5. Содержание дисциплины

Тема 1. Математика в современном мире. Математическое моделирование, примеры построения математических моделей.

Математика: предмет, методы исследования, источник развития. Методы прикладной математики, области ее применения. Роль математики в гуманитарных исследованиях.

Математическая модель: основные свойства, этапы построения. Примеры построения математических моделей.

Тема 2. Функции одной переменной: понятие, графики основных элементарных функций. Предел и непрерывность.

Понятие функции, область определения, множество значений, график, способы задания, сложные функции, свойства функций(четность-нечетность, периодичность, ограниченность-неограниченность, монотонность).

Графики основных элементарных функций.

Применение функций в экономике.

Числовая последовательность: понятие, предел.

Предел функции в точке и на бесконечности.

Два замечательных предела.

Задача о непрерывном начислении процентов.

Непрерывность функции в точке и на множестве.

Тема 3. Производная и дифференциал. Основные теоремы о дифференцируемых функциях.

Определение производной, ее физический, геометрический и экономический смысл.

Дифференцируемость функции. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции.

Производные основных элементарных функций. Основные правила дифференцирования. Производные сложной и обратной функций. Производные высших порядков.

Дифференциал функции. Приближенные вычисления с помощью дифференциала.

Использование понятия производной в экономике. Эластичность функции.

Основные теоремы о дифференцируемых функциях.

Правило Лопиталя. Формула Тейлора.

Монотонность и экстремум функции. Точки перегиба графика функции. Интервалы выпуклости вверх (вниз). Асимптоты графика функции.

Приложение производной в экономической теории. Задачи на экстремум в экономике.

Тема 4. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Определенный интеграл. Несобственные интегралы. Экономические приложения.

Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла. Таблицы основных интегралов.

Основные методы интегрирования.

Понятие определенного интеграла, его геометрический и экономический смысл.

Свойства определенного интеграла.

Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона — Лейбница.

Вычисление площади криволинейной трапеции в декартовой системе координат. Несобственные интегралы.

Некоторые приложения определенного интеграла в экономике.

Тема 5. Функции нескольких переменных: понятие, непрерывность, производные, дифференциалы. Безусловный и условный экстремумы и их использование при решении практических задач.

Функции нескольких переменных: область определения, предел, непрерывность.

Частные производные, дифференцируемость функции двух переменных. Дифференциал.

Определение, необходимые, достаточные условия локального экстремума функции нескольких переменных. Условный экстремум.

Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных в замкнутой области.

Метод наименьших квадратов.

Функции спроса, полезности. Кривые безразличия.

Тема 6. Системы линейных алгебраических уравнений: определение, совместность. Определители, матрицы. Ранг матрицы.

Определители: понятия, свойства, способы вычислений.

Матрицы и действия над ними. Ранг матрицы. Теорема Кронекера-Капелли.

Обратная матрица.

Системы линейных алгебраических уравнений: общий вид, совместность. Однородные системы линейных уравнений. Метод Крамера, метод Гаусса, матричный метод.

Использование алгебры матриц в экономике. Модель Леонтьева.

Тема 7. Векторы: понятие, линейная зависимость. Основные операции над векторами.

Векторы на плоскости и в пространстве, п-мерный вектор и векторное пространство. Переход к новому базису.

Скалярное произведение: определение и свойства.

Линейная модель обмена (модель международной торговли).

Тема 8. Элементы аналитической геометрии.

Прямая на плоскости. Различные виды уравнений прямой. Угол между прямыми.

Плоскость в трехмерном пространстве: уравнение, угол между плоскостями. Прямая в трехмерном пространстве. Различные виды ее задания. Взаимное расположение прямой и плоскости.

Тема 9. Элементы комбинаторики.

Правила суммы и произведения при решении комбинаторных задач. Перестановки, размещения, сочетания.

Тема 10. Элементы теории вероятностей. Основные понятия.

Предмет теории вероятностей. Основные понятия.

Классическое определение вероятности.

Статистическое, геометрическое определения вероятности.

Сумма и произведение событий. Совместные и несовместные события.

Тема 11. Основные теоремы теории вероятностей.

Теорема сложения вероятностей.

Зависимые и независимые события. Условная вероятность.

Теорема умножения вероятностей.

Формула Бернулли.

Тема 12. Случайные величины: понятия и способы задания. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел.

Случайные величины: определение и типы.

Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины.

Биномиальное распределение.

Математическое ожидание дискретной случайной величины. Среднее квадратическое отклонение.

Функция распределения случайной величины.

Непрерывные случайные величины.

Плотность вероятности.

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины.

Нормальное распределение.

Закон больших чисел и предельные теоремы (неравенство Маркова, неравенство Чебышева, теоремы Чебышева)