Modul-5_ppi

малые углы поворота сечений	dv	dv			2
		, квадратом угла поворота			, по
	dx	dx

сравнению с единицей, можно пренебречь. Тогда уравнение (16) примет вид

	EIz	d 2v	M x	(17)
		dx2

Это уравнение и является искомым дифференциальным уравнением упругой линии балки при рассматриваемых малых ее перемещениях. В отличие от уравнения (16), оно является линейным, допускает разделение переменных и легко интегрируется (решается).

На основе дифференциального уравнения упругой линии балки можно определять основные характеристики деформаций: прогиб и угол поворота произвольного сечения балки. При этом используются два метода:

1)метод непосредственного интегрирования уравнения (17);

2)метод начальных параметров.

Методы определения деформаций на основе дифференциального уравнения упругой линии балки

I. Метод непосредственного интегрирования дифференциального уравнения упругой линии балки

Дифференциальное уравнение упругой линии балки на определенном i ее участке (i – номер участка) имеет вид

	d 2v(x )		M x
	i		i			.	(18)
	dx2		EIz

Здесь: v(хi) и M xi – прогиб балки и выражение для изгибающего момента в

произвольном сечении i-того участка балки.

Для определения прогиба и угла поворота произвольного сечения балки методом непосредственного интегрирования уравнения (17) необходимо на каждом участке балки записать аналитическое выражение для изгибающего момента в форме Mi M xi , затем, подставляя полученные выражения в (17)

и разделяя переменные, дважды интегрировать каждое уравнение. При этом необходимо использовать только принятую ранее систему координат (горизонтальная ось х – вправо, вертикальная у – вниз).

Для балки постоянной изгибной жесткости ( EIz const ) для каждого

участка получим:

- в результате первого интегрирования

31

d 2v(x )

dx

1

M (x )dx a ,

dv(x )

1

M (x )dx a ;

i

откуда

i

dx2

EIz

i

i

dx

i

EIz

i

i

- в результате второго интегрирования

dv(xi )

dx

1

M x dx a dx c ,

EI

dx

i

i

i

z

откуда будем иметь v(xi ) EI1 z M xi dx dx ai x ci .

В полученных соотношениях ai и ci - постоянные интегрирования, которые

определяются из условий на границах участка. Очевидно, что для определения значений ai и ci необходимо сформулировать на каждом участке по два

условия.

Условия на границах участков

I. Балки с одним участком

а) консоль (правая)

условия на границе (условия закрепления)

vx 0 0x 0 0

б) консоль (левая)

условия на границе (условия закрепления)

vx l 0x l 0

в) простая балка

условия на границах (условия закрепления)

vx 0 0 vx l 0

32

II. Балка с несколькими участками

условия на границах:

v	x1		0	0
					– условия закрепления
v	x3	l		0
vx1			a		vx2		a
			a			x2	a
x1								– условия сопряжения
			b vx3
vx1							b
			b			x3	b
x1

Заметим, что, с точки зрения математики, метод непосредственного интегрирования сводится к решению системы 2п линейных алгебраических уравнений с 2п неизвестными, где п – число участков балки. Это приводит к тому, что при ручном счете расчет балки даже с незначительным числом участков (п=23) представляет достаточно трудоемкую задачу.

Указанного недостатка лишен метод начальных параметров, который также базируется на уравнении упругой линии балки.

II. Метод начальных параметров

Метод начальных параметров предполагает определение только двух постоянных (при решении задач этим методом необходимо решать систему максимум двух уравнений с двумя неизвестными).

Метод базируется на следующих положениях:

1.Начало координат размещается на левом краю балки и выражения для изгибающих моментов при выводе формул метода записывается только по левым силам.

2.Если распределенная нагрузка заканчивается не на правом краю балки, то она продлевается до этого края, а для того, чтобы условия нагружения не изменялись, вводится компенсирующая нагрузка той же интенсивности противоположного направления.

Рассмотрим консольную балку при ППИ, на которую действуют все наиболее распространенные типы нагрузки: сосредоточенная сила F,

33

сосредоточенный момент M и равномерно распределенная нагрузка с интенсивностью q. Полагаем, что изгибная жесткость балки по длине не изменяется (EIz=const). Согласно принятым положениям, введем систему координат с началом на левом краю балки. Поскольку распределенная нагрузка заканчивается не на правом краю, продлеваем ее до края и вводим компенсирующую нагрузку (изображена штриховыми линиями).

Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки в произвольном ее сечении х (при d x l) имеет вид

EIz d 2v M x . dx2

Запишем в этом сечении изгибающий момент (по левым силам)

M x M F x b q	x c 2	q	x d 2
	2		2

и подставим его в уравнение изогнутой оси балки

EI		d 2v	M F x b q	x c 2	q	x d 2 .
	z	dx2
				2		2

Умножим полученное дифференциальное уравнение на dx и проинтегрируем его в пределах от 0 до х. В результате интегрирования получим:

1. Интеграл от левой части уравнения

x

d 2v

dv

x

dv

EIz

dx EIz

EIz

dx

2

0

dx

dx

0

x x

dv
			.
dx x 0

dv					x x
Здесь:						- угол поворота сечения на расстоянии х от начала
dx x x
координат, т.е. угол поворота рассматриваемого произвольного сечения;
dv					x 0 0
						- угол поворота сечения в начале координат, т.е. угол
dx x 0

поворота крайнего левого сечения балки.

2. Интеграл от правой части уравнения

x

M x dx .

0

Этот интеграл представляет собой площадь эпюры изгибающего момента, при определении которой используем принцип независимости действия сил, т.е. будем суммировать площади эпюр от каждого силового фактора в пределах действия этого фактора. В результате такого интегрирования будем иметь

34

x

x c 2

x d 2

x

x

q

M F x b q

2

2

dx Mdx F x b dx

0

a

b

x

2

x

2

2

3

3

q

x c

dx q

x d

dx M x a F

x b

q

x c

q

x d .

c

2

d

2

2

6

6

Приравняем результаты интегрирования правой и левой частей уравнения, разделим полученное соотношение на EIz и перенесем 0 в правую часть,

получим

dv			1		x b 2		x c 3		x d 3
	0			M x a P		q		q		.
dx			EIz		2		6		6

Интегрируя аналогично, в тех же пределах, полученное выражение (заметим, что это можно делать без раскрытия скобок – так называемое, интегрирование по А.Клебшу), в результате будем иметь

v v0

0

x

1

x a 2

P

x b 3

q

x c 4

q

x d 4

M

.

EIz

2

6

24

24

Здесь: vx x v - прогиб балки на расстоянии х от начала координат, т.е. прогиб

балки в рассматриваемом произвольном сечении;

vx 0 v0 - прогиб в начале координат, т.е. прогиб в крайнем левом

сечении балки.

В случае действия нескольких (n) однотипных нагрузок, согласно принципу независимости действия сил,

n

n

x b

2

n

q

3

1

3

x a

x c

x d

M

F

i

i

,

(19)

0

i

EI

i

i

2

6

i 1

i 1

z i 1

n

2

n

3

n

q

1

x a

x b

4

4

v v

x

i

x c

x d

M

i

F

i

.(20)

0

i

0

EI

2

i

6

24

i

i

i 1

i 1

z i 1

Эти соотношения являются формулами метода начальных параметров

для угла поворота произвольного сечения балки (19) и прогиба в этом сечении (20). Последнюю формулу называют также универсальным уравнением

упругой линии балки.

Здесь: θ0, v0 - начальные параметры (угол поворота и прогиб в начале координат, т.е. на левом краю балки);

ai , bi - расстояния от начала координат до сечений, в которых приложены соответственно сосредоточенные моменты M i и силы Fi (как

активные, так и реактивные);

ci , di - расстояния от начала координат до начала и конца распределенной нагрузки.

35

Правило знаков:

-прогиб v – положителен, если направлен вниз;

-угол поворота сечения θ – положителен, если направлен по часовой стрелке;

- нагрузки F и q – положительны, если направлены вниз;

- момент M – положителен, если направлен против движения часовой стрелки.

В формулы (19), (20) подставляются только те активные и реактивные нагрузки, которые расположены слева от сечения, где определяются угол поворота сечения и прогиб.

Начальные параметры θ0, и v0 , необходимые для проведения расчета по

формулам (19), (20), определяются по этим же формулам из условий закрепления балок.

36