3.3. Принцип оптимальности

В самом фундаменте мироздания лежит принцип оптимальности: во Вселенной реализуются лишь оптимальные состояния и процессы. В обыденной формулировке: что ни делается - все к лучшему.

Под оптимальным мы будем понимать такое состояние системы в целом, которое практически не изменяется или изменяется минимально возможным образом при различных вариациях внутренней структуры. Такое состояние еще называется равновесным.

Наиболее показателен в этом смысле принцип наименьшего действия, который среди вариационных принципов исторически был открыт первым: из всех возможных сценариев какого-либо процесса реализуется лишь тот, которому соответствует наименьшее действие. Под действием понимается интеграл от полной энергии системы по времени , гдеК - кинетическая, а П - потенциальная энергия системы в текущий момент времени t.

Например, траекторию, по которой движется тело в поле притяжения Земли, можно изобразить кривой в четырехмерном пространственно-временном континууме (рис.3.4).

Рис. 3.4

На рисунке траектория изображена в трех координатах: х - направление движения тела вдоль поверхности земли, h - высота тела над поверхностью земли, t - время. Точки А и В соответствуют положениям и моментам времени, соответствующим началу и окончанию движения тела. Среди возможных путей, соединяющих точки А и В, один из путей соответствует наименьшему значению действияW. Проекция этой траектории на пространственные координаты xh даст всем известную траекторию имеющую форму параболы. Любое незначительное изменение (вариация) данной траекториипрактически не повлияет на величину действия, что говорит об экстремальности (о наименьшем значении) этой величины. Любая другая траекторияпри попытке ее вариации даст значительные изменения величины действия, что говорит об энергетической неоптимальности этих траекторий. Оказывается, что траектория, соединяющая в четырехмерном континууме две наперед заданные точкиА и В, найденная из условия обеспечения наименьшего действия (оптимальности), всегда соответствует природной действительности. Поэтому задача поиска траектории может быть решена, как задача оптимизации. На подобных положениях основан ряд методов решения некоторых практических задач, в частности расчет поля методом конечных элементов.

Это напоминает решение задачи математического анализа по нахождению экстремума (оптимума) функции f(x). Здесь экстремум ищется из условия, что в точке экстремума малым приращениям аргумента dx соответствует нулевое приращение значения функции df = 0. В вариационном исчислении искомым является не значение аргумента х, а форма функции f(х), которая минимизирует некоторую интегральную функцию Ф = F(f(x)), которая в данном случае называется функционалом (в предыдущем примере Ф = W).

Согласно теореме Нетер, при условии симметрии пространства-времени каждому закону сохранения можно дать вариационную формулировку, то есть поставить в соответствие некоторый функционал Ф. Например, - для задач механики,- для полевых задач и т.п. Так, например, принцип наименьшего действия тесно связан с законом сохранения энергии при условии симметрии времени (два эксперимента, проведенных в разное время, но при одинаковых условиях, дадут одинаковые результаты).

Исходя из принципа единства Вселенной и принципа дополнительности, все процессы во Вселенной взаимоуравновешены, то есть в целом Вселенная сохраняет свое исходное состояние «абсолютного ничто». Следовательно, можно предположить, что в соответствии с теоремой Нетер, Вселенная в целом подчиняется какому-то глобальному вариационному принципу, частные проявления которого выливаются в различные локальные вариационные принципы, типа принципа наименьшего действия, принципа минимума диссипации энергии и т.п. Именно этот глобальный принцип можно назвать принципом оптимальности.

В предыдущем примере мы из опыта знаем форму траектории движения тела. В более сложных случаях (например, движение в неоднородной среде) простого решения для траектории получить не удается. Ее могут исказить любые локальные неоднородности среды. Однако после того, как траектория будет пройдена данным телом, то есть после того, как сама природа решит данную задачу, поверочный расчет функционала по данной траектории обязательно покажет, что функционал имеет минимальное значение из всех возможных. Функционал можно рассчитать только после того, как будет известна сама функция, то есть после того, как траектория будет пройдена. Но уже перед началом движения мы знаем, что этот функционал будет минимальным. Но ведь движущееся тело не знает о том, какие неоднородности встретит оно на своем пути!

Получается, что тело чуть ли не сознательно выбирает траекторию своего движения, чтобы минимизировать функционал. Когда были открыты вариационные принципы, дискуссия о «разумности природы» длилась в ученом мире очень долгое время. На самом деле это есть лишь следствие определенных природных механизмов, известных нам как законы природы. Но из всех принципиально возможных механизмов процессов реализуются почему-то именно те, которые дают наиболее оптимальные сценарии развития процессов. Это, с одной стороны, позволяет получать оптимальные сценарии развития, следуя в каждом своем шаге законам природы. С другой стороны, даже не зная конкретных механизмов и законов системной динамики, но зная интегральные характеристики системы, мы можем на основе принципа оптимальности прогнозировать (рассчитывать) ее будущее.

Создается впечатление, что природа сначала рассчитывает будущее, планирует его, а уже затем реализует наиболее оптимальный сценарий. Или же когда-то давно была уже проведена подобная работа, позволившая сформулировать такие законы системной динамики, которые в случае их выполнения всегда дают оптимальные результаты.

Таким образом, феномен целесообразности (телеологичности) изначально присущ природе. В его основе лежит принцип оптимальности, причина которого в единстве Вселенной и взаимодополнительности всех протекающих в ней процессов. Раздражимость, инстинкт, психика, разум - все это лишь некоторые наиболее привычные нам проявления феномена целесообразности. Можно показать, что все они являются конкретными механизмами, найденными природой для реализации принципа оптимальности. Так человек, использует свой разум для оценки последствий своих шагов в целях нахождения наиболее оптимального варианта поведения. Психика животных также служит этой цели, но «степень проникновения в будущее» у психики гораздо меньше, чем у разума. То, что мы понимаем под конкретными законами природы, выполняет аналогичные функции, но еще с более незначительной «степенью проникновения в будущее». Так из квантовой теории известно, что даже в процессе взаимодействия двух элементарных частиц присутствует парадоксальная фаза, когда частицы каким-то образом получают информацию (прогноз) о ближайшем будущем.

В основу принципа оптимальности могут быть положены два взаимодополнительных постулата:

• любая система стремится занять состояние, в котором любое изменение внутри системы практически не влияет (влияет минимально возможным образом) на состояние системы в целом;

• из всех возможных состояний в каждый момент времени реализуется то состояние, с которым связано наименьшее количество изменений.

Первый постулат лежит в основе динамики Вселенной, заставляя ее эволюционировать от неравновесных состояний ко все более равновесным. Второй постулат запрещает скачкообразные переходы в равновесные состояния, заставляя всегда выстраивать четкие причинно-следственные цепи событий. Можно видеть, что второй постулат возникает вследствие действия принципа Ле Шателье - Брауна (природа пытается затормозить любые изменения) при попытках системы перейти в равновесное состояние, то есть он взаимодополнителен к первому постулату.

Резонно возникает вопрос: если в любой момент времени природа реализует только оптимальные состояния и процессы, почему же в мире так много абсурда, ошибок, далеких от понятия оптимальности? Или может быть человек, приведший планету к экологической катастрофе, является исключением, для которого закон оптимальности не писан? Но ведь не только человек совершает абсурдные поступки. Разве есть какая-то оптимальность в поведении ночной бабочки, летящей на огонь, или стаи саранчи, уничтожающей всю растительность в округе и затем гибнущей от голода, или мухи, бьющейся о стекло?

Оказывается есть. Так, например, муха задействует один из самых эффективных алгоритмов поиска оптимального решения: метод случайного поиска. Муха не имеет того зрительного и аналитического аппарата, который есть у человека. Это мы понимаем, что нужно чуть отклониться в сторону и вылететь в открытую форточку. Мухе же не известно, есть ли вообще выход из той ситуации, в которую она попала (фасеточный глаз мухи не в состоянии различить стекло и открытую форточку). Но случайный поиск гарантирует, что решение рано или поздно будет найдено, если оно, в принципе, возможно. Более того, случайный поиск позволяет иногда находить выход даже из, казалось бы, тупиковых ситуаций (так муха может найти свое решение задачи, а не то, которое для нее приготовили мы, например, она может отыскать и вылететь в щель, о которой мы даже не подозревали). Причем если функция (ситуация) сама имеет случайный характер (или ее характер неизвестен), то данный метод дает наименьшее среднестатистическое время поиска ее экстремума.

Природа очень часто задействует подобные алгоритмы оптимизации. Так, например, очень показательна в этом смысле тактика поиска мест взятка (нектара и пыльцы), осуществляемая пчелиной семьей. Если одна из пчел найдет богатую цветочную поляну, то при возвращении в улей она совершает свой знаменитый «танец на сотах», который «рассказывает» другим пчелам, куда нужно лететь, сколько энергии для этого потребуется, какие именно цветы растут на поляне и т.п. После этого множество пчел вылетает по месту назначения. При этом они демонстрируют хорошее понимание переданной им информации. Но почему-то не все пчелы, наблюдавшие танец, достаточно пунктуальны. Некоторые из них сбиваются с пути или даже изначально летят в неправильном направлении, иногда в совершенно противоположном. Это уменьшает количество принесенного в улей взятка. Но, оказывается, подобные ошибки изначально запрограммированы и несут в себе большую пользу. В принципе, природа могла бы наградить пчел абсолютной роботоподобной безошибочностью в понимании друг друга. Но она дала пчелам «право на ошибку». Даже процент пчел, сбившихся с пути, определен достаточно строго (около 5%). Именно «ошибочные» вылеты приносят, как правило, в улей информацию о других богатых источниках взятка, на которые эти пчелы иногда случайно натыкаются.

Без определенной доли ошибки, абсурда, случайности природа не смогла бы развивать и усложнять свои формы. Поэтому, наверное, А.С. Пушкин назвал случай «богом-изобретателем». Именно здесь реализуется та самая свобода выбора, без которой немыслима гармония в системе (см. выше). Системы, структура которых лишена неопределенности, случайности, ошибки, нежизнеспособны, так как они далеки от гармонии - наиболее объективного оптимального состояния. Они неспособны развиваться, а потому для Вселенной они бесполезны. Поэтому они довольно быстро разрушаются (накапливают ошибку в отношениях с окружающей средой). Механизмы этого разнообразны. Например, такая система может регулярно вступать в конфликты с другими системами (войны), в результате рано или поздно погибнет. Правда, чаще всего такая система, утратившая подобие с метасистемой, частью которой она является (предполагается, что метасистема гармонична), самопроизвольно теряет устойчивость (устойчивы только гармоничные системы). Мы такое состояние называем болезнью, иногда с летальным исходом. Как мы уже говорили, гармоничное соотношение между строгой предопределенностью и свободой выбора в структуре системы определяется «золотой пропорцией».

Таким образом, в абсурде всегда есть доля здравого смысла. Без абсурда невозможно достичь оптимального состояния. Здесь, вероятно, каждому человеку придется многое пересмотреть в своем мировоззрении, в своем отношении к своим и особенно к чужим ошибкам. «Не судите, да не судимы будете» - учил нас Христос. Может быть, мы наконец-то осознаем мудрость этих слов?