8. Питання для підготовки до іспиту за ІІ семестр

Питання для підготовки до іспиту за ІІ семестр складаються з теоретичних питань до змістових модулів №1, №2, №3, наведених вище.

9. Зразок білету для підсумкового модуля

Екзаменаційний білет складається з чотирьох питань: двох теоретичних і двох прикладів або задач. Кожне питання оцінюється в 10 балів. Теоретичні питання ті самі, що й теоретичні питання для підготовки до змістових модулів. Перше питання відноситься до питань змістових модулів №1, або №2, тобто до розділів “Невизначений інтеграл” і “Визначений інтеграл”, а друге з питань змістового модуля №3, тобто з розділу “Звичайні диференціальні рівняння”. Всього на іспиті можна одержати 40 балів максимально. Студенти денної форми навчання можуть здавати іспит при умові, що здано всі змістові модулі і загальна сума основних балів не менше 36. Наведемо приклад екзаменаційного білету, кожне завдання якого оцінюється в 10 балів.

Екзаменаційний білет № 31 (зразок)

1.Обчислення площі поверхні тіла обертання.

2.Принцип суперпозиції часткових розв’язків для лінійного неоднорідного диференціального рівняння ІІ порядку.

3.Знайти ∫ x+ arcsin3 x dx .

√1−x 2

4.Знайти загальний розв'язок рівняння:

y' ' −4 y ' 3 y=e5 x .

250

10. Тренінгові та тестові завдання для підготовки до іспиту

Невизначений інтеграл

Безпосереднє інтегрування.

	1.	∫ x							dx.				Відп.				x2		2 x	x	C.
						x
																	2
																			3
	2.	∫	2x		1								1			dx.
					4									2
					x							4 x
			2x					4		4				1
											3
	Відп.									x				2 arctg x/ 2 C.
			ln2					3

Інтегрування підведенням під знак диференціала або підстанов­

кою.

3.

∫cos 7 x dx.

Відп.

1 sin 7 x C.

7

4.

∫

ln2 x

dx.

Відп.

1 ln3 x C.

x

3

5.

dx

.

Відп.

−ctg 5 x

C.

∫sin2 5 x

5

6.

∫

dx

.

Відп.

19 ln 9 x−5 C.

9 x−5

7.

∫cos5 x sin x dx.

Відп.

−

1 cos6 x C.

6

arcsin x

1

2

8.

∫

dx.

Відп.

2 arcsin

x C.

1−x2

251

9.			dx			.	Відп.	ln arctg x C.
	∫ 1 x2 arctg x
10. ∫			x dx		. Відп.		1 ln 1 x2 C.
			2
			1 x				2

Інтегрування частинами.

11.	∫arctg x dx.	Відп.
12.	∫ x sin x dx.	Відп.
13.	∫ x ex dx .	Відп.

14.∫ex sin x dx. Відп.

15.∫sin ln x dx. Відп.

x arctg x− 12 ln 1 x2 C.

−x cos x sin x C.

xex – ex C.

sinx – cos x ex C.

2

x sin lnx −cos ln x C. 2

Найпростіші інтеграли, що містять квадратний тричлен.

∫

dx

,

1

x 1

16.

Відп.

2 arctg

C.

x2 2 x 5

2

17.

3 x−1

dx ,

Відп.

∫ x2−x 1

3

2

1

2 x−1

2 ln

x

−x 1

arctg

C.

3

3

dx

.

1

8 x 3

18.

∫ 2−3 x−4 x2

Відп.

2 arcsin 41

C.

∫x 3

19.4 x2 4 x 3 dx ,

Відп. 14 4 x2 4 x 3 54 ln 2 x 1 4 x2 4 x 3 C.

252

253

2 tg x

1 ln 2 C.

4 2−tg 2x

tg2 x

2 ln cos x C.

1 − 1 sin x 3sin3 x

x2 14 sin 2 x C.

13 cos3 x−cos x C.

Інтегрування раціональних дробів.

x3 x 1

x

20.

∫ x x2 1 dx.

Відп.

x ln

C.

x2 1

21.

∫

dx

.

x−1 x 2 x 3

Відп.

1

ln x−1

1 ln x 3 –

1

x 2 C.

12

3

4

Інтегрування тригонометричних функцій.

22.	∫cos2 x dx.					Відп.
23.	∫sin3 x dx.					Відп.
24.			cos3 x dx.			Відп.
	∫ sin4 x
25.	∫tg3 x dx.					Відп.
26.		∫cos 4 x cos 9 x dx.						Відп.
	∫		sin x					1
27.				dx. Відп.
			1 sin x						cos x
	∫		dx
28.					.	Відп.
		3 5cos x

C.

sin 13 x sin 5 x C. 26 10

−tg x x C.

Інтегрування ірраціональних функцій.

29. ∫			dx
						. Відп.	2 arctg x 8 C.
	x 8 x 8				3

x−1

x2−1

1 ln x

30. ∫ x

dx.

Відп.

x−2

x2

−1 C.

x 1

2

2

Визначений інтеграл

		1	dx
	1.	∫		.
			2
		0	1 x
		1
	2.	∫x arctg x dx.
		0
		1
	3.	∫arcsin x dx.
		0
		e
	4.	∫ln x dx.

1

/2

5.∫ x cos x dx .

	0
	4	dx
	6. ∫0
					.
		1
			x

Відп. 4.

Відп. 4 −2.1

Відп. 2 −1.

Відп. 1.

Відп. 2 −1.

Відп. 4−2 ln3.

7.

8.

9.

[0;

∞	dx
∫				.
		2
1	1 x
1/2	dx
∫					.
	x ln	2
0			x
Знайти середнє
] .	Відп.					3 .
						8

Відп. 4 .

Відп. ln21 .

значення функції f x =sin4 x на проміжку

254

10.	Знайти площу фігури, обмеженої лініями:						y=2 x – x2 ;
y=−x.			Відп. 4,5 кв. од.
11.	Знайти площу фігури, обмеженої лініями:						y=x2 2 x ;
y=4−x.			Відп.		20 5	кв. од.
					6
12.	Знайти площу фігури, обмеженої лемніскатою:
r=10 √				.	Відп.	100 кв. од.
		cos2ϕ
13.	Знайти площу одного пелюстка рози: r=12sin 3 ϕ .
Відп.			12 кв. од.

14.Знайти площу фігури, обмеженої кардіоїдою: r=10(1+cosϕ). Відп. 150 кв. од.

15.Знайти площу фігури, обмеженої віссю Ox і однією аркою

циклоїди :

x=10 t−sin t ;

y=10 1−cos t ;

0≤t≤2 .

Відп.

300 кв. од.

16.

Знайти площу фігури, обмеженої астроїдою:

x =8 cos3 t ;

y=8sin3 t ;

0≤t ≤2 .

Відп.

24

кв. од.

17.

Знайти довжину астроїди:

x=8 cos3 t ;

y=8sin3 t ;

0≤t ≤2 .

Відп.

48.

18.

Знайти довжину напівкубічної параболи:

y2=x3 , що

8

знаходиться між точками A(0;0), B(4;8).

Відп.

10

10−1 .

27

19.

Знайти довжину кардіоїди:

r=10(1+cosϕ).

Відп.

80.

20.

Знайти об'єм тіла. утвореного обертанням навколо осі Ox

синусоїди

у=sin x на відрізку

[0; ] . Відп .

2 .

2

21.

Знайти площу поверхні параболоїда. утвореного обертанням

навколо осі Ox дуги параболи

y2=4 x

на відрізку

[0; 3] .

Відп.

56

.

3

255

22.Знайти роботу, яку потрібно виконати, щоб розтягти пружину на 4 см, якщо відомо, що від сили 1 н вона розтягується на 1 см.

Відп. 0,08 Дж.

23.Знайти силу тиску рідини на вертикальну стінку у формі півкруга, діаметр якого 6 м і знаходиться на поверхні води. Відп.

18 g .

Диференціальні рівняння

Розв'язати диференціальні рівняння.

1.	y' = y 1 ctg x ;				y / 2 =4.	Відп.	y=5sin x−1.
2.	1 ex y '=e x y;				y 0 =4.	Відп.	y=2 1 ex .
3.	y' = y	tg	y	.	Відп. y=x arcsin Cx .
	x		x

4.y' – yx =x. Відп. y=x2 Cx.

5.	3 y' y=	1	.	Відп.		3
					y=		1 Ce−x .
		y2
6.	y' ' =cos2 x.			Відп.	y=		1 x2	−	1 cos2 x C		1 x C	2 .
							4		8

7.	y' '	1	y '=x.	Відп.	y= x 3 C1 ln x C		2 .
		x				9
8.	y y ' '− y' 2=0.				Відп.	y=C2 eC 1 x .
9.	y' ' – 8 y' 15 y=0.				Відп.	y=C1 e3 x C2 e5 x .

10.y' ' – 12 y ' 36 y=0. Відп. y=C1 e6 x C2 x e6 x .

11.y' ' – 4 y' 13 y=0. Відп.

y=C1 e2 x cos3 x C2 e2 x sin 3 x .

12. y' ' 16 y=0.

Відп. y=C1 cos 4 x C2 sin 4 x .

256

13.	y' ' '−13 y ' ' 12 y '=0.		Відп. y=C1 C2 ex C3 e12 x .
14.	y' ' '−y ' ' −y' y=0.	Відп. y=C1 e−x C2 ex C3 x ex .
15.	y' ' −5 y' 4 y=0. y 0 =5 ; y ' 0 =8. Відп. y=e−x .
16.	y' ' −7 y' 12 y=11.		Відп. y=C1 e3x C2 e4 x 11/12.
17.	y' ' 4 y=8. Відп.	y=C1 cos2 x C2 sin 2 x 2 .

18.y' ' −4 y ' 3 y=8e5 x . y 0 =3 ; y ' 0 =7.

Відп. y=2 ex e5 x .

5

19. y' ' y=5sin 2 x. Відп. y=C1 cos x C2 sin x− 3 sin 2 x . 20. Розв'язати систему:

dx =3 x 8y ;

t

C

2 e

−t

;

dt

x=C1 e

{dtdy =−x−3 y.

Відп.

{y=−4 C1 et−2C2 e−t.

Тести для підготовки до іспиту

1. Знайти інтеграл

∫e−x2 dx.

Відп. a) e−x2 C ;

б)

xe−x 2 x C ;

в) не може бути вираже­

ний через елементарні функції.

2. Чи можливо знайти інтеграл

∫

sin x

1

x

3 dx ? Відповідь обгрунтуйте.

−x

Відп. a) так ;

б)

ні.

257

3. Чи можна знаходити інтеграли, які беруться підведенням під знак диференціала, методом підстановки? Наведіть приклад.

Відп. a) так ;			б) ні.
4. Як вибирається стала в формулі інтегрування частинами
∫		∫		при	знаходженні	функції			v по	її дифе­
	udv=uv−		v du
ренціалу		dv?
Відп. a) значенню v (0) ;					б) довільно.
5. При інтегруванні частинами по формулі							∫			∫
								udv=uv− vdu
інтеграла		виду	∫ x3 4x 5 sin x dx ,			скільки			разів	потрібно
застосовувати цю формулу?
Відп. a) 1 ; б)			2; в) 3.

6.	Що кожний раз потрібно приймати за u в передньому прикладі?
Відп. a) многочлен ;				б)	тригонометричну функцію; в) байдуже
яку.
7.	Чи правильно розкладено раціональний дріб на найпростіші:
	x5 3 x2 1		=	A			B		Cx D		?
	2								2	4
	x−1 x−5 x 4			x−1 x−5 x
Відп. a) так ; б)		ні.

8.Яка підстановка при знаходженні інтегралів виду

∫R sin x ,cos x dx називається універсальною?

			2
Відп. a)	sin x=t ; б)	cos x=t ; b) tg		x		=t .

258

2

9. Знайдіть величину інтеграла

I=∫

4−x2 dx , використавши

0

його геометричний зміст.

Відп. a)

;

б)

2 ;

в)

/2 .

3

10.

Оцінити інтеграл

I=∫

16 x 2

dx.

0

Відп. a)

12≤I≤15 ;

б)

0≤I≤3 ; в)

4≤I ≤5.

1

11. Встановити, який з двох інтегралів

I1=∫ x2 dx чи

0

1

I2=∫

x

dx

більший.

0

Відп. a)

I1 I 2 ;

б)

I1=I2 ;

в)

I1 I 2 .

5

12. Обчислити інтеграл

∫arctg x dx.

−5

Відп. a) 1 ; б) 0; в) 25.

13. Знайти помилку, допущену при обчисленні інтеграла:

2

dx

1

∫

=−

02=− 1− −1 =−2.

2

x−1

0

x−1

(інтеграл від додатної функції виявився від'ємним!).

14. Скільки пелюсток має крива

r=2sin 5ϕ

?

Відп. a) 10 ;

б)

2;

в) 5.

259

14a. Скільки пелюсток має крива					r=2sin 4ϕ	?
Відп. a) 2 ; б) 4; в) 8.
15. Дано рівняння кривих:
x=2cos3 t ; y=2sin3 t ;				0≤t≤2 . (1)		y2=x3 . (2)
r=2 (1+cosϕ);			0≤ϕ≤2	π . (3)		r=2ϕ . (4)
x=2 t−sin t ;			y=2 1−cost .		(5)
r=2 √		;	0≤ϕ≤2 π . (6)
	cos 2 ϕ
r=2sin (3 ϕ);			0≤ϕ≤2 π . (7)

Вкажіть рівняння рози. Скільки вона має пелюсток ? Намалюйте її. Запишіть формулу для знаходження площі одного пелюстка.

Вкажіть рівняння півкубічної параболи. Намалюйте її. Запишіть формулу для знаходження її довжини від точки А(0;0) до точки

В(1;1).

Вкажіть рівняння астроїди. Намалюйте її. Запишіть формули для обчислення довжини астроїди і площі фігури, обмеженої астроїдою.

Вкажіть рівняння кардіоїди. Намалюйте її. Запишіть формули для обчислення довжини кардіоїди і площі фігури, обмеженої кардіоїдою.

Вкажіть рівняння спіралі Архімеда. Намалюйте її. Запишіть формулу для обчислення довжини першого витка цієї спіралі.

Вкажіть рівняння циклоїди. Намалюйте її. Запишіть формулу для обчислення площі фігури, обмеженої віссю Ох і однією аркою циклоїди. Запишіть формулу для обчислення площі поверхні,

260

утвореної обертанням навколо осі Ох однієї арки циклоїди.

Вкажіть рівняння лемніскати. Намалюйте її. Запишіть формулу для обчислення площі фігури, обмеженої лемніскатою.

16. Який порядок має диференціальне рівняння y '' y' 3=x ?

Відп. a) перший ; б) другий; в) третій.
17.	Загальний розв'язок рівняння	y' = y 1 ctg x такий

y=C sin x−1 . Перевірити, чи є розв'язок y = ­1 особливим. Відп. a) так ; б) ні.

18. В якому випадку рівняння y' = f (x;y) буде рівнянням з відокремлюваними змінними?

Відп. a)		f x ; y 0 ; б)	f x ; y = f 1 x f 2 y .
19. В якому випадку рівняння y' = f(x;y) буде однорідним?
Відп. a)	;	f x ; y = f 1 x f 2 y . б)		f tx ; ty = f x ; y .

20. З допомогою якої підстановки розв'язується лінійне рівняння

y' p x y=q x ?

Відп. a) y=u x; ; б) y=u v.

261

11.Методичне забезпечення

1)085­110 Конспект лекцій з вищої математики для студентів­заочників І курсу спеціальностей 7.092101, 7.092102, 7.092103, 7.092104, 7.092 602.Брушковський О.Л.,

Гіроль А.П та інші. Рівне, УДАВГ, 1998.

12.Рекомендована література

12.1Основна література

1.Шкіль М.І., Колесник Т.В., Котлова В.М. Вища математика. Аналітична геометрія з елементами алгебри. Вступ до математичного аналізу. Кн.1. –К.:Либідь, 1994.

2.Давидов М.О. Курс математичного аналізу. –К.: Вища школа, 1978. Ч.1,2.

3.Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. –М.: Высшая школа, 1981. Т.1,2.

4.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление. –М.:Наука., 1985. Т.1.2.

5.Задачи и упражнения по математическому анализу /Под редакцией Демидовича Б.П./ .­М.:Наука, 1978.

6.Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа. –М.: Наука, 1977.

7.Марон И.А. Диференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах (функции одной переменной). –М.: Наука, 1973.

12.2.Додаткова література

1. Кудрявцев Б.А.Ю Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. –М.: Наука, 1978.

262

2.Бермант А.Р., Араманович И.Г. Краткий курс математического анализа для втузов. –М.: наука, 1966.

3.Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. ­–М.: Высшая школа, 1980. Ч.1,2

13.Інформаційні ресурси

1.Освітньо­професійна програма вищої освіти за напрямом

6.060101 «Будівництво», Київ, 2004 р.

2.Бібліотеки:

*НУВГП­33000 м.Рівне, вул. Приходька, 75.

*Обласна наукова – 33000, м.Рівне, майдан Короленка, 6.

*Міська бібліотека 33000, м.Рівне, вул Гагаріна,67, тел. 24­12­

47

263

ЗМІСТ

1.

Зміст навчальної дисципліни............................................

1

1.1Структура програми курсу “Вища математика”, ІІ се­

	местр. Опис предмета навчальної дисципліни ................	3
1.2	Робоча програма. Лекції..................................................	5
	Практичні заняття............................................................	8
1.3	Структура залікового кредиту.........................................	10
1.4	Розподіл балів, що присвоюються студентам................	11
2.	Змістовий модуль №1 “Невизначений інтеграл” .........	12

2.1Методичні поради до вивчення змістового модуля №1

	“ Невизначений інтеграл”................................................	12
2.2	Конспект лекцій по розділу “Невизначений інтеграл”..	16

2.3Зразок типової контрольної роботи для змістового

модуля № 1 ......................................................................

85

2.4Тренінговий варіант контрольної роботи для змістового

	модуля № 1..........................................................................	85
2.5	Індивідуальна робота (ТР) по матеріалу змістового
	модуля № 1 “Невизначений інтеграл”. Зразок виконання
	індивідуальної роботи (ТР) ...............................................	87
2.6	Завдання для індивідуальної роботи (ТР)	(30 варіан­
	тів) ......................................................................................	103

2.7Практичні заняття по розділу «Невизначений інтег­

	рал».....................................................................................	163
3.	Змістовий модуль №2 “Визначений інтеграл”...............	176

3.1Методичні поради до вивчення змістового модуля №2

“Визначений інтеграл”.......................................................

176

3.2Зразок типової контрольної роботи для змістового

модуля № 2 з розв'язанням.............................................

179

264

3.3Тренінговий варіант контрольної роботи для змістового

модуля № 2.........................................................................

183

4.Змістовий модуль №3 “Звичайні диференціальні

рівняння”..............................................................................

184

4.1Методичні поради до вивчення змістового модуля №3

“Звичайні диференціальні рівняння”. ..............................

184

4.2Зразок типової контрольної роботи для змістового

модуля № 3 з розв'язанням................................................

214

4.3Тренінговий варіант контрольної роботи для змістового

	модуля № 3..........................................................................	215
5.	Методичні поради до виконання контрольної роботи
	студентами заочної форми навчання. Зразок типової
	контрольної роботи.............................................................	26

5.1Завдання до контрольної роботи №2 для студентів

	заочної форми навчання (30 варіантів).............................	218
6.	Самостійна робота студента............................................	248
7.	Форми підсумкового контролю ......................................	249
8.	Питання для підготовки до іспиту за ІІ семестр ...........	250
9.	Зразок білету для підсумкового модуля........................	250

10.Тренінгові та тестові завдання для підготовки до

	іспиту...................................................................................	251
11.	Методичне забезпечення..................................................	262
12.	Рекомендована література ..............................................	262
13.	Інформаційні ресурси.......................................................	263

265