

;

1 ln x

dx ;

6.

2

x

x−1

1−x arcsin x

7.

∫

et dt

;

8.

∫

x2 dx

;

9.

∫

tg7 x−ctg 7 x

dx ;

1 e2 t

1−x3

cos 7 x

Інтегрування частинами:

10.

∫

arcsin x dx ;

11.

∫

ln 2 x 3 dx ;

x2

12.

∫ x2 sin x dx ;

13.

∫e4 x cos5 x dx ;

Інтегрування деяких функцій, що містять квадратний

тричлен:

14.

dx

;

15.

2 x 6

dx ;

∫ x2

∫ x2 16 x 73

10 x−11

16.

dx

;

17.

6 x 2

dx ;

∫ 21−x2−4 x

∫ x2 6 x 153

Інтегрування раціональних дробів:

18. ∫

2 x 9

dx ;

19.

∫

3 x2−1

dx ;

x x 11 x−4

x−1 x2 9

20.∫ 2 x4 3 x3−x2 2 x 1 dx ; x3−5x2 4 x

153

Інтегрування тригонометричних виразів виду

∫R sin x ,cos x dx

:

а)

універсальна підстановка:

21.

∫

dx

;

3−2sin x cos x

б)

часткові випадки:

22. ∫

sin3 x

dx ;

23.

∫ tg2 x tg3 x dx ;

24.

∫

dx

;

2

1 cos x

1 3cos

x

в)

інтеграли виду:

∫sinm x cosn x dx

:

25.

∫sin5 x dx ;

26. ∫sin2 3 x cos2 3 x dx ;

27.

∫

dx

;

6

sin

x

г) інтеграли виду

∫cos m x cos n x dx

,

∫sin m x cos n x dx ,

∫sin m x sin n x dx

:

28.∫cos3 x cos15 x dx 29. ∫sin 4 x sin 8 x cos12 x dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

3

dx

30. ∫

x x

dx ;

31. ∫

;

6

x 1

2 x 3 x 1

32.∫ x −16 2 6 xx−66 dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій з допомогою тригонометричних підстановок.

33. ∫

dx

;

34. ∫

x2

−1

35.

∫

64−x2

dx ;

dx.

2

9 x

2

x

3

x

6

x

154

Варіант №27

Безпосереднє інтегрування. Інтегрування підведенням під знак диференціала:

2 x

2

1.

∫

x

x

2.

∫

sin 5 x

dx ;

3.

∫

cos x

dx ;

dx ;

3

15 cos

2

x

4 cos 5 x

x

4. ∫

x2 dx

; 5.

∫

etg x dx

;

6. ∫

ln4 x sin ln x

dx ;

cos

2

3

2

x

x

x

cos

3

9arctg x x

8−5 x

7.

∫

8 ctg x

dx ;

8. ∫

arctg x

dx ;

9. ∫

dx ;

sin2 x

1 x2

4 x2

Інтегрування частинами:

10.

∫arctg 3x dx ;

11.

∫ 2x 3 ln x dx ;

12.

∫ 2 x2 5 x 4 3x dx ;

13.

∫sin 4 x 1 e5x dx ;

Інтегрування деяких функцій, що містять квадратний

тричлен:

14.

dx

;

15.

5 x−1

dx ;

∫ x2 2 x 5

∫ x2 10 x−24

16.

dx

;

17.

3 x−2

dx ;

∫ −x2−14 x−13

∫ x2 12 x 37

Інтегрування раціональних дробів:

18.

∫

5 x 4

dx ;

19.

∫

x 5

dx ;

2

3

x−1 x 2

x

8

20.∫ x5 2 x4 5 x−12 dx ; x3−3 x 2

155

Інтегрування тригонометричних виразів виду

∫R sin x ,cos x dx

:

а)

універсальна підстановка:

21.

∫

dx

;

5−4sin x 3cos x

б)

часткові випадки:

22.

∫

cos3 x

dx ;

23.

∫ tg3 x ctg x dx ;

24.

∫

dx

;

sin

2

x 9cos

2

1 sin x

x

в)

інтеграли виду:

∫sinm x cosn x dx

:

25.

∫cos3 x sin

2 x dx ;

26.

∫cos4 4 x dx ;

27.

∫

dx

;

4

x

sin

г) інтеграли виду

∫cos m x cos n x dx

,

∫sin m x cos n x dx

,

∫sin m x sin n x dx

:

28.

∫sin 8 x cos 4 x dx 29. ∫cos 4 x cos 12 x sin 5 x dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

4

dx

30.

∫

4 x x

dx ;

31.

∫

;

4

8

1 x

1 3 x− 1 3 x

32.∫ x −17 2 8 xx−77 dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій з допомогою

тригонометричних підстановок.

33. ∫

dx

; 34.

∫

dx

; 35.

∫

x2 dx

.

2

2

2

2

2

225 x

x −196

9−x

x

x

156

Варіант №28

Безпосереднє інтегрування. Інтегрування підведенням під знак диференціала:

1.∫ 3 x 3 x 2 dx ;

x

4.∫3 x 1 dx ;

x

	∫	sin 2 x
2.					dx ;	3.
		1 sin 2 x
	∫ tg			dx ;
5.			x 4			6.
		x 4

∫ 1−x dx ;

1 4 x2

∫e	tg x		1			dx ;
		cos		2
					x

7. ∫

dx

;

8. ∫ 7arcsin x arcsin4

x x−5 dx ;

9. ∫

cos x

dx ;

5

x 1 ln x

1−x2

sin2 x

Інтегрування частинами:

10.

∫arccos 2 x dx ;

11.

∫ln2 x 2 dx ;

12.

∫ x2 12 x 5 ex dx ;

13.

∫sin ln x dx ;

Інтегрування деяких функцій, що містять квадратний

тричлен:

14.

dx

;

15.

3 x−7

dx ;

∫

77−x2−4 x

∫ 97 x2 12 x

16.

∫

dx

;

17.

2 x−3

dx ;

90 x2 18 x

∫ 8−x2 2 x

Інтегрування раціональних дробів:

18.

x2 1

dx ;

19.

∫

2x 3 dx ;

∫ x x−1 x−3

x3−8

20.

∫

x4 x3 x2 12 x 4

dx ;

x3 4 x2 5 x 2

157

Інтегрування тригонометричних виразів виду

∫ R sin x ,cos x dx

:

а)

універсальна підстановка:

21.

∫

dx

;

8−4 sin x 7cos x

б)

часткові випадки:

22.

∫

sin5 x

dx ;

23.

∫ tg5 x tg x dx ;

24.

∫

dx

;

9 sin

2

1 cos x

x

в)

інтеграли виду:

∫sinm x cosn x dx

:

25.

∫sin3 x cos7 x dx ;

26. ∫sin4 2 x 3 dx ;

27.

∫

dx

;

cos

2

x sin

2

x

г) інтеграли виду

∫cos m x cos n x dx

,

∫sin m x cos n x dx ,

∫sin m x sin n x dx

:

28.

∫sin 9 x cos 7 x dx

29. ∫sin 2 x cos2 6 x dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

3

x

dx

30.

∫

;

31.

∫

x 3

x 3

dx ;

3

5

1 x

x 3

32.∫ x −18 2 7 xx−88 dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій з допомогою тригонометричних підстановок.

33. ∫

dx

; 34. ∫

dx

;

35.

∫

x4 dx

.

2

4 x

2

2

2

121−x

2

x

x x −64

158

Варіант №29

Безпосереднє інтегрування. Інтегрування підведенням під знак диференціала:

5

2

∫ tg

2

2

dx ; 3.

x x

sin x

1.

∫

dx ;

2.

4x

∫3

cos x dx ;

16 x2

x

5

2 x

1

x 3

∫

arcsin x

∫tg

4.

∫

dx ;

5.

dx ; 6.

x

dx ;

9 x2

x

1−x2

7.

∫

dx

; 8. ∫

5arctg x 1−x4 x

dx ; 9. ∫

cos x dx

;

2

1

x

2

2

x

x cos

ln x

1 sin

Інтегрування частинами:

∫ln 5 x 3 dx ;

10.

∫ x2 arctg x dx ;

11.

12.

∫ x2 1 sin2 x dx ;

13.

∫ex cos 2 x 5 dx ;

Інтегрування деяких функцій, що містять квадратний

тричлен:

14.

dx

;

15.

2 x−9

dx ;

∫ x2

4 x 5

∫ 15−x2−2 x

16.

dx

;

17.

∫

3 x−1

dx ;

∫ −13−x2−6 x

x2 2 x 2

Інтегрування раціональних дробів:

18.

2 x 9

dx ;

19.

9 x 2

dx ;

∫ x2 x−1

∫ x−1 x2 9

20.∫ x4 5 x3 12 x2 7 x 9 dx ; x3 6 x2 11 x 6

159

31. ∫ dx

1−5 x 4 1−5 x

Інтегрування тригонометричних виразів виду

	∫ R sin x ,cos x dx :
а)	універсальна підстановка:					21.	∫	dx		;
								4cos x 2 sin x 1
б)	часткові випадки:
	22. ∫	sin3 x 1			dx ;	23.	∫ ctg2 x ctg4 x dx ;
		cos	2	x

∫tg x 1

24.sin2 x 4 cos2 x dx ;

в)	інтеграли виду:		∫sinm x cosn x dx		:	27. ∫ cos24 x dx ;
25.	∫sin3 3 x cos2 3 x dx ;		26.	∫cos4 2 x dx ;
						sin x
г) інтеграли виду		∫cos m x cos n x dx			,	∫sin m x cos n x dx ,
∫sin m x sin n x dx		:
	28. ∫sin 6 x sin 16 x dx ;			29. ∫cos 28 x cos 4 x sin 3 x dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

30. ∫ x 6 x dx ; ;

3

1 x

32.∫ x −19 2 13 xx−99 dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій з допомогою

тригонометричних підстановок.

∫

dx

; 34.

∫

dx

;

33.

35.

3

2

x

16−x

dx.

400 x2

x2−1

∫

x2

x

160

Варіант №30

Безпосереднє інтегрування. Інтегрування підведенням під знак диференціала:

3

2

sin x dx

x

x

3

2

2

3. ∫

1.

∫

dx ; 2. ∫ cos

3 x tg

x x dx ;

2

;

4

x

15 sin x

1

1

dx

ex dx

4.

∫cos x

dx ;

5.

∫

;

6.

∫

;

x2

x cos2 ln x

9 e2 x

x dx

∫ arcsin

8 x−2

x 5 dx ;

∫ tg

dx ;

7.

∫

; 8.

9.

2 x 7

6

1 2 x2

1−x2

2 x 7

Інтегрування частинами:

∫

10.

∫arctg 4 x dx ;

11.

9−x2

dx ;

12.

∫ 5 x2 1 sin 4 x dx ;

13.

∫cos ln x dx ;

Інтегрування деяких функцій, що містять квадратний

тричлен:

14.

∫

dx

;

15.

∫

2 x−7 dx

;

112−x2−6 x

50 x2 14 x

16.

∫

dx

;

17.

4 x−9

dx ;

15−x2

−2 x

∫ 29 x2 4 x

Інтегрування раціональних дробів:

18.

∫

7x 2 dx

;

19. ∫

2 x−7 dx

;

x−1 x 2 x 1

2

2

x 2 x

1

20.∫ x4 x3 5 x2−2 x 1 dx ; x3 2 x2−3 x

161

Інтегрування тригонометричних виразів виду

∫R sin x ,cos x dx

:

а)

універсальна підстановка:

21.

∫

x cos x dx

;

б)

часткові випадки:

1 sin x

22.

∫

sin3 x

dx ;

23.

∫tg3 5 x dx ;

24.

∫

dx

;

3 sin

2

cos x 4

x

в)

інтеграли виду: ∫sinm x cosn x dx

:

∫ sin246 x dx

25. ∫cos5 x dx ;

26.

∫sin4 x cos2 x dx ;

27.

cos 6 x

г) інтеграли виду

∫cos m x cos n x dx

,

∫sin m x cos n x dx ,

∫sin m x sin n x dx

:

28.

∫sin 17 x sin 5 x dx

29.

∫cos3 x cos15 x cos 6 x dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

2

3

x 15 dx

;

30.

31.

∫

∫x x 1 dx ;

3

x 15 x 15

32.

1

4 x 30

∫ x −30 2 x−30 dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій з допомогою

тригонометричних підстановок.

dx

;

dx

;

33.

34.

35.

2

2

∫

∫

∫

x 16−x

dx.

x 1 x2

2 4−x2

x

162

2.7. Практичні заняття. Розділ 1 “Невизначений інтеграл”

(10 год.)

Заняття 1. Невизначений інтеграл. Основні властивості невизначеного інтегралу. Інваріантність формул інтегрування. Безпосереднє інтегрування. Заміна змінної. Інтегрування шляхом підведення під знак диференціалу.

1)Поняття первісної функції і невизначеного інтеграла. Означення невизначеного інтеграла, теорема існування і геометричний зміст.

2)Основні властивості невизначеного інтегралу. Інваріантність формул інтегрування.

3)Таблиця основних невизначених інтегралів. Приклади інтегралів від елементарних функцій, які не можуть бути вираженими через елементарні функції.

4)Безпосереднє інтегрування.

5)Інтегрування підстановкою (заміною змінної). Інтегрування підведенням під знак диференціала.

Перевірка знання таблиці інтегралів.

Безпосереднє інтегрування.

2

4

2

5

x

x

3

П 1.

∫ x 3 x 5

−

x 7 e

9

dx ;

x2

x

x

3

2

П 2. ∫

x x

dx ;

x

П 3.

6

9

4

8

∫ sin x 2cos x

−tg x−6 ctg x

dx ;

sin x

cos x

cos2 x

sin2 x

163

П 4. ∫

2

6

7

5

3

2

dx ;

−

1 x2

9 x2

25− x2

1−x2

49−x2

x2−5

−

2

∫

6 x2

6−x2

П 5.

∫tg

x dx ;

П 6.

dx ;

36−x4

Інваріантність формул інтегрування.

∫ f x dx=F x C ∫ f u du=F u C .

П 7.

∫cos2 x d cos x ;

П 8.

∫

d arctg x

;

arctg x

∫ d

;

П 9.

∫etg x d tg x ;

П 10.

ln x 5

ln x 5

П11.

d sin x

;

П12.

d arcsin x ;

∫ 1 sin2 x

∫ arcsin2 x

∫2

d

;

П14. ∫sin7 2 x 5 d sin 2 x 5 ;

П13.

x

x

Інтегрування методом заміни змінної або підстановкою.

∫ f ( x)dx=( x=ϕ(t ))=∫ f (ϕ(t ))ϕ ' (t )dt . (1)

П 15. ∫

dx

;

П 16. ∫

dx

;

8

2 x

5 x x 5

П 17.

∫

dx

;

x 4 3

x 4

164

∫ f x dx=F x C	∫ f ax b =1 F ax b dx C ; (2)
		a
П 18. ∫sin 2 x 5 dx ;	П 19. ∫	dx		; П 20.	∫		dx		;
			2
		1 3 x 7				5 x 4

Формула (1) інколи використовують у зворотньому порядку. Одержимо формулу інтегрування підстановкою:

∫ f (ϕ(t ))ϕ' (t )dt =(ϕ(t)=x)=∫ f (x)dx . (3)

Переобозначимо змінні :

∫ f (ϕ( x ))ϕ' (x)dx=(ϕ( x)=u )=∫ f (u) du. (3 a)

tg x				4				cos 5 x
П 21. ∫ e	2dx ;	П 22.	∫ arctg		2x dx ;	П 23.	∫		dx ;
								7 sin 5 x
cos x			1 x

Застосування формули (3 а) у вигляді

∫ f (ϕ( x))ϕ' (x)dx=∫ f (ϕ(t ))d (ϕ(t ))=(ϕ( x)=u)=∫ f (u) du

виділяють іноді як окремий метод і називають інтегруванням мето­ дом підведення під знак диференціала.

Розв'яжемо цим методом наступні приклади.

П 24. ∫e	tg x	1	dx ;	П 25. ∫	arctg4 x
						dx ;
		cos2 x			1 x2

165

П 26.

∫

cos 5 x

dx ;

П 27.

∫sin 2 x dx ;

7 sin 5 x

П 28.

∫ cos 6x 7 dx ;

П 29.

∫ ctg

x

dx ;

x

П 30.

∫

x3 dx

;

П 31.

∫

ex dx

;

2 4

2x

cos

x

1−e

П 32.

∫9cos x sin x dx ;

П 33.

∫ cos ln x dx ;

x

2

arctg x

4

1

2

∫

x ln

x

2

П 34.

1 x2

dx ; П 35.

∫esin x sin 2 x dx ;

Домашнє завдання. Приклади, які не розв'язані в аудиторії потрібно розв'язати як домашнє завдання, або розв'язати приклади із збірника “ Задачи и упражнения по математическому анализу” (для втузов) под редакцией Демидовича Б.П. М. “Наука”, 1974 (або будь­ який наступний рік). №№1056,1075,1078,1085, 1096,1129,1167,

1191(г),	1193, або розв'язати приклади 1­9 з індивідуального
завдання.
Вивчити:	інтегрування частинами,	інтегрування виразів, що

містять квадратний тричлен. Питання для самоперевірки.

1.Довести формулу інтегрування частинами:

∫U dV =U V −∫V dU.

2.Яким умовам повинні задовольняти функції U(x) і V(x)?

3.Як вибирається стала при знаходженні функції V(x) по її диференціалу dV?

4.Вказати три основні групи інтегралів, що беруться з допомогою формули інтегрування частинами.

5.Вказати 4 групи виразів, що містять квадратний тричлен.

Як інтегрується кожна з них?

166

Заняття 2. Інтегрування частинами. інтегрування виразів, що міс­ тять квадратний тричлен.

Інтегрування частинами.

1)

Довести

формулу

інтегрування

частинами:

∫U dV =U V −∫V dU.

2)Яким умовам повинні задовольняти функції U(x) і V(x)?

3)Як вибирається стала при знаходженні функції V(x) по її диференціалу dV?

4)Вказати три основні групи інтегралів, що беруться з допомогою формули інтегрування частинами.

Інтеграли першої групи.

П 1.

∫ln x dx ;

П 2.

∫ln3 x dx ;

П 3. ∫ln 2 x 3 dx ;

П 4.

∫ln x2 4 dx ;

П 5.

∫ ln

x

dx ;

П 6.

∫arctg x dx ;

x

П 7.

∫arcsin x dx ;

П 8.

∫ arcsin x dx.

П 9.

∫arcsin2 x dx. .

1−x

П 10.

∫arctg

dx ;

П 11.

∫x arctg2 x dx.

4 x−1

П 12.

∫x2 arctg x dx.

П 13.

∫sin x ln tg x dx ;

Інтеграли другої групи.

П 14.

∫ 4−3 x e2x dx ;

П 15.

∫ x2−5x 6 e3 x dx ;

П 16.

∫ x 9x dx ;

П 17.

∫ 2 x 2 3 x 1 2 x dx ;

167

П 18.	∫ 5x 6 cos 2 x dx ;	П 19. ∫ x2 4 x 3 cos x dx ;
Інтеграли третьої групи.
П 20.	∫cos ln x dx ;	П21.	∫sin ln x dx ;
П 22.	∫sin 3 x 1 e2x dx ;	П 23.	∫8x cos 2 x dx ;
П 24.	∫e3x cos 4 x dx ;	П 25.	∫e x cos2 x dx.

Інтеграли , які не відносяться ні до однієї з трьох вказаних груп.

∫

x dx

;

∫

dx ;

П 26.

П 27.

4− x2

П 28.

2

cos x

П 29.

∫x tg2 x dx.

П 30.

∫

x cos x

dx;

П 31.

sin3 x

∫

dx ;

П 32.

x2 1

∫

∫

dx ; sin3 x

x dx ; cos2 x

Інтегрування деяких функцій, що містять квадратний тричлен:

П 33.

dx

;

П 34.

4 x 5

dx ;

∫ 4 x2 12 x 25

∫ x2 8 x−4

П 35.

dx

;

П 36.

∫

3 x 7

dx ;

∫ x2 8 x 20

32−x2 4 x

168

П 37.

dx

;

П 38.

5 x 2

dx ;

∫ x2

6 x 25

∫ x2

4 x−12

П 39.

∫

dx

;

П 40.

∫

3 x 7

dx ;

−x2−14 x−40

32−x2 4 x

Домашнє завдання. Розв'язати приклади вказані вище, які не були розв'язані в аудиторії, або розв'язати приклади із збірника Демидовича Б.П. №№ 1219, 1227, 1228, 1233,1255, 1259,1262, 1265,

або розв'язати приклади 10­17 з індивідуального завдання.

Вчити: Інтегрування раціональних дробів. Питання для самоперевірки.

1.Дати означення раціонального дробу. Дати означення правильного і неправильного раціональних дробів.

2.У вигляді яких співмножників можна представити многочлен з дійсними коефіцієнтами?

3. Повторити формули скороченого множення, комплексні числа і дії над ними (звернути особливу увагу на знаходження кореня n­го степеня з комплексного числа), розв'язування квадратних рівнянь з будь­яким дискримінантом, розклад квадратного тричлена з невід'ємним дискримінантом на лінійні множники.

4. Розкласти на лінійні і квадратичні множники многочлени з дійсними коефіцієнтами:

D 1 .	x2−16 ;	D 2.	x2−5 x 6 ;	D 3.	3 x2−8 x 5;
D 4 . x3−1 ;		D 5 .	x3 8;	D 6.	x4−16 ;
D 7.	x4 1 ;		D 8.	x3−3 x 2;

5.

169

D 9.	x3 x2−5 x 3 ;	D 10 .	x3−3 x2 3 x−1;
D 11.	x3 3 x2−9 x 5;	D 12.	x3 4 x2 5 x 2;
D 13.	x3 6x2 11 x 6;	D14.	x 4−5 x3 6x2 ;

5.Як представити неправильний раціональний дріб у вигляді суми многочлена і правильного раціонального дробу? Як виконується дія ділення многочлена на многочлен?

6.Найпростіші раціональні дроби та їх інтегрування.

7.Сформулювати теорему про розклад правильного раціонального дробу на найпростіші. Як знаходяться коефіцієнти розкладу?

Довідковий матеріал. Формули скороченого множення:

a b 2=a2 2a b b2 ;				a−b 2=a2−2 a b b2 ;
a b a−b =a2−b2 ;			a b 3=a3 3 a2 b 3ab2 b3 ;
a−b 3=a3−3a2 b 3ab2−b3 ;
a3 b3= a b a2−a b b2 ;						a3−b3= a−b a2 a b b2 ;
Розв'язування квадратних рівнянь.
	a x2 b x c=0; D=b2−4 ac ;
		=−b±			;			=−b±i		.
при D≥0 : x	1,2			D		при D≤0: x	1,2		−D
			2 a					2 a

Розклад квадратного тричлена на лінійні множники.

a x2 bx c=a x−x1 x−x2 .

170

Заняття 3. Інтегрування раціональних дробів.

1. Дати означення раціонального дробу.

2. Дати означення правильного і неправильного раціональних дробів.

3.У вигляді яких співмножників можна представити многочлен з дійсними коефіцієнтами?

4.Як представити неправильний раціональний дріб у вигляді суми многочлена і правильного раціонального дробу? Як виконується дія ділення многочлена на многочлен?

5.Найпростіші раціональні дроби та їх інтегрування.

6.Сформулювати теорему про розклад правильного раціонального дробу на найпростіші. Як знаходяться коефіцієнти розкладу?

Приклади

1. Представити неправильний раціональний дріб у вигляді многочлена і правильного раціонального дробу:

П1. 2 x3−3 x2 −x 11 ; x2 −3 x 2

2.Розкласти правильні раціональні дроби на найпростіші (без знаходження коефіцієнтів розкладу):

П 2.		2 x 3		;		П 3.		3 x2	7		;
		x−1 x−2 x 5						x−1 2 x−9
П 4.		2 x 11	;		П 5.			7 x 5		;
	x3 x −4 x 5
							x−1 x2 4

171

П 6.

5 x

2 7

;

П 7.

17 x 8

;

x2 x2 4 x 2 13

x−9 2 x 2 3

3.

Інтегрування раціональних дробів:

П 8.

∫

5 x 1

dx ;

П 9.

∫

5x2 1

dx ;

x x−1 x −4

x 2 x2 1

П 10.

∫

x4

−4 x3−2 x2−8 x 5

dx ; П 11.

dx

;

∫ x3−1

x3 x2−5 x 3

П 12.

∫

2 x 3

dx ;

П 13.

∫

3 x 2

dx ;

x−1 x−2

2

x−2 x

2

4

П 14.

4

3

2

П 15.

dx

∫

x

6 x

11 x 7 x 9 dx ;

;

x3 6 x2 11 x 6

∫ x4 1

Домашнє завдання.

А. Практика. Інтегрування раціональних дробів. Знайти невизна­ чені інтеграли:

D 1.		2 x 3	dx ; D 2.		dx	;
	∫ x2 x−1 x−2			∫ x3 8

D3. ∫ x4 6 x3 13 x2 7 x 3 dx ; x3 4 x2 5 x 2

або розв'язати приклади із збірника Демидовича Б.П. №№ 1282, 1291, 1292, або розв'язати приклади 18­20 з індивідуального зав­ дання.

172

Б. Повторити формули тригонометрії:

2

2

sin x

cos x

sin

x cos x=1;

tg x=

;

ctg x =

;

tg x ctg x=1;

cos x

sin x

sin 2 x=2sin x cos x ;

cos 2 x=cos2 x−sin2 x ;

cos mx cosnx=

1 cos m n x cos m−n x ;

2

sin mx cos nx=

1

sin m n x sin m−n x ;

2

sin mx sin nx=− 1 cos m n x−cos m−n x ;

2

В. Вивести і вивчити формули тригонометрії:

sin2 x=

1−cos2 x ;

cos2 x= 1 cos2 x

;

2

2

sin x=

2tg x/ 2

;

cos x= 1−tg2 x /2 ;

1 tg2 x/2

1 tg2 x /2

2

tg2 x

2

1

2

1

sin

x=

;

cos

x=

;

1 tg x=

;

2

x

2

2

1 tg

1 tg

x

cos

x

Г. Вивчити лекцію “ Інтегрування тригонометричних виразів виду ∫ R sin x ,cos x dx Універсальна підстановка. Часткові випад­

ки”.

173

Заняття 4. Інтегрування тригонометричних виразів виду

∫ R sin x ,cos x dx .

а)

універсальна підстановка:

П1.

∫

dx

;

5cos x 2sin x 6

П 2.

∫

dx

;

П 3.

∫

dx

;

5

sin x

sin

x

б)

часткові випадки: П 4.

∫

sin5 x

dx ;

1−cos x

П 5. ∫ tg4 x 7 dx ; П 6.

∫

dx

;

9 5cos

2

x

2

−2 sin t

в)

інтеграли виду:

∫sinm x cosn x dx

:

П 7.

∫sin3 x cos6 x dx ;

П 8.

∫sin6 x dx ;

6

П 9.

∫sin2 x cos4 x dx ; П10.

∫

sin x

dx ;

10

cos

x

г) інтеграли виду

∫cos m x cos n x dx

,

∫sin m x cos n x dx

∫sin m x sin n x dx :

П 11.

∫cos3 x cos9 x dx

П 12.

∫sin 2 x sin 6 x cos 7 x dx ;

Домашнє завдання.

а)

універсальна підстановка:

D 1.

∫

dx

;

2cos x 3sin x 3

б)

часткові випадки:

D 2.

∫

sin3 x

dx ;

D 3.

∫ctg3 x dx ;

D 4.

∫

dx

3sin

2

x 8cos

2

x

cos x 2

,

;

174

в)	інтеграли виду: ∫sinm x cosn x dx			:
D 5.	∫cos3 x sin2 x dx ; D 6.		∫cos6 x dx ;		D 7. ∫	dx		;
						6
						cos	x
г) інтеграли виду		∫cos m x cos n x dx ,		∫sin m x cos n x dx ,
∫sin m x sin n x dx		:
	D 9. ∫sin4 x cos6 x dx		D 10.
	∫cos 2 x cos8 x sin 5 x dx ;

або розв'язати приклади із збірника Демидовича Б.П. №№ 1377, 1340, 1356, 1382,1358, 1344,1365, 1372, або розв'язати приклади 21­ 29 з індивідуального завдання.

Г. Вивчити лекцію “ Інтегрування деяких ірраціональних функцій”.

Заняття 5. Інтегрування деяких ірраціональних функцій.

3

1

x

2x 7 2

П.1

∫

x

dx ;

П.2.

∫

dx ;

3

6

1

x4

x7

2x 7 3

1

П. 3 ∫	1			x 5
			9		dx ;
	x−5	2		x−5

Інтегрування деяких ірраціональних функцій з допомогою тригонометричних підстановок.

33. П.4 ∫

dx

;

П.5 ∫

x2

−81

dx ; П.6 ∫

9−x2

dx.

2

144 x

2

x

3

x

6

x

Домашнє завдання. Інтегрування деяких ірраціональних функ­ цій.

175

D 1.

∫ 3

x−4

dx ;

D 2.

∫

x dx

;

3

x 4

x 16 x 16

D 3.

1

3 x 7

∫ x−7 2 x−7 dx ;

Інтегрування деяких ірраціональних функцій з допомогою

тригонометричних підстановок.

D 4. ∫

dx

;

D 5. ∫

dx

;

D 6. ∫

x2 dx

.

2

2

2

2

2

x −36

25−x

x 16 x

x

або розв'язати приклади із збірника

Демидовича Б.П. №№ 1315,

1317, 1404,

1407,1413,

або

розв'язати

приклади

30­35 з

індивідуального завдання.

3.Змістовий модуль № 2 “Визначений інтеграл”

3.1.Методичні поради до вивчення змістового модуля №2 “Визначений інтеграл”

При вивченні розділу “Визначений інтеграл особливу увагу слід звернути на формулу Ньютона­Лейбніца, яка є основною формулою інтегрального числення і значно спрощує обчислення визначених інтегралів.

Якщо	F x	­ будь­яка первісна для неперервної на відрізку
[a ; b]	функції	f x , то вірною є формула:
		b
		∫ f x dx= F x ab=F b −F a .
		a

Ця формула називається формулою Ньютона­Лейбніца. Приклад:

176

1

1

∫ x3

1

dx=

x4

arctg x

0

=

1 arctg 1−arctg 0=

1

.

2

4

0

x 1

4

4

4

Формула Ньютона­Лейбніца

застосовується лише тоді, коли

функція

f x

є неперервною

на

відрізку [a ; b] і

рівність

F ' x = f x

виконується на

всьому відрізку [a ; b]

, тобто

первісна

F x

повинна бути неперервною на відрізку

[a ; b] .

Використання у якості первісної при обчисленні визначеного інтеграла розривної функції може привести до невірного результату.

Приділіть також велику увагу заміні змінній і інтегруванню частинами визначеного інтеграла. На практиці заміну змінної виконують, як правило, з допомогою монотонних, неперервно диференційованих функцій. При обчисленні визначеного інтеграла з допомогою заміни змінної на відміну від невизначеного інтеграла немає необхідності повертатися до початкової змінної.

Для розв'язання задач по геометричному застосуванню визначеного інтеграла слід повторити полярну систему координат, знати рівняння і графічні зображення прямої лінії, еліпса, кола, гіперболи, параболи, напівкубічної параболи, кардіоїди, астроїди, циклоїди, лемніскати, рози, спіралі Архімеда, гвинтової лінії. Для розв'язання задач по фізичному застосуванню визначеного інтеграла потрібно ознайомитись з формулою обчислення шляху, пройденого матеріальною точкою, що рухається прямолінійно із змінною

швидкістю v=v t за певний проміжок часу, знати формулу для

обчислення роботи змінної сили		що діє у напрямі осі Ох на
	F x

певному відрізку, закон Гука стосовно сили, що розтягує пружину і закон Паскаля для визначення сили тиску рідини на деяку площину, що занурена у цю рідину.

З цими даними можна познайомитись використовуючи рекомендовану літературу, наприклад, по підручникам [4, 5]

177

Теоретичні питання до змістового модуля №2 “Визначений інтеграл”

1.Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла. Оз­ начення визначеного інтеграла. Теорема існування. Геометрич­ ний і фізичний зміст.

2.Основні властивості визначеного інтеграла.

3.Визначений інтеграл із змінною верхньою межею інтегру­ вання, теорема про похідну такого інтеграла.

4.Формула Ньютона­Лейбніца (вивести).

5.Заміна змінної у визначеному інтегралі.

6.Формула інтегрування частинами у визначеному інтегралі.

7.Невласні інтеграли І роду.

8.Невласні інтеграли ІІ роду.

9.Обчислення довжини дуги кривої в декартових і полярних координатах.

10.Обчислення площі криволінійної трапеції в декартових коор­ динатах і при параметрично заданій границі.

11.Обчислення площі плоскої фігури в полярних координатах.

12.Обчислення об’ємів тіл.

13.Обчислення площі поверхні тіла обертання.

14.Деякі фізичні застосування визначеного інтеграла (обчислен­ ня шляху, роботи, сили тиску).

Література [4 ] Гл. 11, 12; [ 2 ] М085­110, стор.43­53.

Питання для самоперевірки.

1.Які задачі приводять до поняття визначеного інтеграла?

2.Дайте означення визначеного інтеграла.

3.Сформулюйте основні властивості визначеного інтеграла.

4.Який геометричний зміст визначеного інтеграла?

178

5.Який фізичний зміст визначеного інтеграла?

6.Сформулюйте теорему про похідну від визначеного інтеграла із змінною верхньою межею інтегрування.

7.Запишіть формулу Ньютона – Лейбніца. Виведіть її.

8.Як виконується інтегрування підстановкою для визначеного інтеграла?

9.Виведіть формулу інтегрування частинами для визначеного інтеграла.

10.Як інтегруються невласні інтеграли І роду?

11.Як інтегруються невласні інтеграли ІІ роду?

12.Запишіть формули для обчислення площі криволінійної трапеції.

13.Запишіть формули для обчислення довжини дуги.

14.Запишіть формули для обчислення об'ємів тіл.

15.Запишіть формули для обчислення площі поверхні обертання. 16.Як обчислюється шлях, пройдений тілом, що рухається прямолінійно із змінною швидкістю?

17.Як обчислюється робота змінної сили, що діє у напрямі осі Ох?

18.Як обчислюється сила тиску рідини на вертикальну пластинку?

19.

3.2. Зразок типової контрольної роботи для змістового модуля №2 з розв'язанням

Варіант 9 (навчальний)

Тема 3. Означення, властивості та обчислення визначеного інтеграла. Невласні інтеграли (4 бали)

0

1. Обчислити визначений інтеграл : ∫ 2 x 3 e−2 x dx ; (2 б)

−1

2. Обчислити невласний інтеграл або довести його розбіжність:

179

r=6sin 3 .

	2	x2 dx
	∫1			; (2 б)
		x3	−1

Тема 4. Геометричні та фізичні застосування визначеного інтеграла (6 балів)

3. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

y=4−x2 ; y=−x−2. (3 б)

4. Знайти площу одного пелюстка рози

(3 б)

Теоретичне питання (5 б)

Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла. Означення визначеного інтеграла. Теорема існування. Геометричний і фізичний зміст.

Розв'язання

				0
1. Обчислити визначений інтеграл :				∫ 2 x 3 e−2 x dx;
				−1
Для обчислення цього інтеграла потрібно використати формулу
інтегрування частинами.
	b			b
	∫udv= u v ab−∫vdu ,
	a			a
де функції u=u x	i	v=v x		повинні мати неперервні
похідні на відрізку [a ; b].
Приймаємо:	u=2 x 3;		dv=e−2 x dx ;
Тоді: du=u' dx=2 dx ;		v=	e−2 x dx=−1 e−2 x .
		∫		2

180

Нагадаємо, що при знаходженні функції v(x) по її диференціалу dv сталу С можна вибирати довільно, так як в кінцевий результат при застосуванні формули інтегрування частинами вона не входить. В даному випадку прийнято С = 0.

0											0			0
∫	2 x 3 e−2 x dx= 2 x 3 −					1		e−2 x				1 2∫e−2 x dx=
−1						2					−1	2		−1
	1		0	1 −2 x 0					3		1 2		1	1 2
		−2 x	−1−												2
=−	2 2 x 3 e			2 e −1	=−				2		2 e	−	2	2 e	=e	−2.

2. Обчислити невласний інтеграл або довести його розбіжність:

					2	x2 dx
					∫1		;
						x3−1
	Це невласний інтеграл ІІ роду.
	2	x2 dx		1 2	d x3−1 =			1 lim ln x3−1		2
			=lim							=
	∫1			3 1∫
		x3−1 0			x3−1			3 0	1

=1 lim ln 1 3−1 −ln 7 =−∞.

3 0

Отже даний невласний інтеграл другого роду розбіжний. 3. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

y=4−x2 ; y=−x−2.

Знаходимо координати точок перетину даних ліній.

181

y=4−x2 ;		−x−2=4−x2 ;				x2− x−6=0 ;
{y=−x−2.		{y=−x−2.				{y=−x−2.
Звідки: x1=−2 ;		y1=0 ; x2=3 ;		y2=−5.
Отже точками перетину ліній є такі точки: A(­2;0); B (3;­5).
Знаходимо площу фігури:
		4	y
				y = 4 - x2
		A	0		3	x
		-2
		y = -x - 2
		-5			B

3	3			1 x3		1 x2		3
S =∫ 4−x2 x 2 dx=∫ 6−x2 x dx=			6 x−						=
−2	−2			3		2		−2

=18−9 92 − −12 83 2 = 272 223 =1256 =20 56 кв. од.

4. Знайти площу одного пелюстка рози r=6sin3 ϕ .

182

Знайдемо, як змінюється полярний кут ϕ , коли радіус­вектор описує площу одного пелюстка Для цього в рівнянні r=6sin 3 ϕ

	покладаємо r = 0. Отже	sin 3 ϕ=0. Звідки
	3 ϕ=π n , n ;	ϕ=	π n	, n . α=0; β=π/3.
			3

	60°
0	6 P

Знаходимо площу:

		1	π/3	1	π/3					36	π/3
	S=		∫ r2 (ϕ) d ϕ=		∫ 36sin2 3ϕ d ϕ=						∫ (1−cos6 ϕ) d ϕ=
		2		2					2 2
			0		0						0
				(	6	)	π/3			3
							0
			=9		ϕ− 1 sin 6 ϕ			=9		π =3 π .

3.3 Тренінговий варіант контрольної роботи для змістового модуля №2

Варіант 10 (тренінговий)

Тема 3. Означення, властивості та обчислення визначеного інтеграла. Невласні інтеграли (4 бали)

1. Обчислити визначений інтеграл :

183

1					−1 ln 2.
∫arctg x dx ;			(2 б) Відп.
0				4	2
2. Обчислити невласний інтеграл або довести його
розбіжність:
e	dx
		;	(2 б) Відп.	∞	, інтеграл розбіжний .
∫1 x ln3 x

Тема 4. Геометричні та фізичні застосування визначеного інтеграла (6 балів)

3. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

y=x2−2 x ; y=3 x−4. (3 б) Відп. 4.5 кв.од.

4. Знайти силу тиску рідини на вертикальну стінку у формі півкруга, діаметр якого 6 м і знаходиться на поверхні рідини. (3 б)

Відп. 18 g. кв.од.

Теоретичне питання (5 б)

Задачі, що приводять до поняття визначеного інтеграла. Означення визначеного інтеграла. Теорема існування. Геометричний і фізичний зміст.

4.Змістовий модуль №3: “Звичайні диференціальні рівняння”

4.1 Методичні поради до вивчення змістового модуля №3 “Звичайні диференціальні рівняння”

Для полегшення вивчення цього розділу наведемо стислий конспект лекцій. Після ознайомлення з ним потрібно звернутись до підручників із списку рекомендованої літератури, де матеріал цього розділу викладено в повному обсязі.

184

Диференціальні рівняння

П.1. Загальні поняття

Диференціальним рівнянням називається рівняння, що містить невідому функцію, її похідні різних порядків ( або диференціали) і незалежні змінні.

Якщо невідома функція є функцією однієї незалежної змінної, то диференціальне рівняння називається звичайним, на відміну від диференціального рівняння з частинними похідними, у якому невідома функція залежить від декількох змінних. В цьому розділі ми будемо розглядати звичайні диференціальні рівняння.

Порядком диференціального рівняння називається порядок найвищої похідної, що входить в дане рівняння. Так диференціальне рівняння n­го порядку має вигляд:

F x , y , y' , y' ' , ... , y n =0. (1)

Розв'язком диференціального рівняння (1) на інтервалі a ,b
називається функція y=ϕ( x), підстановка якої в рівняння (1)	з

відповідними похідними перетворює його у тотожність на вказаному інтервалі.

Якщо функція, яка є розв'язком диференціального рівняння (1) , задана неявно рівнянням у вигляді Ф(х,у) = 0, то його називають

інтегралом рівняння.
Основною задачею теорії	диференціальних рівнянь є

знаходження всіх розв'язків даного диференціального рівняння. У найпростіших випадках ця задача зводиться до знаходження

інтегралів, тому	процес	знаходження всіх		розв'язків даного
диференціального	рівняння		називається	інтегруванням
диференціального рівняння.

185

Інтеграли ( або розв'язки) диференціального рівняння можуть містити сталі величини, які можна вибирати довільно (довільні сталі). В загальному випадку диференціального рівняння n­го порядку число довільних сталих дорівнює порядку рівняння.

На невідому функцію можуть бути накладені додаткові умови, які полягають у тому, що невідома функція і її похідні повинні приймати задані значення при визначених значеннях незалежної

змінної. Найчастіше ці умови задаються в одній точці х=х0 і

називаються початковими умовами. Початкові умови для диференціального рівняння n­го порядку мають вид:

y(x0)=y 0 ; y ' ( x0)=y'0 ; y ' ' ( x0 )=y ' ' 0 ;... ; y(n−1)(x0)=y(0n. −1) (2)

Загальним розв'язком диференціального рівняння n­го порядку

(1)	в	деякій	області	D	називається	функція
y=ϕ( x ,C1 ,C2, ... ,Cn) ,			що має властивості:

вона є розв'язком диференціального рівняння (1) при будь­яких значеннях довільних сталих C1 ,C2, ... ,Cn ;

для будь­яких початкових умов (2) значення довільних сталих

можна	знайти	однозначно	так,	що	розв'язок
y=ϕ( x ,C1 ,C2 ,... ,Cn )		буде задовольняти цим умовам.
Будь­який розв'язок диференціального				рівняння, який

одержується із загального розв'язку при конкретних значеннях довільних сталих, називається частковим розв'язком цього рівняння.

Задача знаходження часткового розв'язку диференціального рівняння n­го порядку при заданих початкових умовах (2) називається задачею Коші.

Побудований на площині Оху графік будь­якого часткового розв'язку диференціального рівняння називається інтегральною кривою цього рівняння. Загальному розв'язку відповідає сімейство

186

інтегральних кривих, що залежить від параметрів C1 ,C2, ... ,Cn ,

тобто від n довільних сталих.

Диференціальне рівняння може мати і так звані особливі розв'язки, які не можуть бути одержані із загального розв'язку ні при яких значеннях довільних сталих.

Розглянемо методи розв'язування деяких найпростіших типів диференціальних рівнянь. Спочатку розглянемо рівняння першого порядку.

П.2. Рівняння з відокремлюваними змінними

Рівняння виду
	y' = f x g y	(3)
або	f 1 x g1 y dy= f 2 x g2 y dx	(4)

називається рівнянням з відокремлюваними змінними. Рівняння виду (3) можна шляхом перетворень записати так:

dydx = f x g y ; dy= f x g y dx

тобто звести до рівняння виду (4). Розглянемо розв'язок рівняння

(4). Розділимо обидві частини рівняння (4) на добуток

f 1 x g2 y

,

вважаючи,

що

f 1 x g2 y ≠0.

Одержимо рівняння

g1 y	dy=	f 2 x	dx
g2 y		f 1 x

у якому змінні відокремились. Після інтегрування знаходимо загальний інтеграл

187

		g	1	y			f	2	x
	∫				dy=∫						dx
		g	2	y			f	1	x
При цьому	необхідно перевірити,					чи			не		втрачені розв'язки
f 1 x =0 і	g2 y =0 . Якщо вони є розв'язками рівняння, то

встановлюють, чи містяться вони в загальному розв'язку, чи є особливими.

Приклад 1. ( Змістовий модуль № 3, завдання 1; контрольна робота № 4 для ЗФ, завдання 1).

Розв'язати диференціальне рівняння і знайти його частковий розв'язок, який задовольняє вказаній початковій умові:

y' = y 1 ctg x ; y / 2 =4.

Розв'язування. Це є диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними. Запишемо його у вигляді

	dy	= y 1 ctg x ,	звідки	dy	=ctg x dx ,
	dx			y 1

при умові, що y 1≠0.

Інтегруємо ліву і праву частини. Одержимо

∫ yd y1 =∫ctg x dx.

Звідки

ln y 1 =ln sin x ln C ,

або

y 1=C sin x.

188

Таким чином

y=C sin x−1.

є загальним розв'язком даного диференціального рівняння. Окремо встановлюємо, що у=−1 є також розв'язком даного рівняння. Але він не є особливим, так як його можна одержати із

загального при С=0.
Використовуючи початкову умову	y / 2 =4	знайдемо
частковий розв'язок даного рівняння.
C sin /2 −1=4 , звідки С=5.	Підставляючи	С=5 в

знайдений загальний розв'язок, одержимо частковий розв'язок рівняння:

y=5sin x−1.

П.3. Однорідні рівняння

Диференціальне рівняння

y' = f x , y (5)

називається однорідним, якщо його права частина f x , y є однорідною функцією нульового виміру, тобто, якщо для будь­якого

t t≠0 виконується умова f tx ,ty = f x , y . Іншими словами, вказане рівняння буде однорідним, якщо його праву частину можна представити у вигляді функції, яка залежить тільки від відношення змінних x та y. Тобто згідно з означенням однорідне рівняння завжди можна записати у вигляді:

y' = f 1, y/ x .

Для цього достатньо покласти t=1/x.
Якщо	функцію	f х , y		неможливо		представити у вигляді
добутку	f 1 x f 2 y ,		то	змінні	не	відокремлюються. Але
підстановка u=y/ x		, де	u – нова функція від x, дозволяє звести
однорідне	рівняння	до рівняння з			відокремлюваними змінними.

189

Дійсно, тоді y=u x , y '=u' x u. Однорідне рівняння зводиться до такого виду:

u' x u= f 1,u .

Це рівняння з відокремлюваними змінними. Відокремимо їх:

	u' x= f 1,u −u						du	= dx .
							f 1, u −u
								x.
Дaлі проводимо інтегрування:
			du			dx
	∫				=∫ x
		f 1,u −u
і замінюємо u на у/x.
Приклад 2. ( Змістовий модуль № 3, завдання 2(а); контрольна
робота № 4 для ЗФ, завдання 2 (а)).
Розв'язати рівняння:	y' =		x2 y2	.
			2xy

Розв'язування. Це є однорідне диференціальне рівняння першого

порядку. Робимо підстановку:		y=u x ,		y '=u' x u. Тоді
u' x u= 1 u2 ; u' x=1 u2 −u; u' x=1−u2 ;
2 u			2 u	2 u
du= 1−u2		;	2 udu2	= dx ,
dx	2 ux		1−u	x
при умові, що 1−u2≠0,	звідки		u2≠1.
Проводимо інтегрування:

190

			∫	2 udu	=∫ dxx .
				1−u2
ln u2−1=−ln			x ln C ; u2−1= C			; u2=C	1;
					x	x
2
	y	=C 1; y2=Cx x2 ; y=± x C x .
	2
	x	x
При u2=1		одержимо два розв'язки:				u=1	і u=−1 .

Однак вони враховані у загальному інтегралі при С=0 .

П.4. Лінійні рівняння

Диференціальне рівняння, яке можна записати у вигляді

y' p x y=q x	(6)
називається лінійним. Якщо q x =0	то рівняння називається

лінійним однорідним, інакше лінійним неоднорідним. Лінійне однорідне рівняння це рівняння з відокремлюваними змінними.

Неоднорідне лінійне рівняння може бути зведене до розв'язування двох рівнянь з відокремлюваними змінними. Для цього зробимо підстановку:

y=u x v x ; y '=u' v uv' .

Одержимо рівняння:

u' v uv' p x uv=q x .

Звідки, після винесення функції u за дужки:

u' v u v ' p x v =q x .

191

Так як одну невідому функцію			у х	ми замінили добутком
двох невідомих функцій u v		, то одну з цих			функцій можна
вибрати	довільно. Виберемо функцію v			так,	щоб спростити
розв'язок	одержаного рівняння.	Для	цього	прирівняємо вираз у

дужках до нуля. Одержимо систему рівнянь для послідовного

знаходження функцій v і	u :
{	v ' p x v=0;
	u' v=q x .

Для першого достатньо знайти частковий розв'язок, при умові, що v≠0 , для другого – загальний розв'язок. Тоді добуток y x =u x ,C v x дасть загальний розв'язок заданого рівняння.

Приклад 3. ( Змістовий модуль № 3, завдання 2(б); контрольна робота № 4 для ЗФ, завдання 2 (б)).

Знайти загальний розв'язок рівняння y' y cos x=e−sin x Розв'язування. Це лінійне неоднорідне диференціальне

першого порядку. Робимо підстановку

y=u x v x ; y '=u' v uv' .

Одержимо рівняння u' v uv' uv cos x=e−sin x .

Звідки u' v u v ' v cos x =e−sin x .

{v ' v cos x=0 ;

Розв'язуємо систему рівнянь u' v=e−sin x .

.

рівняння

192

y' =∫ f x dx C1 ;

Приклад 4. Розв'язати рівняння

З першого випливає, що v '=−v cos x ;				dv	=−v cos x ;
				dx
dv =−cos x dx ;	dv	= −cos x dx ; ln v =−sin x ln C				1	;
v	∫ v	∫
ln v =ln e−sin x ln C1 ;		v=C1 e−sin x ; C1=1 ;		v=e−sin x .
Тоді з другого			∫
u ' v=e−sin x ; u ' e−sin x=e−sin x ;
			u '=1 ;u= 1 dx ;		u=x C.
Загальний розв'язок рівняння
	y=u v ;		y= x C e−sin x .

П.5. Рівняння вищих порядків, що допускають пониження порядку

Одним з методів інтегрування деяких видів диференціальних рівнянь вищих порядків є зведення їх до рівнянь нижчого порядку. Розглянемо три типи таких рівнянь другого порядку:

y' ' = f x ; 7

F x , y' , y' ' =0 ; 8

F y , y' , y' ' =0; 9

Рівняння (7) розв'язується шляхом двократного інтегрування:

y=∫ ∫ f x dx C1 dx C2.

y' '= sin2 x.

Розв'язання. Проводимо перше інтегрування.

	1 cos2 x	1
y' =∫cos2 x dx=∫	2	dx= 2	∫ 1 cos2 x dx ;

193

Звідки y'= 12 x 14 sin 2 x C1 .

Проводимо друге інтегрування.

y=∫ 12 x 14 sin 2 x C1 dx= 14 x2−18 cos2 x C1 x C2 .

Рівняння (8) не містить у явному вигляді невідому функцію	у .
Порядок такого рівняння можна понизити, якщо прийняти	за

невідому функцію першу похідну у' , тобто y' = p x ; y' ' =p' x . Одержимо диференціальне рівняння першого порядку

виду	F x , p , p ' =0.
Приклад 5. Розв'язати рівняння			y' '	2	y '=−1.
				x
Робимо підстановку y' = p x ;			y ' '= p' . Одержимо рівняння:
p '	2	p=−1. Це лінійне неоднорідне диференціальне рівняння
	x

першого порядку. Розв'язуємо його з допомогою підстановки: y=u x v x ; y '=u' v uv' . Тоді

	u' v uv' 2 =−1 ; u' v u v'					2	=−1 ;
		x				x
2
v ' x	v=0 ;	v '=− 2 v ;	dv =−	2	v ;	dv		=−2 dx ;
						v
{u' v=−1.		x	dx	x						x
dv	2								C
∫ v =∫− x dx ;		ln v =−2 ln x ln C ;				v=				; C=1 ;
									x2

194

v= 12 ; Підставляємо цю функцію в друге рівняння системи: x

1

2

2

x3

u' v=−1 ; u '

=−1 ; u'=−x

; u=∫ −x

dx=−

C1.

x2

3

p= −

3

C1

1

x

C

Тоді p=uv ;

x

=−

1

.

3

x2

3

x2

x

C1

x

C1

x2

C1

y' = p; y '=−

;

y=∫ −

dx=−

−

C2 .

3

x2

3

x2

6

x

Рівняння (9) не містить у явному вигляді незалежну змінну х. Зниження порядку такого рівняння досягається шляхом введення

нової функції y' =z y

аргументом якої є y. Тоді

y' ' =z dy.dz

Приклад 6. Знайти загальний розв'язок рівняння y y ' '− y' 2=0. Розв'язування. Це диференціальне рівняння другого порядку, що не містить у явному вигляді змінну х. Порядок рівняння знижуємо з

	допомогою	введення	нової		функції:	y' =z y ;	y' ' =z	dz
								dy.
	Одержимо
		dz	2		dz	−z =0 ;
		yz dy	−z	=0 ;	z y dy
	Якщо z≠0	, то

195

	dz				dz		dz	dy	dz		dy
y		−z=0 ;		y		=z ;		= y ;	∫ z	=∫ y ;
	dy				dy		z
					ln z =ln y ln C1 ;				z=C1 y.
Так як			y' =z y ,		то:		y' =C1 y; dy		=C1 y ;	dy	=C1 dx ;
								dx		y
			∫ dy	=∫C1 dx ;			ln y =C1 x C2 ;			y=C2 eC 1 x .
			y
Розв'язок			z=0		одержується із загального при						C1=0 і тому
не є особливим.

П.6. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами

Диференціальне рівняння

y' ' py ' qy= f x , (10)

де p і q ­ сталі коефіцієнти, а f(x) ­ права частина рівняння, деяка функція, тотожно не рівна нулю, називається лінійним неоднорідним диференціальним рівнянням другого порядку із сталими коефіцієн­ тами.

Якщо f x ≡0 , то рівняння виду

y' ' py ' qy=0 (11)

називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням другого порядку із сталими коефіцієнтами. Рівнянню (10) завжди можна поставити у відповідність рівняння виду (11), і в цьому випадку рівняння (11) називається відповідними однорідним рівнянням.

Структура загального розв'язку однорідного рівняння (11) визначається теоремою:

196

Якшо	функції	y1 x , y2 x є	лінійно	незалежними на
проміжку	a ,b	розв'язками	лінійного	однорідного

диференціального рівняння 2­го порядку (11), то їх лінійна

комбінація y x =C1 y1 x C2 y2 x , де C1 , C2 ­ довільні сталі є загальним розв'язком цього рівняння.

Структура загального розв'язку неоднорідного рівняння (10) визначається теоремою:

Загальний розв'язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння (10) ( y ) складається із суми загального розв'язку

відповідного однорідного рівняння (11) (				yo ) і часткового
розв'язку неоднорідного рівняння (10) (			y ; ), тобто
y=y	o	y .	(12)

Таким чином необхідно вміти знаходити загальний розв'язок відповідного однорідного рівняння (11) і частковий розв'язок неоднорідного рівняння (10).

Розглянемо спочатку однорідне рівняння (11). Щоб знайти загальний розв'язок цього рівняння достатньо знайти його два лінійно незалежних часткових розв'язки. Будемо шукати часткові розв'язки у

вигляді

y=ekx , де k=const.

Тоді:

y '=k ekx ;

y ' '=k 2 tkx .

Підставляємо ці вирази в рівняння (11). Одержимо:

k 2 ekx pk ekx q ekx =0.

Звідки

k 2 pk q ekx=0.

Так як

ekx≠0. то

k2 pk q=0.

(13)

Це алгебраїчне рівняння називається характеристичним рівнян­

ням для рівняння (11). Його корені:

k1,2= −

p

±

p2

− q .

(14)

4

2

1. Якщо корені

характеристичного

рівняння

(13) будуть

197

дійсними різними ( k1≠k2 ), то загальний розв'язок відповідного однорідного рівняння (11) має вигляд:

yo=C1 ek 1 x C2 ek2 x .

(15)

де С1 ,С2

­ довільні сталі.

2. Якщо

корені

характеристичного

рівняння

(13)

будуть

дійсними

рівними ( k1=k2=k ),

то загальний розв'язок

відповідного однорідного рівняння (11) має вигляд:

y

=C

1

ek x C

2

x ek x .

(16)

o

3. Якщо

корені

характеристичного

рівняння

(13)

будуть

комплексними (

k1,2= ± i

),

то

загальний

розв'язок

відповідного однорідного рівняння (11) має вигляд:

y

=C

1

e x cos x C

2

e x sin x.

(17)

o

Розглянемо приклади, в яких потрібно знайти загальні розв'язки

однорідних рівнянь.

Приклад 7.

y' ' 4 y' 3 y=0.

k2 4 k 3=0 ; k1=−1; k2=−3 ;

yo=C1 e− x C2 e−3 x .

Приклад 8.

y' ' −4 y ' 4 y=0.

k2−4 k 4=0 ; k =k =2 ; y

=C

1

e2 x C

2

x e2 x .

1

2

o

198

Приклад 9. y' ' −4 y ' 13 y=0.
k2−4k 13=0 ; k1,2=2± 4−13=2±3i ;	=2 ;	=3 ;

yo=C1 e2 x cos3 x C2 e2 x sin 3 x.

Приклад 10. y' ' y=0.

k 2 1=0 ; k1,2=0± −1=0±1 i ; =0 ; =1;

yo=C1 cos x C2 sin x.

Перейдемо до розгляду неоднорідного рівняння (10):

y' ' py ' qy= f x ,

Щоб знайти його загальний розв'язок потрібно знайти який не

будь його	частковий розв'язок	y , а потім скласти його з
одержаним	загальним розв'язком відповідного однорідного рівняння

(11). В якому вигляді шукати частковий розв'язок вказує права частина неоднорідного рівняння f(x). Наведемо випадки часткових розв'язків для деяких видів правої частини f(x).

1.	f x =P	n	x eax , де		P	n	x ­ многочлен степені n, тобто
	Pn x =a0 a1 x a2 x2 ... an xn і a ­ дійсне число.
Нехай { k1 ,k2				} ­ множина коренів характеристичного рівняння

відповідного однорідного рівняння.

199

Частковий розв'язок неоднорідного рівняння слід шукати у вигляді:

y = xr Q	x eax	, де:	Q	x =b	b	x b	x2 ... b	xn ;
n			n	0	1	2	n

r – ціле додатне число, яке показує скільки разів число a зустрічається серед коренів характеристичного рівняння (r = 0;1;2).

2.

f x =P x eax cos bx Q

m

x eax sin bx ,

де

P

n

x

і

n

Qm x

многочлени степені

n і

m відповідно,

a

і

b

­ дійсні

числа.

Частковий розв'язок неоднорідного рівняння слід шукати у

вигляді:

y = xr U

z

x eax cosbx V

z

x eax sin bx ,

де:

Uz x

і V z x

многочлени

степені

z

з невідомими

коефіцієнтами; r – ціле додатне число, яке показує скільки разів

число	a bi зустрічається серед коренів	характеристичного
рівняння; z = max {n, m}, тобто більшому з чисел		n і m .
При знаходженні часткового розв'язку многочлени у ньому
записуються з невідомими коефіцієнтами. Потім		y з відповідними

похідними підставляється в задане неоднорідне рівняння і з одержаної тотожності знаходяться невідомі коефіцієнти шляхом прирівнювання коефіцієнтів в лівій і правій частинах при однакових комбінаціях xp eax cos bx та x p eax sin bx .

Приклад 11. В якому вигляді слід шукати часткові розв'язки неоднорідного рівняння y' ' −5 y' 6 y= f x у випадках:

200

1. 1)	f x =8 ;	2)	f x =x 3 ; 3)	f x =2e9 x ;
4) f	x =xe3 x ;	5)	f x =3ex cos 5 x ;

6)f x =3e2 x cos 4 x 7 e2 x sin 4 x.

Розв'язування. Відповідне однорідне рівняння y' ' −5 y' 6 y=0.

Характеристичне рівняння: k2−5k 6=0.

Його корені: k1=2; k2=3.

1)f x =8; Порівнюємо її з правою частиною стандартного

виду:	f x =Pn x eax .			Одержимо					n = 0 і a=0.
Частковий розв'язок шукаємо у вигляді
y = xr Q		n	x eax . Так як	a {k	1,	k	2	}	, то r = 0. Отже

y = x0 Q0 x e0x =A.

Таким чином частковий розв'язок слід шукати у такому вигляді: y = A , тобто у вигляді сталої. Інші приклади слід розв'язати самостійно.

Відповіді: 2) y = Ax B ;	3) y = A e9x ;
4) y = x Ax B e3 x ; 5)	y = Aex cos 5 x B ex sin 5 x ;

201

немає, то r = 0. z= max (m,n) = 0. Отже частковий розв'язок

6)	y = Ae2 x cos4 x B e2 x sin 4 x ;
Приклад 12. (Змістовий модуль 3, завдання 3; контрольна робота
№ 4 , ЗФ, завдання 4).

Знайти частковий розв'язок лінійного неоднорідного диферен­ ціального рівняння другого порядку, який задовольняє вказаним

початковим умовам.
y' ' −y=3 e2 x cos x ; y 0 =0,3 ;		y' 0 =1.
Розв'язування. Запишемо і знайдемо загальний розв'язок
відповідного однорідного рівняння.
y' ' −y=0 ; k 2−1=0 ; k	=1; k	=−1 ; y	=C	1	ex C	2	e−x .
1	2	o

Права частина заданого неоднорідного рівняння має вид:

f x =3 e2 x cos x. Порівняємо її з правою частиною стандартного виду: f x =Pn x eax cos bx Qm x eax sin bx . Звідки n = 0;

m = 0;	a=2; b=1.
Частковий розв'язок неоднорідного рівняння шукаємо у такому
вигляді:
	y = xr U	z	x eax cosbx V		z	x eax sin bx ,
Так як	серед коренів			характеристичного рівняння			кореня

a bi

потрібно шукати у вигляді:

y = Ae2 x cos x B e2 x sin x , звідки y =e2 x A cos x B sin x .

202

Знаходимо похідні:

y '=2 e2 x A cos x B sin x e2 x −Asin x B cos x ;

y '' =4 e2 x A cos x B sin x 4e2 x −A sin x B cos xe2 x −A cos x−B sin x .

Для знаходження невідомих коефіцієнтів А і В підставляємо y і відповідні похідні у задане неоднорідне рівняння:

4 e2 x A cos x B sin x 4 e2 x −A sin x B cos xe2 x −Acos x−B sin x −e2 x A cos x B sin x =3 e2 x cos x.

Звідки так як e2 x ≠0 , то

4 A cos x B sin x 4 −A sin x B cos x−A cos x−Bsin x − A cos x B sin x =3cos x.

Після зведення подібних:

2 Acos x 2 B sin x−4 Asin x 4 B cos x=3cos x , або

2 A 4 B cos x 2 B−4 A sin x=3cos x.

Прирівнюємо коефіцієнти при cos x і sin x в лівої і правої частин рівняння. Одержимо систему:

2 A 4B=3 ;
{2 B−4 A=0.	Звідки А = 0,3; В = 0,6.

203

Отже y =e2 x 0,3cos x 0,6sin x .
Загальний розв'язок неоднорідного рівняння y=y	y .
o

y=С1 ex C2 e−x e2 x 0,3cos x 0,6sin x .

Знаходимо похідну

y' =С1 ex −C2 e−x 2e2 x 0,3cos x 0,6sin xe2 x −0,3sin x 0,6cos x .

Для знаходження сталих C1 і C2 використовуємо початкові

умови:	y 0 =0,3 ; y ' 0 =1.	Одержимо систему:
	С С 0,3=0,3	;	С С =	0;
	{C1−1 C2 2 0,6 0,6=1.		{C1−1 C2=−2	0,2 .
Отже	С1=−0,1 ; C2=0,1.

Відповідь: y=−0,1 ex 0,1 e−x e2 x 0,3 cos x 0,6sin x .

П.7 Системи диференціальних рівнянь із сталими коефі­ цієнтами

Системою диференціальних рівнянь називається сукупність рівнянь, в кожне з яких входить незалежна змінна, невідомі функції і їх похідні. Вважається, що число рівнянь у системі диференціальних рівнянь дорівнює числу невідомих функцій.

204

Розглянемо систему диференціальних рівнянь І порядку:

	{	dy1		= f		x , y		, y		;
		dx			1		1		2
										(18)
		dy2
				= f 2 x , y1				, y2 .
		dx

де y1 , y2 – невідомі функції, х – аргумент.

Така система, в лівій частині якої виділені похідні першого порядку невідомих функцій, а праві частини не містять похідних, називається нормальною.

Розв'язком системи називається сукупність функцій { y1 , y2 },

яка задовольняє всім рівнянням системи.

Частковим розв'язком системи називається розв'язок, який задовольняє початковим умовам для цієї системи:

y1 x0	=y10 ; y2 x0 =y20 .	(19)
Якщо замінити y10 , y20	на довільні сталі	С1 ,С2 , то перейдемо

до загального розв'язку системи. Задача знаходження часткового розв'язку системи (18), який задовольняє початковим умовам (20), називається задачею Коші для нормальної системи диференціальних рівнянь. З умовами існування і єдиності розв'язку задачі Коші можна познайомитись у відповідних підручниках або у лекційному курсі.

Розглянемо розв'язування нормальної системи диференціальних рівнянь (18) методом виключення.

Диференціюємо по х перше з рівнянь системи (18):

205

d2 y

∂ f

1

∂ f

1

dy

1

∂ f

1

dy

2

1

=

.

∂ x

∂ y

∂ y

dx2

1

dx

2

dx

Замінюємо похідні

dy1

i

dy2

їх виразами

f

x , y

, y

,

dx

dx

1

1

2

f 2 x , y1 , y2 із системи (18).Таким чином ми одержимо систему:

	{	dy1		= f		x , y		y		;
		dx			1		1,		2
		dy2		= f 2		x , y1 , y2 .
		dx

З першого рівняння системи знаходимо y2 і підставляємо в друге рівняння. Одержимо диференціальне рівняння другого порядку для знаходження невідомої функції y1 , потім з першого рівняння знаходимо y2 .

Зауваження 1. При запису нормальної системи диференціальних рівнянь що складається лише з двох рівнянь виду (18), за аргумент приймають змінну t, а за невідомі функції x(t) і y(t). Якщо розглядати параметр t як час, то невідомі функції x(t) і y(t) можна розглядати як координати матеріальної точки на площині, що рухається по закону, описаному системою диференціальних рівнянь:

{ (19) dy

dx

dt = f 1 t , x , y ;

dt = f 2 t , x , y .

206

Систему (19) в цьому випадку називають динамічною. Розглянемо частковий випадок такої системи:

		dx =a x b			1	y f	1	t ;
		dt	1
								,	(20)
		{dydt =a2 x b2 y f 2 t .
де	x= x t ;	y=y t ­		невідомі функції;						f 1 t ,	f 2 t ­

неперервні функції, задані на проміжку, що розглядається при розв'язанні рівняння, такі, що хоча б одна з них тотожно не рівна

нулю на цьому проміжку; a1 ,a2 ,b1 ,b2 ­ сталі числа.

Система (20) називається неоднорідною системою лінійних

диференціальних		рівнянь	другого		порядку		із	сталими
коефіцієнтами. У випадку, коли				f 1 t =0		і f 2 t =0		систему
називають однорідною.
Якщо	b1=0 або	a2=0	,	то система		розв'язується		як два
лінійних	рівняння. Якщо		b1 a2≠0 ,		то	систему	можна звести

методом виключення до одного лінійного диференціального рівняння другого порядку з однією невідомою функцією.

Наприклад, нехай b1≠0		. Тоді з першого рівняння системи (19)
знайдемо
1		dx
y=		dt	−a1 x− f 1 t . (21)
	b1

і підставляємо в друге рівняння. Одержимо лінійне диференціальне рівняння другого порядку з однією невідомою функцією х. Знайшовши х з допомогою виразу (21) знайдемо у.

207

Таким чином буде знайдено загальний розв'язок системи (20).

x=x t ,C1 ,C2 ;	y=y t ,C1 ,C2 .
Якщо задані початкові умови x t0 =x0 ;		y t 0 =y0 , то можна

знайти частковий розв'язок системи, який задовольняє цим умовам, тобто знайти відповідні значення довільних сталих C1 і C2 .

Приклад 13. ( Змістовий модуль № 3, завдання 4; контрольна робота № 4 для ЗФ, завдання 5). Методом виключення розв'язати систему диференціальних рівнянь і знайти її частковий розв'язок:

	{dt
	dx =3 x y;
	dt	; x 0 =1 ; y 0 =0.
	dy =−x y.

Розв'язування. З першого рівняння знаходимо

y= dxdt −3 x

і підставляємо в друге рівняння. Одержимо:

	d2 x	−3		dx	=−x		dx	−3 x.
	dt2			dt			dt
	Звідки:
	d2 x		−4		dx	4 x=0.
	dt2				dt

Це лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку з сталими коефіцієнтами. Знайдемо його загальний розв'язок:

208

k2−4 k 4=0 ; k1=k2=2 ; x=C1 e2 t C2 t e2t=e2t C1 C2 t

Тоді:

y= dxdt −3 x=2 e2 t C1 C2 t e2t C2−3e2 t C1 C2 t .

Звідки після спрощення одержимо:

y=e2 t −C1 C2 1−t .

Отже, загальний розв'язок системи:

x=e2t C C		2	t ;
	1
{y=e2 t −C1 C2 1−t .
Використовуючи початкові умови					x 0 =1;	y 0 =0,
знаходимо сталі C1			і C2	:
C1=1 ;				C1=1	і C2=1.
{−C1 C	звідки
	2=0.
	x=e2t 1 t ;
Відповідь.	{ y=e2t −t .

209

Теоретичні питання до змістового модуля №3 “Звичайні диференціальні рівняння”

1.Диференціальні рівняння Основні поняття.

2.Диференціальні рівняння І порядку. Задача Коші. Теорема існування і єдиності розв’язку задачі Коші.

3.Рівняння з відокремлюваними змінними. Однорідні диференціальні рівняння І порядку.

4.Лінійні диференціальні рівняння І порядку. Рівняння Бернуллі.

5.Диференціальні рівняння вищих порядків. Задача Коші. Поняття про крайові задачі.

6.Рівняння вищих порядків, що допускають пониження порядку.

7.Лінійні однорідні диференціальні рівняння . Основні властивості їх розв’язків. Лінійна залежність функцій. Визначник Вронського. Теорема про необхідну умову лінійної залежності довільної системи функцій.

8.Необхідна і достатня умови лінійної незалежності системи функцій, що є розв’язками лінійного однорідного диференціального рівняння.

9.Фундаментальна система розв’язків лінійного однорідного диференціального рівняння. Теорема про структуру його загального розв’язку.

11.Лінійні однорідні диференціальні рівняння ІІ порядку із сталими коефіцієнтами. Характеристичне рівняння. Загальний розв’язок у випадку, коли корені характеристичного рівняння дійсні різні.

12.Лінійні однорідні диференціальні рівняння ІІ порядку із сталими коефіцієнтами. Характеристичне рівняння. Загальний розв’язок у випадку, коли корені характеристичного рівняння дійсні, однакові.

210

13.Лінійні однорідні диференціальні рівняння ІІ порядку із сталими коефіцієнтами. Характеристичне рівняння. Загальний розв’язок у випадку, коли корені характеристичного рівняння комплексні.

14.Лінійні однорідні диференціальні рівняння n­го порядку із сталими коефіцієнтами. Характеристичне рівняння. Загальний розв’язок рівняння.

15.Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння . Теорема про структуру загального розв’язку.

16.Знаходження часткового розв’язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння ІІ порядку із сталими коефіцієнтами

і правою частиною виду

f x =Pn x eax .

17. Знаходження часткового розв’язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння ІІ порядку із сталими коефіцієнтами і правою частиною виду

fx =Pn x eax cos bx Qm x eax sin bx .

18.Принцип суперпозиції часткових розв’язків для лінійного неоднорідного диференціального рівняння ІІ порядку.

19.Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння n­го порядку із сталими коефіцієнтами. Знаходження часткового розв’язку.

20.Системи диференціальних рівнянь. Розв’язання нормальної системи диференціальних рівнянь методом виключення.

Література. [4], гл.13.

211

Питання для самоперевірки

1.Яке рівняння називається диференціальним?

2.Що називається порядком диференціального рівняння?

3.Що називається розв'язком диференціального рівняння?

4.Що називається інтегралом диференціального рівняння?

5.Яка основна задача теорії диференціальних рівнянь?

6.Які величини називаються довільними сталими?

7.Які умови називаються початковими?

8.Який розв'язок диференціального рівняння називається загальним і який частковим?

9.Яка задача в теорії диференціальних рівнянь називається задачею Коші?

10.Які розв'язки диференціального рівняння називаються особливими?

11.Сформулюйте теорему існування і єдиності розв'язку задачі Коші для диференціального рівняння І порядку.

12.Як розв'язується диференціальне рівняння І порядку з відокремлюваними змінними? Наведіть приклад.

13.Як розв'язується однорідне диференціальне рівняння І порядку? Наведіть приклад.

14.Як розв'язується лінійне диференціальне рівняння І порядку? Наведіть приклад.

15.Як розв'язується рівняння Бернуллі? Наведіть приклад.

16.Які типи диференціальних рівнянь вищих порядків, що допускають пониження порядку, Ви знаєте і як вони розв'язуються?

17.Яке диференціальне рівняння вищого порядку називається лінійним і які властивості розв'язків такого рівняння?

18.Що таке фундаментальна система розв'язків лінійного однорідного диференціального рівняння?

19.Сформулюйте теорему про структуру загального розв'язку лінійного однорідного диференціального рівняння. Доведіть її.

212

20.Як розв'язуються лінійні однорідні диференціальні рівняння ІІ порядку з сталими коефіцієнтами? Яке рівняння називається характеристичним? Як знаходяться його корені?

21.Як записується загальний розв'язок лінійного однорідного диференціального рівняння ІІ порядку для випадку, коли корені характеристичного рівняння дійсні, різні? Наведіть приклад.

22.Як записується загальний розв'язок лінійного однорідного диференціального рівняння ІІ порядку для випадку, коли корені характеристичного рівняння дійсні, рівні? Наведіть приклад.

23.Як записується загальний розв'язок лінійного однорідного диференціального рівняння ІІ порядку для випадку, коли корені характеристичного рівняння комплексні? Наведіть приклад.

24.Сформулюйте теорему про структуру загального розв'язку

лінійного	неоднорідного диференціального рівняння.
Доведіть її.

25.Як знаходиться частковий розв'язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння для випадків, коли права частина рівняння має спеціальний вид?

26.Розкажіть про принцип суперпозиції часткових розв'язків

лінійного	неоднорідного диференціального рівняння ІІ
порядку.

27.Яка система диференціальних рівнянь називається нормальною?

28.Який Ви знаєте метод розв'язування нормальної системи диференціальних рівнянь? Розкажіть про цей метод.

213

4.2. Зразок типової контрольної роботи для змістового модуля №3 з розв'язанням (10 б.)

Варіант 9 (навчальний)

Тема 5. Диференціальні рівняння І порядку (6 балів)

1. Знайти частковий розв'язок рівняння

						y' = y 1 ctg x ;	y /2 =4.		(2б)
	2. Знайти загальні розв'язки						однорідного		і лінійного рівнянь:
		x	2	y	2		б)		−sin x	.	(2 б)
а)	y' =					. (2 б)		y' y cos x=e
			2 xy

Тема 6. Диференціальні рівняння вищих порядків. Системи диференціальних рівнянь (4 бали)

3. Знайти загальний розв'язок рівняння (2 б) :

y' '−y=3 e2 x cos x.

4.Знайти загальний розв'язок системи рівнянь (2 б):

{dxdt =3 x y ; dydt =−x y.

Теоретичне питання (5 б)

Лінійні диференціальні рівняння І порядку. Рівняння Бернуллі.

Всі рівняння цього варіанту розв'язано вище (приклади 1, 2, 3, 12, 13).

214

4.3. Тренінговий варіант контрольної роботи для змістового модуля №3 (10 б.)

Варіант 10 (тренінговий)

Тема 5. Диференціальні рівняння І порядку (6 балів)

1. Знайти частковий розв'язок рівняння:
y' x2 1 =2 xy ; y 1 =4. (2б) Відп.	y=2 x2 1 .

2. Знайти загальні розв'язки однорідного і лінійного рівнянь:

а)

y' = y

1

y2

.

(2б) Відп.

y

1

y2

=Cx .

x2

x

x2

x

б)

y' 2 xy=3 x2 e−x 2 . (2 б) Відп.

y= x3 C e−x2 .

Тема 6. Диференціальні рівняння вищих порядків. Системи диференціальних рівнянь (4 бали)

3. Знайти загальний розв'язок рівняння (2 б) : y' ' −3 y ' 2 y=−sin x−7 cos x.

Відп. y=C1 ex C2 e2 x 2sin x−cos x.

4. Знайти загальний розв'язок системи рівнянь (2 б):

dx	=4 x−8 y ;		x=−С	1 e	12t	C	−4 t	;
dt							2 e
{dtdy =−8 x 4 y.		Відп.	{y=C1 e12 t C2 e−4 t .

Теоретичне питання (5 б)

Лінійні диференціальні рівняння І порядку. Рівняння Бернуллі.

215

5. Методичні поради до виконання контрольної роботи студентами заочної форми навчання. Зразок типової контрольної роботи

Перед виконанням контрольної роботи необхідно опрацювати теоретичний матеріал і розібрати як розв'язано приклади наведені у цій роботі вище, розв'язати тестові і тренінгові завдання до кожного модуля.

Вкажемо зразок завдання контрольної роботи № 2 для студентів заочного факультету. Всі приклади цього завдання були розв'язані вище у відповідних розділах.

Заочна форма навчання. ІІ семестр. Контрольна робота №2. “Інтегральне числення функції однієї змінної. Звичайні диференціальні рівняння.” (60 б. : 36 б. осн. + 24 б. захист) .

Варіант №31

Завдання 1. Знайти невизначені інтеграли (12 б., по 3 б. приклад):

а)

∫

5 3 x arctg8 x

dx ;

б)

2 x 5

1 x

2

dx ;

∫ 9 x2

6 x 2

в)

∫

2 x3 4 x2 x 2 dx ;

г)

cos3 x dx ;

x4−x3−x 1

∫ sin4 x

Завдання 2. Обчислити визначені інтеграли (6 б., по 3 б. приклад):

0	1		1 3 dx .
а) ∫ 2 x 3 e−2 x dx ;	б) ∫x2	x
−1	0

Завдання 3. Застосування визначеного інтеграла (4 б.). Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

y = 4−x 2 ; y =−x−2.

216

Завдання 4. Диференціальні рівняння І порядку (6 б., по 2 б.

	приклад).	Знайти частковий розв'язок				рівняння (а), та загальні
	розв'язки	однорідного (б) і лінійного (в) рівнянь:
		а) y' = y 1 ctg x ;			y /2 =4 ;
	б)	y' =	x2 y2	;	в)	y' ycos x= e−sin x .
			2 xy

Завдання 5. Неоднорідні лінійні диференціальні рівняння ІІ поряд­ ку. Системи диференціальних рівнянь (8б., по 4 б. приклад).

а) Знайти загальний розв'язок рівняння: y' '−y = 3e2 x cos x ;

б) Знайти загальний розв'язок системи рівнянь:

{dx =3 x y; dt

dy =−x y. dt

Наведемо варіанти завдано контрольних робіт для студентів заоч­ ної форми навчання. ІІ семестр. Контрольна робота №2. “Інтегральне числення функції однієї змінної. Диференціальні рівняння.” (60 б. : 36 б. осн. + 24 б. захист) .

Завдання 1. Невизначений інтеграл. (10 б., по 2 б. приклад). Завдання 2. Визначений інтеграл. (4б., по 2 б. приклад).

Завдання 3. Геометричні та фізичні застосування визначеного інтеграла. (8 б., по 4 б. приклад).

Завдання 4. Диференціальні рівняння І порядку. (6 б., по 2 б. приклад).

Завдання 5. Неоднорідні лінійні диференціальні рівняння ІІ порядку. Системи диференціальних рівнянь.(8б., по 4 б. приклад).

217

5.1. Завдання до контрольної роботи №2 для студентів заочної форми навчання (30 варіантів)

Варіант №1 Завдання 1. Знайти невизначені інтеграли:

а)

б)

3 x−1

dx ;

4

8tg x

∫

2

x2 5 x 7

∫ x

cos2 x

dx ;

9−x2

∫

5x 3

г) ∫

dx

в)

dx ;

.

x−1 x2 4

sin x 3cos x 3

Завдання 2. Обчислити визначені інтеграли:

1

3

dx

а)

∫x arctg x dx ;

б) ∫

.

3

0

0

x 1 x 1 2

Завдання 3.

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

y= 4−x2 ; y = 4−2 x .

Завдання 4. Знайти частковий розв'язок рівняння (а), та загальні

розв'язки	однорідного (б) і лінійного (в)					рівнянь:
			а) 1 ex y '=ex y ;			y 0 =4.
б)	y' =	y	tg	y	;	в)	y' −	y	= x.
		x						x
				x
Завдання 5. а) Знайти загальний розв'язок рівняння;									б) знайти

загальний розв'язок системи рівнянь:

				{dt
				dx = 2 x y ;
	а)	y' '−2 y' −8y=16 x2 2 ;	б)	dt
				dy = x 2 y.

218

Варіант №2

Завдання 1. Знайти невизначені інтеграли:

а)

∫

5 x arctg2 x dx ;

б)

∫

3 x 2

dx ;

9 x2 6 x 2

1 x2

dx

cos5 x

в)

∫

;

г)

∫ sin6 x

dx .

x2−4 x x 5

Завдання 2. Обчислити визначені інтеграли:

/2

5

3dx

а)

∫ 3 x2 1 sin x dx ;

б) ∫

.

4

0

0

3 x 1 3 x 1

Завдання 3. Обчислити довжину астроїди: x=2cos3 t ; y=2sin3 t .

Завдання 4. Знайти частковий розв'язок рівняння (а), та загальні розв'язки однорідного (б) і лінійного (в) рівнянь:

	а) y' = 2 y 1 ctg x ;						y /2 =1 /2 ;
	y		y		y		в) y' − 2 xy= 2 x ex 2 .
б) y' =				ln		;
	x		x		x

Завдання 5. а) Знайти загальний розв'язок рівняння; б) знайти загальний розв'язок системи рівнянь:

{dx = x 5 y ; а) y' ' 4 y=3cos x ; б) dt

dy =− x−3 y. dt

219

Варіант №3

Завдання 1. Знайти невизначені інтеграли:

а) ∫

2 x arcsin

3 x

dx ;

∫

2 x 5

б)

dx ;

1−x2

3−2 x−x2

в) ∫

6 x4−6 x3−2 x2 9 x 4

dx ;

г)

∫

dx

.

3

2

sin

3

x

−4 x 3x

x

Завдання 2. Обчислити визначені інтеграли:

2

64

2

6

x

а)

∫ln x2 4 dx ;

б)

∫

dx .

3

x 2

0

1

x

Завдання 3.

Обчислити площу фігури, обмеженої кардіоїдою:

r = 4(1+cosϕ).

Завдання 4.

Знайти частковий розв'язок рівняння (а), та загальні

розв'язки однорідного (б) і лінійного (в) рівнянь:

а)

y' x2 1 =2 xy ; y 1 =4 ;

б)

y' = 2 y 3 x ;

в)

y' −ytg x=

1

.

x

cos3 x

Завдання 5. а) Знайти загальний розв'язок рівняння; б) знайти загальний розв'язок системи рівнянь:

{dx = −x−y ;

а) y' ' −y' −2 y=4ex ; б) dt

dydt = −5 x 3 y.

220

Варіант №4

Завдання 1. Знайти невизначені інтеграли:

1

ln5 x

3 x−1

а)

x

dx ;

б)

dx ;

∫

x

∫ 2 x2

−2 x 1

в) ∫

dx

;

г)

∫cos4 2 x dx .

x

x−1 x 2

Завдання 2. Обчислити визначені інтеграли:

/4

1

dx

а)

∫ x2 cos2 x dx ;

б) ∫

.

0

0 2−x2

2−x2

Завдання 3. Знайти об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі абсцис фігури, обмеженої лініями:

							y=2 x−x 2 ; y=x.
	Завдання 4.		Знайти частковий розв'язок рівняння (а), та загальні
	розв'язки	однорідного (б) і лінійного (в) рівнянь:
				а) y' x ln x=y 1 ; y e =2 ;
		y' =		y			;			1
	б)				x y			в)	y' −y ctg x=		.
				x						sin x
	Завдання 5.		а) Знайти загальний розв'язок рівняння; б) Знайти
	загальний розв'язок системи рівнянь:
									dx = x−3 y;
									dt
		а)	y' ' −2 y' = 2 x 1 ;						б) {dydt = x 5 y.

221

Варіант №5

Завдання 1. Знайти невизначені інтеграли:

а)

∫

x3 x

dx ;

б)

∫

5 x 2

dx ;

1−x4

x2 3 x−1

в) ∫

x−1 dx

∫

dx

;

г)

.

x 2 2 x 1

4 5cos x

Завдання 2. Обчислити визначені інтеграли:

1/2

4

x−1 dx

а)

∫ arcsin 2 x dx ;

б) ∫

.

3

3

0

0

3 x−4 2− 3 x−4 1

Завдання 3. Обчислити площу фігури, обмеженої еліпсом:

x = 3cos t ; y = 2sin t.

Завдання 4. Знайти частковий розв'язок рівняння (а),

та загальні

розв'язки

однорідного (б) і лінійного (в) рівнянь:

а) y' sin x=ycos x ;

y /2 =1 ;

б)

y' =

x y−y2

;

в)

y'

y

= e−x .

x2

x

x

Завдання 5. а) Знайти загальний розв'язок рівняння; б) знайти

загальний розв'язок системи

рівнянь:

dx

=x−2 y;

dt

а)

y' ' −y' −6 y = 6 x2−4 x−3 ; б) {dydt =3 x 6 y.

222

Варіант №6

Завдання 1. Знайти невизначені інтеграли:

а)

б)

2x

cos x

x 3

dx ;

x

dx ;

∫

2sin x 1

∫ 2 x2 6 x 17

в)

∫

3 x2−3 x−8

dx ;

г)

∫

dx

.

2

1

cos

4

x sin

2

x−3 x

x

Завдання 2. Обчислити визначені інтеграли:

/6

27

x 1 dx

а)

∫ xsin 3 x dx ;

б) ∫

.

3

3

2

0

1

x

− x 1

Завдання 3. Знайти довжину дуги кардіоїди: r=4(1−cos ϕ).

Завдання 4. Знайти частковий розв'язок рівняння (а), та загальні розв'язки однорідного (б) і лінійного (в) рівнянь:

а) 1 x2 y' = −xy ; y 0 =1;

б) y' = 1 y y2 ; x x2

в) y' − 3xy = x .

Завдання 5. а) Знайти загальний розв'язок рівняння; б) знайти загальний розв'язок системи рівнянь:

				{dt
				dx = 2 x−y;
	а)	y' ' − 4 y' 3y = 8 e5 x ;	б)	dt
				dy = 3 x−2 y.

223

Варіант №7

Завдання 1. Знайти невизначені інтеграли:

а)

б)

∫

3 x 5

dx ;

∫

1

1

dx ;

−x2−10 x−9

3

cos

2

x 1 tg x

x

в) ∫ 6 x32−7 x 7 dx ;

г)

∫tg4 x dx .

x

−3 x 2

Завдання 2. Обчислити визначені інтеграли:

2

3

dx

а)

∫arctg x dx ;

б)

∫

.

0

2

0

1 x 1

Завдання 3.

Знайти силу тиску рідини на вертикальну стінку у

формі півкруга, діаметр якого 4 м і знаходиться на поверхні рідини. Завдання 4. Знайти частковий розв'язок рівняння (а), та загальні

	розв'язки	однорідного (б) і лінійного (в) рівнянь:
			а)		x y' y ln y=0 ; y 1 =e ;
	б)	y' =	y−x	;	в)	y' −	2 y	= 3 x4 .
			x				x

Завдання 5. а) Знайти загальний розв'язок рівняння; б) знайти загальний розв'язок системи рівнянь:

				{dt
				dx = 4 x 2 y;
	а)	y' '−2 y' = 6 x2−6 x−2;	б)	dt
				dy =− x y.

224

Варіант №8

Завдання 1. Знайти невизначені інтеграли:

а)

∫

ln2 x sin ln x 7 dx ;

б)

∫

2 x−3

dx ;

x

9 x2−6 x 5

в) ∫

x4 4 x3−2 x2−9 x 15

dx ;

г)

∫

sin5 x

dx ;

x

3

2

−5 x 3

cos

4

x

x

Завдання 2. Обчислити визначені інтеграли:

/4

xdx

1

dx

а)

∫

;

б) ∫

.

2

4

0

cos x

0

1 8 x

1 8 x

Завдання 3. Обчислити довжину дуги однієї арки циклоїди:

x = 2 t−sin t ;

y = 2 1−cost .

Завдання 4.

Знайти частковий розв'язок рівняння (а), та загальні

розв'язки

однорідного (б)

і лінійного (в) рівнянь:

а)

y' ctg x y = 2 ;

y 0 = −1;

б)

x y' = y x sin

y

;

в)

y' −

y

= x cos x .

x

x

Завдання 5. а) Знайти загальний розв'язок рівняння; б) знайти загальний розв'язок системи рівнянь:

{dx = x y ; а) y' ' 4 y' = 17 cos x ; б) dt

dy = 3 x−y. dt

225

Варіант №9

Завдання 1. Знайти невизначені інтеграли:

а)

∫

tg 3 x−ctg 3 x dx ;

б)

5 x−1

dx ;

sin 3 x

∫ 2 x2 2 x 5

в)

∫

5x2 21 x 40 dx ;

г)

∫

cos3 x dx .

x2 x 8

sin2 x

Завдання 2. Обчислити визначені інтеграли:

2

16

x−1

а)

∫x ln x dx ;

б) ∫

dx .

4

1

1

x x

Завдання 3.

Обчислити площу фігури, обмеженої лінією:

r=3cos 2 .

Завдання 4.

Знайти частковий розв'язок рівняння (а), та загальні

розв'язки

однорідного (б) і лінійного (в) рівнянь:

а)

1 sin x y ' = y cos x ;

y /2 = 4 ;

							в) y' 2x y= 3 x2 e−x 2 .
б)		y				y2
	y' = x				1 x2		;

Завдання 5. а) Знайти загальний розв'язок рівняння; б) знайти загальний розв'язок системи рівнянь:

{dx = 3 x 8 y ; а) y' '−2 y' y =e2 x ; б) dt

dy =−x −3 y. dt

226

Варіант №10 Завдання 1. Знайти невизначені інтеграли:

а)

∫

arctg5 x x3 dx ;

б)

∫

2 x 1

dx ;

1 x2

5 4 x−x2

в) ∫

3 x2−2 x 4

dx ;

∫

dx

г)

.

x−1 x2 4

sin x−cos x−1

Завдання 2. Обчислити визначені інтеграли:

	0	3		dx
	а) ∫ 2 x 3 e−2 x dx ;	б) ∫					.
	−1	0 x2			x2 9
				9

Завдання 3. Знайти силу тиску рідини на вертикальну трикутну пластинку, що має основу 6 м і висоту 4 м, якщо її вершина знаходиться на поверхні рідини.

Завдання 4. Знайти частковий розв'язок рівняння (а), та загальні розв'язки однорідного (б) і лінійного (в) рівнянь:

	а) y' arctg x =			y	;	y 1 =	;
				1 x2
							2
б)	y' =	x2 y2	;		в)	y' −	2 xy	= x2 .
							1 x2
		2 xy

Завдання 5. а) Знайти загальний розв'язок рівняння; б) знайти загальний розв'язок системи рівнянь:

{dx = −3 x−y ;

а) y' '−2 y' −8y = 16 x2 2 ; б) dt

dy = x−y. dt

227

Варіант №11 Завдання 1. Знайти невизначені інтеграли:

а)

в)

∫

sin 2 x dx

;

б)

3 x 10

2

9 cos

x

∫

dx ;

x2

10 x 16

∫

3 x3 x2 5 x 1

dx ;

г) ∫cos x cos11 x dx .

3

x

x

Завдання 2. Обчислити визначені інтеграли:

/2

2

x cos x

x 2

а)

∫

dx ;

б)

∫

dx ;

3

1 x 2

/6

sin x

−1

Завдання 3. Обчислити площу одного пелюстка 4­пелюсткової

рози:

r = 2sin 2 ϕ.

Завдання 4.

Знайти частковий розв'язок рівняння (а), та загальні

розв'язки

однорідного (б) і лінійного (в) рівнянь:

а)

x y' = −y ; y 1 = 1;

б)

y' =

y

ln

y

;

в)

y' −

y

= x3 .

x

x

x

Завдання 5. а) Знайти загальний розв'язок рівняння; б) знайти загальний розв'язок системи рівнянь:

{dx = x 5 y ; а) y' ' y = 2cos x ; б) dt

dy = 3 x− y. dt

228

Варіант №12

Завдання 1. Знайти невизначені інтеграли:

а)

∫

4 x

arcsin

9 x dx ;

б)

x dx

;

∫3−2 x−x2

1−x2

в)

∫

x2 x

dx ;

г)

∫sin2 x cos2 x dx .

2

9

x−1 x

Завдання 2. Обчислити визначені інтеграли:

e

7

dx

а)

∫ ln2x dx ;

б)

∫

.

3

1

x

0

1 x 1

Завдання 3. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

y = 3 x2 1; y = 3 x 7.

Завдання 4.

Знайти частковий розв'язок рівняння (а), та загальні

розв'язки

однорідного (б)

і лінійного (в) рівнянь:

а) 1 ex y ' = ex cos2 y ;

y 0 =

;

4

б)

y' = 4

y

y2

;

в)

y'

y

=

1

.

x

x2

x

x2

Завдання 5. а) Знайти загальний розв'язок рівняння; б) знайти

загальний розв'язок системи рівнянь:

{dt

dx = 2 x 2 y ;

а)

y' ' y =−2 x 2 ;

б)

dt

dy = x 3 y.

229

Варіант №13

Завдання 1. Знайти невизначені інтеграли:

а)

∫ 3ctg2 x 6sin x cos5 x dx ;

б)

∫

3−4 x

dx ;

x2−4 x 13

∫

3 x 6

3

в)

dx ;

г)

∫sin x dx .

2

x−1 x 4

Завдання 2. Обчислити визначені інтеграли:

1

2

x−

1−1

а)

∫ 2 x 3 ex dx ;

б) ∫

dx .

0

1

2 x−1

Завдання 3. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: y = 2 x−x2 ; y = 2 x ; x=0 ; x=2.

Завдання 4. Знайти частковий розв'язок рівняння (а), та загальні

розв'язки	однорідного (б)			і лінійного (в) рівнянь:
а)	y 1 x2 y ' = x 1 y2 ; y 0 = 0 ;
б)	y' =	x y	;	в)	y'	y	= ex .
						x
		x−y

Завдання 5. а) Знайти загальний розв'язок рівняння; б) знайти загальний розв'язок системи рівнянь:

{dx =2 x y ; а) y' ' −5 y' 6 y = 2sin x ; б) dt

dy =3 x 4 y. dt

230

Варіант №14 Завдання 1. Знайти невизначені інтеграли:

5

x 1

а) ∫ 3tg2 x x sin x cos2 x dx ;

б)

dx ;

∫

5−4 x−x2

в)

∫

x2 1

dx ;

г)

∫sin3 x cos3 x dx .

x x−1

2

Завдання 2. Обчислити визначені інтеграли:

/6

1

dx

а)

∫ x cos3 x dx ;

б)

∫

.

0

−3

4 x 3

Завдання 3.

Обчислити площу фігури, однією аркою циклоїди

x = 6 t−sin t ; y = 6 1−cost

і віссю Ох.

Завдання 4.

Знайти частковий розв'язок рівняння (а), та загальні

розв'язки

однорідного (б) і лінійного (в) рівнянь:

а)

y' = 2y−1 ctg x ; y /2 =4;

		x		2		x
б)	y' =		y			y	;	в) y' 2 y= 4 x.

Завдання 5. а) Знайти загальний розв'язок рівняння; б) знайти загальний розв'язок системи рівнянь:

			{	dx = 5 x 2 y ;
	а) y' '−7 y' 6 y = 2 ex ;	б)		dt
				dy = 2 x 2 y.
				dt

231

Варіант №15 Завдання 1. Знайти невизначені інтеграли:

2

x

cos x

б)

x dx

;

а)

∫ x 5

2 3sinx dx ;

∫

x2−x−1

в)

∫

x4

3 x3−9 x2 7 x 2

dx ;

г) ∫sin 9 x sin 5x dx .

3

2

−9 x 5

x

3 x

Завдання 2. Обчислити визначені інтеграли :

1

4

dx

а)

∫ x 3x dx ;

б)

∫

.

0

−1

x 5 2

Завдання 3. Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням навколо

осі Ох синусоїди

y=sin x

на відрізку

[0; ].

Завдання 4.

Знайти частковий розв'язок рівняння (а), та загальні

розв'язки

однорідного (б)

і лінійного (в) рівнянь:

а)

1 x2 y' = cos2 y ;

y 0 =

;

4

y

y

в)

y'

y

= cos x .

б)

y'

= e

x

;

x

x

Завдання 5. а) Знайти загальний розв'язок рівняння; б) знайти загальний розв'язок системи рівнянь:

{dx = x−y ; а) y' '−3 y ' = 3 x ; б) dt

dy = 4 x −3 y. dt

232

Варіант №16 Завдання 1. Знайти невизначені інтеграли:

∫

б)

;

а)

cos x

5

6

2−x dx

9

sin x x

1 x dx ;

∫

8−2 x−x2

в)

∫

x4

6 x3 13 x2 14 x 4

dx ;

г)

cos3 x dx ;

x3 4 x2 5 x 2

∫ sin4 x

Завдання 2. Обчислити визначені інтеграли:

1

1

dx

а)

∫arcsin x dx ;

б)

∫

.

0

0

x 1 x 1 3

Завдання 3. Обчислити об'єм тіла, утвореного обертанням навколо осі Ох фігури, обмеженої лініями: y=2 x−x2 ; y=0 .

Завдання 4. Знайти частковий розв'язок рівняння (а), та загальні розв'язки однорідного (б) і лінійного (в) рівнянь:

		а)		1 ex y ' = e2 x y;		y 0 =8;
	2		2		в)		−x 2
б)	y' =	x y		;		y' 2 xy = xe .
		2 x2

Завдання 5. а) Знайти загальний розв'язок рівняння; б) знайти загальний розв'язок системи рівнянь:

			{dt
			dx = 2 x 5 y ;
	а) y' ' −4 y ' 13 y = 26 ;	б)	dt
			dy = x− 2 y.

233

Варіант №17

Завдання 1. Знайти невизначені інтеграли:

а)

2 x arctg x dx ;

б)

4 x 5

dx ;

∫

∫ x

1 x2

2 2 x−8

∫

6 x2 26 x 26

∫

dx

в)

dx ;

г)

.

x3 6 x2 11 x 6

8−2sin x 5cos x

Завдання 2. Обчислити визначені інтеграли:

/2

1

dx

а)

∫ x sin x cos x dx ;

б)

∫

.

3

3

2

0

0

x x

Завдання 3. Обчислити площу фігури, обмеженої кардіоїдою: r=8(1−cos ϕ).

Завдання 4. Знайти частковий розв'язок рівняння (а), та загальні розв'язки однорідного (б) і лінійного (в) рівнянь:

								4
			а)			y' = 2 y 1 tg x ; y				= 1 ;
		y	2		y		в)	y' cos x y = 1−sin x .
б)	y' =			−3		;
		x2
					x

Завдання 5. а) Знайти загальний розв'язок рівняння; б) знайти загальний розв'язок системи рівнянь:

{dx = 4 x 5 y;

а) y' ' 9 y = 3cos x ; б) dt

dy =−3 x−4 y. dt

234

Варіант №18

Завдання 1. Знайти невизначені інтеграли:

а)

б)

5 x−1

dx ;

∫ 7

3 x

sin 2 x

dx ;

∫ 4 x2 4 x 2

cos2 x−sin2 x

в)

∫

7 x2 11 x 6

dx ;

г)

∫

dx

.

x

3

2

2 x

7cos

2

2

2 x

x 2sin x

Завдання 2. Обчислити визначені інтеграли:

1

1

x dx

а)

∫ x 5 e2 x dx ;

б)

∫

.

0

0

4−x2

Завдання 3.

Обчислити площу фігури, обмеженої лемніскатою:

r = 4 √

.

cos 2ϕ

Завдання 4.

Знайти частковий розв'язок рівняння (а), та загальні

розв'язки

однорідного (б)

і лінійного (в) рівнянь:

а)

y' x4 1 = 2 x3 y ;

y 1 = 4 ;

y

2 y

в)

б)

y'

=

cos

;

1 x2 y ' y = arctg x .

x

x

Завдання 5. а) Знайти загальний розв'язок рівняння; б) знайти загальний розв'язок системи рівнянь:

{dx = x−y ; а) y' ' −13 y' 12 y = 4 e2 x ; б) dt

dy = x 3 y. dt

235

Варіант №19

Завдання 1. Знайти невизначені інтеграли:

а)

∫

1 sin x tg3 x dx ;

б)

3 x 2

dx ;

cos2 x

∫ x2 2 x 5

в) ∫

2 x−1

∫

dx

dx ;

г)

.

2

sin

2

2

x−1 x

1

x cos x

Завдання 2. Обчислити визначені інтеграли:

1

9

2

x

а)

∫ x2 arcrg x dx ;

б) ∫

dx .

0

4

1− x

Завдання 3. Знайти довжину частини півкубічної параболи

y2 =x3 ,

що знаходиться між точками А(1; 1) і В(4;8).

Завдання 4.

Знайти частковий розв'язок рівняння (а), та загальні

розв'язки

однорідного (б) і лінійного (в) рівнянь:

а)

y' x ln x= y 9 ; y e =6 ;

б)

xy ' = 2 y−

;

в)

y' − y tg x = 5cos x .

xy

Завдання 5. а) Знайти загальний розв'язок рівняння; б) знайти загальний розв'язок системи рівнянь:

{dx = 5 x−2 y ; а) y' '−4 y' = 8x 2 ; б) dt

dy = 8 x−5 y. dt

236

Варіант №20

Завдання 1. Знайти невизначені інтеграли:

а)

б)

∫

2 x 5

dx ;

1

cos x

x

2

6 x 92

∫

dx ;

8 cos2 x

4−x2

в)

∫

x 5

dx ;

г)

∫

sin4 x

dx .

x 2

2

cos

2

x

x

1

Завдання 2. Обчислити визначені інтеграли:

0

x 1

4

x2

−4

а)

∫

dx ;

б) ∫

dx .

e

x

x

4

−1

2

Завдання 3.

Знайти довжину кардіоїди: r=6 1 cos .

Завдання 4.

Знайти частковий розв'язок рівняння (а), та загальні

розв'язки однорідного (б)

і лінійного (в) рівнянь:

а)

y' sin3 x−y cos x = 0 ;

y /2 = 1 ;

y

2

y

в)

y' cos2 x y = tg x.

б)

y'

=

sin

;

x

x

Завдання 5. а) Знайти загальний розв'язок рівняння; б) знайти загальний розв'язок системи рівнянь:

{dx = 4 x 3 y ; а) y' '− 7y ' 6 y = sin x ; б) dt

dy = 3 x−4 y. dt

237

Варіант №21

Завдання 1. Знайти невизначені інтеграли:

ln5 x cos ln x

x 1

а)

x

б)

dx ;

∫

x

dx ;

∫ 12 6 x−x2

в)

∫

3 x2 3 x 4

dx ;

г)

∫

dx

.

2

9

cos x sin

3

x−1 x

x

Завдання 2. Обчислити визначені інтеграли:

/2

1

dx

а)

∫ x2 3 x 1 cos x dx ;

б)

∫

.

3

0

0 3 x−1

Завдання 3.

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

x2

y =

;

y = 4−x.

2

Завдання 4.

Знайти частковий розв'язок рівняння (а), та загальні

розв'язки однорідного (б) і лінійного (в) рівнянь:

а)

1 x6 y' =−x5 y; y 0 =1;

y' = 9

y

y

2

;

в)

y' ycos x=e

−sin x

.

б)

x

x2

Завдання 5. а) Знайти загальний розв'язок рівняння; б) знайти

загальний розв'язок системи

рівнянь:

{dt

dx =

3 x y ;

а)

y' ' 4 y = 8 64e2 x ;

б)

dt

dy =−4 x−y.

238

Варіант №22 Завдання 1. Знайти невизначені інтеграли:

а)

∫

2arctg x x 5

dx ;

б)

1 x

2

∫

x 1

dx ;

x2−2 x 10

∫

2 x 7

dx ;

∫

dx

в)

г)

.

x x 1 x 3

8−4 sin x 7cos x

Завдання 2. Обчислити визначені інтеграли:

/2

16

dx

а)

∫ ex cos x dx ;

б) ∫

.

0

0

x 9− x

Завдання 3. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: 3 x2 = 25 y ; 5y2=9 x.

Завдання 4. Знайти частковий розв'язок рівняння (а), та загальні

	розв'язки однорідного (б)				і лінійного (в) рівнянь:
			а)	x y' y ln2 y = 0 ;		y 1 = e ;
	б)	y' =	y	;	в)	y'	2 y	= x3 .
			x y				x

Завдання 5. а) Знайти загальний розв'язок рівняння; б) знайти загальний розв'язок системи рівнянь:

{dx =4 x 2 y ; а) y' '−y ' = x2−4 x 2 . б) dt

dy =−x y. dt

239

Варіант №23 Завдання 1. Знайти невизначені

а)
∫ 2 x arcsin			12 x dx ;		∫
	1−x2
в)	∫	4 x2 x−8		dx ;
		x−2 x2 1

інтеграли: б)

x 2 dx ;x2 2 x 2

г) ∫sin4 x dx .

Завдання 2. Обчислити визначені інтеграли:

/2

16

x dx

а)

∫ 5 x2 3 x 1 sin x dx ;

б) ∫

.

x − 1

0

9

Завдання 3.

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

x2

x

y=

; y=

2.

9

3

Завдання 4.

Знайти частковий розв'язок рівняння (а), та загальні

розв'язки

однорідного (б) і лінійного (в) рівнянь:

а)

y' ctg x y = 2 ;

y / 4 = 1;

в)

−x 2

б)

y' =

y

cos

y

;

y' 2 x y= x e .

x

x

Завдання 5. а) Знайти загальний розв'язок рівняння; б) знайти загальний розв'язок системи рівнянь:

{dx = 5 x−y;

а) y' ' −4 y ' 20 y = 20 x 36 ; б) dt

dy = x 3 y. dt

240

Варіант №24

Завдання 1. Знайти невизначені інтеграли:

а)

б)

1

1

3x−5

dx ;

∫ 16−x2 − cos2 x

dx ;

1 tg x

∫ x2 3 x 8

в) ∫

5x2

11 x 2

dx ;

г)

∫

dx

.

2

cos

4

x x 1

x

Завдання 2. Обчислити визначені інтеграли:

2

8

x dx

а)

∫3 x2 ln x 2 dx ;

б) ∫

.

5

−1

3

1 x

Завдання 3. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: y = 2−x ; y2 = 4 x−4.

Завдання 4. Знайти частковий розв'язок рівняння (а), та загальні

розв'язки однорідного (б) і лінійного (в) рівнянь:
а)	1 cos x y' =ysin x ; y /2 =4 ;

б)

y' =

y

16

y2

;

в)

y'

y

= 2 ln x 1.

x

x

x

2

Завдання 5. а) Знайти загальний розв'язок рівняння; б) знайти загальний розв'язок системи рівнянь:

{dx = 7 x 3y ; а) y' '−4 y' 4 y = ex ; б) dt

dy = 6 x− 4 y. dt

241

Варіант №25

Завдання 1. Знайти невизначені інтеграли:

1−2 x

а)

∫

2

1 ctg x

dx ;

б)

∫

dx ;

2

2

9−x

2

4 x 17

sin

x

4 x

в)

∫

9 x2−21 x 152 dx ;

г)

∫tg3 x dx .

x 1 x−2

Завдання 2. Обчислити визначені інтеграли:

1

/2

x dx

а)

∫ x2 cos x dx ;

б)

∫

.

3

0

0 1 x

Завдання 3. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: x = y2−2 y ; x y = 0 .

Завдання 4. Знайти частковий розв'язок рівняння (а), та загальні розв'язки однорідного (б) і лінійного (в) рівнянь:

	а)	y'	=	y	; y 1 =		;
		arctg2 x		1 x2
						2
	б) xyy' = y2 2 x 2 ;				в) y' 2 y= e3 x .

Завдання 5. а) Знайти загальний розв'язок рівняння; б) знайти загальний розв'язок системи рівнянь:

{dx = 2 x−y ; а) y' '−3 y '−4 y = 17sin x ; б) dt

dy = 4 x 6 y. dt

242

Варіант №26

Завдання 1. Знайти невизначені інтеграли:

5x 8

2 x 6

а)

arctg x

dx ;

б)

dx ;

∫

∫ x2 10 x−11

1 x2

в) ∫

2 x2 3 x 3

dx ;

г)

∫

sin 2 x dx

.

x x 1 x−3

sin

4

x cos

4

x

Завдання 2. Обчислити визначені інтеграли :

3

/2

1

x

3 dx .

а)

∫ x3 sin x dx ;

б)

∫

0

0

x 4

Завдання 3. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

y= 6 ; y=7−x. x

Завдання 4. Знайти частковий розв'язок рівняння (а), та загальні

розв'язки однорідного (б)							і лінійного (в) рівнянь:
	а) 2 x2 x y' = y−2;								y 2 =4 ;
	y−xy ' =	x					;	в)	x2 1 y ' 4 xy=3.
б)		cos	y
			x

Завдання 5. а) Знайти загальний розв'язок рівняння; б) знайти загальний розв'язок системи рівнянь:

				{ dt
				dx = −x 8 y ;
	а)	y' ' −2 y' y =−12 cos2 x−9sin 2 x ;	б)	dt
				dy = x y.

243

Варіант №27

Завдання 1. Знайти невизначені інтеграли:

3

ln 4 x sin ln x

dx ;

5 x−1

а)

∫

x

б)

∫

dx ;

x

2

x

10 x−24

в)

∫

4 x2 17 x−5

dx ;

г)

∫

dx

.

2

sin

2

x 2sin x cos x

x −1 x 3

Завдання 2. Обчислити визначені інтеграли:

2

16

dx

а) ∫ 2 x 3 ln x dx ;

б)

∫

.

1

0 1 x 9

Завдання 3. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

x2

3 x

y=

;

y=

.

4

2

Завдання 4. Знайти частковий розв'язок рівняння (а), та загальні

розв'язки однорідного (б)		і лінійного (в) рівнянь:
	а) y' y2 1 y x2 x =0;		y 0 =1 ;
б)	xy ' = x 2 y ;	в)	y' −	2 y	= 2 x3 .
				x

Завдання 5. а) Знайти загальний розв'язок рівняння; б) знайти загальний розв'язок системи рівнянь:

{dx =6 x−y; а) y' ' 2 y' 2 y = 2 x2 8 x 6 ; б) dt

dy =3 x 2 y. dt

244

Варіант №28

Завдання 1. Знайти невизначені інтеграли:

а)

б)

∫

2 x−3

dx ;

1

sin 2 x

2

2 x

∫

dx ;

8−x

1 sin 2 x

x2 25

11 x2−33 x 10

dx

в) ∫ x x−1 x−5 dx ;

г)

∫

.

9cos x−5sin x 10

Завдання 2. Обчислити визначені інтеграли:

1

1

1−x2

∫

а) ∫ x2 12 x 5 ex dx ;

б)

x2

dx ;

0

2

2

Завдання 3. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

							y = 6−x2 ; y = 6−3 x.
Завдання 4.			Знайти частковий розв'язок рівняння (а), та загальні
розв'язки	однорідного (б) і лінійного (в) рівнянь:
			а)				y' −2 xy−x=0; y 1 =0 ;
							в) xy ' y xe−x 2=0.
		y			y
б)			2				−1 y' =0 ;
		x			x

Завдання 5. а) Знайти загальний розв'язок рівняння; б) знайти загальний розв'язок системи рівнянь:

{dx =5 x 4 y ; а) y' '−4 y' 20 y=16 x e2 x ; б) dt

dy =4 x 5 y. dt

245

Варіант №29 Завдання 1. Знайти невизначені інтеграли:

5

2 x−9

а)

∫ 3sin x cos x x dx ;

б)

∫

dx ;

15−x2−2 x

в)

9 x 1

dx ;

г)

sin 6 x sin 16 x dx .

∫ x−1 x2 9

∫

Завдання 2. Обчислити визначені інтеграли:

4

1

x 6

x

x dx

а)

∫arctg

dx ;

б) ∫

.

4

3

0

0

1 x

Завдання 3. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями: y = x2−3 x ; y = 4−3 x.

Завдання 4. Знайти частковий розв'язок рівняння (а), та загальні розв'язки однорідного (б) і лінійного (в) рівнянь:

а) y 1−x2 y ' 1−y2=0 ; y 0 =0 ;

	б)		y	в)	y' ycos x=e−sin x .
		x y'=y−x ex
				;

Завдання 5. а) Знайти загальний розв'язок рівняння; б) знайти загальний розв'язок системи рівнянь:

{dx =4 x −y ; а) y' '−y = 14−16 x e−x ; б) dt

dy =−x 4 y. dt

246

Варіант №30 Завдання 1. Знайти невизначені інтеграли:

а)

∫

2

sin x

dx ;

б)

4 x−9

5

2

x 4

15 sin

x

∫

dx ;

29 x2 4 x

в)

∫

3 x2 11 x 15

dx ;

г) ∫sin2 x cos4 x dx ;

2

1

x 2 x

Завдання 2. Обчислити визначені інтеграли:

1

2

3

а)

б) ∫x2 x 1

dx .

∫ 5 x2 1 sin x dx ;

0

0

Завдання 3.

Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

x =

y2 4

; x =

y2 64

.

4

16

Завдання 4. Знайти частковий розв'язок рівняння (а), та загальні розв'язки однорідного (б) і лінійного (в) рівнянь:

			а)				y' =	y 1	;	y 0 =4 ;
								x 5
		y			y2
б)	y' = 2		−				;			в) xy ' y= ln x 1.
		x			x	2

Завдання 5. а) Знайти загальний розв'язок рівняння; б) знайти загальний розв'язок системи рівнянь:

	dx	=6 x 3 y ;
	dt
а)	y' '−9 y' 18 y = 26cos x−8sin x ; б) {dydt =−8 x−5 y.

247

6. Самостійна робота студента

Самостійна робота студента включає в себе опрацювання теоретичного матеріалу курсу “Вища математика”, що розглядається у ІІ семестрі, по підручникам, конспектам і навчальним посібникам, підготовку до практичних занять, виконання домашніх вправ та індивідуальної роботи (ТР), опрацювання окремих розділів робочої програми з навчальної дисципліни, які не виносяться на лекції, підготовку до написання контрольних модульних робіт, до складання заліку, іспиту з обов'язковим розв'язуванням тестових завдань.

Нормативи обліку самостійної роботи студента у системі КМСОНР­ECTS

№	Види навчальної діяльності	Навантаження, год.
п/п
1	Опрацювання лекційного	0,5 год. /1 год. лекції
	матеріалу
2	Підготовка до практичних	0,5 год. /1 год. пр.
	занять	занять
3	Виконання ТР	0,5 год. на1 ст.на
		семестр
		в якому виконується ТР
4	Опрацювання окремих	До 3 год./1 год.
	розділів робочої програми з	можливої типової лекції
	навчальної дисципліни, які не
	виносяться на лекції
5	Підготовка до написання	6 год. / 1 кредит ECTS
	контрольних модульних робіт,
	до складання заліку, іспиту

248

7. Форми підсумкового контролю

Формами підсумкового контролю за ІІ семестр є іспит для студентів стаціонарної і заочної форми навчання.

Студент отримає позитивну оцінку на іспиті, якщо за всіма формами навчальної діяльності він одержить на протязі семестру не менше 60 балів.

Переведення даних 100­бальної шкали оцінювання у 5­бальну шкалу за системою ECTS проводиться згідно таблиці:

	Сума	Оцінка	Оцінка за національною шкалою
	балів за всі	в
			Іспит	Залік
	форми	ECTS
	навчальної
	діяльності
	90­100	A	Відмінно (“5”)
	82­89	B	Дуже добре (“4”)
	74­81	C	Добре (“4”)	Зараховано
	64­73	D	Задовільно(“3”)
	60­63	E	Достатньо (“3”)
	35­59	FX	Незадовільно (“2”)	Не
				зараховано
			З можливістю повторного складання
	1­34	F	Незадовільно (“2”)	Не
				зараховано
			З обов'язковим повторним вивченням
			дисципліни

249