рівн.з парам.Рогівська

22	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

2.Чи може лінійне рівняння з параметром мати безліч коренів? не мати коренів?

3.Назвіть умову того, щоб лінійне рівняння:

1) мало єдиний корінь; 2) не мало коренів; 3) мало безліч коренів.

V. Домашнє завдання

1.Повторити властивості лінійних рівнянь та нерівностей.

2.Розв’язати рівняння відносно x:

1)	mx = −4;	2) ax =12;
3) (a+3)x = x+5.

Заняття 4

Тема. Розв’язування лінійних рівнянь із параметрами, складання схеми-алгоритму розв’язування лінійного рівняння з параметрами. Поняття «розгалуження рівняння»

Мета: сформувати вміння розв’язувати лінійні рівняння з параметрами за схемою-алгоритмом; ввести поняття «розгалуження рівняння»; розвивати дослідницькі способи мислення, спостережливість.

Хід заняття

І. Організаційний етап

ІІ. Актуалізація опорних знань і вмінь, перевірка домашнього завдання

1.Повторення теоретичних відомостей

1) Дайте означення лінійного рівняння.

2) Які ви знаєте властивості лінійних рівнянь?

3) Скільки коренів може мати рівняння ax = b? Наведіть приклади. 4) Сформулюйте означення параметра.

5) Скільки коренів може мати лінійне рівняння з параметром? Від чого це залежить? Наведіть власні приклади.

2.Перевірка виконання домашніх вправ

(розв’язання заздалегідь записано на дошці.)

ІІІ. Вивчення нового матеріалу

Учитель. Відомо, що під час розв’язування лінійного рівняння його спочатку потрібно звести до вигляду ax = b. Далі можна користуватися таблицею, складеною на попередньому уроці. Можна ці самі дії подати у вигляді схеми або алгоритму.

Заняття 4	23

Розв’яжіть рівняння відносно x: 1) 3x+a = 0.

Розв’язання

3x+a = 0, 3x = −a.

Дістали лінійне рівняння, яке має єдиний корінь x = −a3 при будь-яких значеннях параметра a.

Відповідь. При будь-якому значенні a x = −a3.

2) 8 −bx = −1.

Розв’язання

8 −bx = −1, −bx = −9, bx = 9.

Дістали лінійне рівняння. Визначимо, скільки коренів має рівняння залежно від значень параметра b:

99 якщо b = 0, то рівняння набуває вигляду 0x = 9 і не має ко­ ренів;

99 якщо b ≠ 0, то рівняння має єдиний корінь x = 9b.

Відповідь. При b = 0 коренів немає; при b ≠ 0 x = 9b.

3) kx+k =180.

Розв’язання. Зведемо рівняння до лінійного: kx+k =180, kx =180 −k.

Визначимо кількість його коренів залежно від параметра k:

99	якщо k = 0, то рівняння набуває вигляду		0x =180 і коренів
	не має;
99	якщо k ≠ 0, то рівняння має корінь x =	180 −k		.
		k
	Відповідь. При k = 0 коренів немає; при k ≠ 0		x =		180 −k	.
					k

Зробимо кілька узагальнень.

1. Розв’язати рівняння з параметрами означає:

1)вказати значення параметрів, при яких рівняння має корені (визначити їх кількість при різних значеннях параметрів) або не має коренів;

2)знайти всі вирази для коренів рівняння і для кожного вказати відповідні значення параметрів.

24	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

2.При певних значеннях параметра (назвемо їх «контрольними») відбувається якісна зміна рівняння і відповідно змінюється кількість його коренів.

3.Для лінійних рівнянь із параметром (і таких, що зводять до лінійних за допомогою рівносильних перетворень) «контрольними», як правило, є такі значення параметра, які перетворюють на нуль коефіцієнт при змінній. Отже, щоб розв’язати лінійне рівняння з параметром, необхідно знайти «контрольні» значення параметра, розв’язати рівняння при цих «контрольних» значеннях та при значеннях, що відрізняються від «контрольних».

4.Дуже важливо правильно записати відповідь, особливо тоді, коли розв’язання «розгалужується» залежно від значень параметра. Будемо користуватися такою формою запису: при «…» значеннях параметра рівняння має корені «…»; при «…» значеннях параметра рівняння не має коренів. Підкреслимо, що розв’язати рівняння з параметром означає знайти всі його розв’язки для допустимих значень параметра (якщо умовою задачі не обмежено область зміни параметра).

Наприклад, відповідь до деякого рівняння з параметром (без об-

меження області його зміни):

при x ≠

a

x = a+ b не буде правильною. Чому? Оскільки при зна-

2

ченні b = −

a

x = a+b =

a

.

2

2

Тоді правильною буде відповідь:

при b = −

a

коренів немає; при b ≠ −

a

x = a+ b.

2

2

Тепер складемо схему-алгоритм для розв’язування рівнянь із

параметром, які можна звести до лінійних.

ax = b

ні ( a ≠ 0)

так ( a = 0)

a = 0

ні ( b ≠ 0)

так ( b = 0)

x =

b

b = 0

a

коренів

x — будь-яке

немає

число

Заняття 4	25

Це дослідження можна записати за допомогою слів «якщо…,

то…».

Наприклад, дослідження коренів рівняння ax = b вигляда­ тиме так:

1)Якщо a ≠ 0, то x = ab;

2)якщо a = 0 і b ≠ 0, то коренів немає;

3)якщо a = 0 і b = 0, то x — будь-яке число.

Зазначимо, що лінійне рівняння ax = b із визначеним числовим значенням b розв’язують як таке, що має один параметр — a. Якщо значення b також невідомо, то в рівнянні буде два різних параметри a і b. Рівняння може мати й більше ніж два параметри, що позначають різними буквами.

ІV. Закріплення нових знань

1. Складіть схему для розв’язування рівняння

(2+m)x −3 = 0

та розв’яжіть його.

Розв’язання. Маємо:

					(2+m)x−3= 0
					(2+m)x =3
			ні						так
					2+m = 0
x =	3								коренів
	2+m								немає

1)Якщо 2+m ≠ 0, тобто m ≠ −2, то x = 2+3m;

2)якщо 2+m = 0, тобто m = −2, то коренів немає.

Відповідь. При m ≠ −2 x = 2+3m; при m = −2 коренів немає.

2. Складіть схему для розв’язування рівняння

а2х −аb = а

та розв’яжіть його.

26 Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

Розв’язання

					а2х−аb = а
					a2x = a+ab
					a2x = a(1+b)
			ні						так
					a = 0
x =	1+b								x — будь-яке
		a							число

Відповідь. При a ≠ 0, b — будь-якому числі x = 1+ab; при a = 0

x — будь-яке число.

Розв’яжемо наступні рівняння за алгоритмом без побудови ­схеми.

3.Розв’яжіть рівняння ax −3 = b залежно від параметрів a і b. Розв’язання. Запишемо рівняння ax −3 = b у вигляді ax = b+3.

1) Якщо a ≠ 0, то x = b+a3 при будь-якому значенні b;

2) якщо a = 0 і b = −3, то рівняння набуває вигляду 0x = 0, отже,

x— будь-яке число;

3)якщо a = 0 і b ≠ −3, то дістанемо 0x = b+3, причому b+3 ≠ 0, отже, рівняння коренів не має.

Відповідь. При a ≠ 0, b — будь-якому числі x = b+a3; при a = 0, b = −3 x — будь-яке число; при a = 0, b ≠ −3 коренів немає.

4.Виправте помилки у відповідях до рівнянь із параметрами, які розв’язували відносно x:

1)при x ≠ 2 x = a+3;

2)при x ≠ a x = a+b−1;

3)при x ≠ b x = a2b;

4)при x {1;2} x = a+1;

5)при x ≠ 3 x {a+1;a −1}.

Розв’язання

x ≠ 2,

1) x = a+3 a+3 ≠ 2 a ≠ −1.

Заняття 4

27

Відповідь. При a ≠ −1

x = a+3; при a = −1 коренів немає;

2)

x ≠ a,

a+b−1≠ a b ≠1.

+b−1

x = a

Відповідь. При b ≠1 x = a+b−1; при b =1 коренів немає;

3)

x ≠ b,

a2b ≠ b a2 ≠1 a ≠ ±1.

x = a2b

Відповідь. При a ≠ ±1

x = a2b; при a = ±1 коренів немає;

x ≠1,

a+1≠1,

a ≠ 0,

4)

x ≠ 2,

+1

a+1≠ 2

a ≠1.

x = a

Відповідь. При a {0;1}

x = a+1; при a {0;1} коренів немає.

x ≠ 3,

x ≠ 3,

a+1

≠ 3,

a ≠ 2,

5)

x = a+1,

≠ 3

x {a+1;a −1}

a −1

a ≠ 4.

x = a −1

Розглянемо випадки, коли a = 2 або a = 4.

a = 2,

x =1;

a = 4,

x =5;

a {2;4},

−1}.

x {a+1;a

Відповідь. При a = 2

x =1; при a = 4 x =5; при a {2;4}

x {a+1;a −1}.

Додаткові завдання

Розв’яжіть залежно від параметрів a і b рівняння:

1) 4 = а −(bx −1);	2)	1−bx			=1;
			a
3) b = a(x −3);	4)		2x −a		= 3;
			b

5)ax −26 = a −7 3+ 5x .

7

28	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

V. Підбиття підсумків заняття

Фронтальна бесіда

1.За якою схемою можна розв’язати лінійне рівняння з параметром?

2.Як правильно оформити запис відповіді?

VІ. Домашнє завдання

1.Скласти лінійне рівняння з параметром і блок-схему до його розв’язування.

2.Виправити помилки у відповідях до завдань із параметрами, які розв’язували відносно x:

1)	при x {0;3}	x {a+ 3;a};	2)	при x {1;2}	x {3;a − b};
3)	при x {2;a}	x {a+ b;0};	4)	при x {−11; }	x {a+ 1;a2;4}.
3.	Розв’язати рівняння 4+ bx = a відносно x.

Заняття 5

Тема. Розв’язування лінійних рівнянь із параметрами, складання схеми-алгоритму розв’язування лінійного рівняння з параметрами. Поняття «розгалуження рівняння»

Мета: формувати вміння розв’язувати лінійні рівняння з параметрами за алгоритмом; формувати мислення «розгалуження», вміння правильно і лаконічно записувати розв’язання завдань із параметрами; розвивати логічне мислення.

Хід заняття

І. Організаційний етап

ІІ. Перевірка домашнього завдання

Правильність розв’язаних вправ перевіряємо за записами на дошці, учні коментують розв’язання.

ІІІ. Актуалізація опорних знань

Фронтальне опитування

1.Які рівняння називають рівносильними?

2.Що таке параметр?

3.Яке лінійне рівняння є рівнянням із параметром?

4.Скільки параметрів може мати рівняння?

Заняття 5	29

5.Що означає розв’язати рівняння з параметром?

6.Яку схему можна застосовувати для розв’язування лінійного рівняння з параметром?

ІV. Вивчення нового матеріалу

Учитель. Будь-яке рівняння першого степеня, яке розв’язу­ ємо відносно змінної x за допомогою рівносильних перетворень, можна звести до рівняння виду ax = b.

Запишемо алгоритм розв’язування лінійного рівняння за допомогою знака рівносильності .

a = 0,				(1)
	x = b;
0
ax = b a	≠ 0,
		b (2)
x =
		a

a = 0,

b = 0, (3)x = ;

a = 0,

b ≠ 0, (4)x ;

a ≠ 0,

(5)

x = b.a

Зверніть увагу на те, що умова (1) «розгалужується» на дві: (3) і (4), а умова (2) не «розгалужується»!

V. Закріплення нових знань

Учитель. А тепер, використовуючи алгоритм, розв’яжемо декілька рівнянь із невідомим x.

1.Розв’яжіть рівняння ax = x − a+ 1 залежно від параметра a.

Розв’язання

ax = x − a+ 1 ax − x = −a+ 1 (a − 1)x = 1− a

а −	1= 0,			а = 1,
0 х = 0;
а −	1≠ 0,			х ;
					a ≠ 1,
	1− а
х =				x = −1.
		а − 1
Відповідь. При a = 1 x ; при a ≠ 1					x = −1.

30	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

2.Розв’яжіть рівняння 1+ ax = 2x − b відносно x.

Розв’язання

1+ ax = 2x − b (a − 2)х = −b− 1

а = 2,

а =

2,

= 0,

−b− 1

b = −1,

а − 2 = 0,

х ;

х ;

а = 2,

a =

2,

0 х = −b− 1;

а − 2 ≠ 0,

≠ 0,

−b− 1

b ≠ −1,

−b− 1

x ;

x ;

х =

а − 2

2,

а ≠ 2,

а ≠

b+ 1

b+ 1

х = −

х =

.

а − 2

2− а

Відповідь. При a = 2 і b = −1

х ; при a = 2 і b ≠ −1 коренів не-

має; при a ≠ 2

x =

b+ 1

.

2− a

3.Розв’яжіть рівняння 2ax+ m = bx+ 3n відносно x.

Розв’язання

2ax+ m = bx+ 3n (2a − b)x = 3n − m

						b = 2a,
						m = 3n,
2a − b = 0,
						x ;
	x = 3n − m;					b =		2a,
0
2a − b ≠ 0,
						m ≠ 3n,
		3n − m					x ;
x =
		2a − b						2a,
						b ≠
									3n − m
						x =				.
									2a − b
Відповідь. При b = 2a, m = 3n					x ; при b = 2a, m ≠ 3n коренів
немає; при b ≠ 2a x =	3n − m		.
	2a − b

Заняття 6	31

Завдання для самостійної роботи

Розв’яжіть відносно x рівняння:

1) 5(x − a) = 3(x − b);	2) ax − 1= x+ a;
3) ax − 1= x − a;	4) 2x − ax+ 3 = a;
5) (m+ 1)x = n − x;	6) ax − 2x = a2 − 4;
7) (a+ b)x+ a = c;	8) m2x+ 2mn = 3m2 − 3n2 − n2x;
9) a2x+ 1= a+ ax;	10) bx − abx = b2c+ ab2.

VI. Підбиття підсумків заняття

Фронтальна бесіда

1.Що таке рівносильні перетворення?

2.Поясніть, що таке «розгалуження рівняння».

VІI. Домашнє завдання

Розв’язати відносно x рівняння:

1)	ax −b = x −a;	2) ax+ab = ac;
3) ax+ x = a2 + 2a+ 1;		4) mx − nx = 5m− 5n;
5) a(a − 1)x − ab = a.

Заняття 6

Тема. Розв’язування лінійних рівнянь із параметрами в знаменнику

Мета: формувати навички розв’язувати лінійні рівняння з парамет­­ рами­ в знаменнику; розвивати логічне мислення і початкові вміння дослідницької діяльності.

Хід заняття

І. Організаційний етап

ІІ. Перевірка домашнього завдання

Правильність розв’язаних вправ перевіряємо за записами на дошці, учні коментують розв’язання.

ІІІ. Актуалізація опорних знань

Фронтальне опитування

1. Що таке дріб?

32	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

2.Який дріб вважають раціональним?

3.Що таке раціональний вираз? цілий раціональний вираз? дробовий раціональний вираз?

4.Що таке допустимі значення змінних?

5.Яке рівняння називають раціональним?

6.Яке раціональне рівняння називають дробовим?

7.Що таке область допустимих значень рівняння?

ІV. Вивчення нового матеріалу

Учитель. Підкреслимо подвійну природу параметра: з одного боку, ми вважаємо параметр фіксованим числом, а з другого — це число невідоме. Саме це не дозволяє, розв’язуючи, наприклад, рівняння

ax = 1,			(1)
просто записати у відповіді
x =	1	.	(2)
	a

Рівняння (1) — ціле, а (2) містить параметр у знаменнику, тому необхідно розглянути дві можливості: a = 0 та a ≠ 0. Отже, під час розв’язування лінійних рівнянь, що містять параметри в знаменнику, обов’язково потрібно враховувати область допустимих значень параметра (параметрів). Розглянемо приклад.

Приклад. Розв’яжіть рівняння

x+ xa = b

відносно x.

З чого почати розв’язувати?

Правильно, з області допустимих значень параметра a. Має-

мо: a ≠ 0.

Тепер можна за допомогою рівносильних перетворень звести подане рівняння до вигляду (a+ 1)x = ab. Далі з урахуванням умови

a ≠ 0 розв’язуємо лінійне рівняння з параметром за алгоритмом, відомим нам із попереднього уроку.

					a = 0,
		x
	x+		= b		x ;
						a ≠ 0,
		a
					(a+ 1)x = ab

Заняття 6

33

a = 0,

x ;

a =

0,

a = −1,

x ;

b = 0,

a = −1,

x ;

= −b;

a = −1,

0x

b ≠ 0,

a ≠

0,

x ;

a ≠ −1,

ab

x =

a ≠ 0,

a+ 1

a ≠ −1,

ab

x =

a

+ 1

.

Відповідь. При a = 0, a = −1, b ≠ 0 коренів немає; при a = −1, b = 0

x ; при a ≠ 0, a ≠ −1

х =

аb

.

а+ 1

V. Закріплення нових знань

1.Розв’яжіть рівняння

х

=

2bх

−

5a

b−

а

b2 − a2

a+ b

відносно змінної x.

Розв’язання

a ≠ ±b,

тому

a = ±b,

a = ±b,

х

2bх

5a

=

−

x ;

x ;

a ≠ ±b,

a ≠ ±b,

b− а

b2 − a2

a+ b

= 5a(a − b)

(a − b)x

x = 5a.

Відповідь. При a = ±b коренів немає; при a ≠ ±b

x = 5a.

2. Розв’яжіть рівняння

a+ x

− m =

b+ x

a

b

відносно змінної x.

34

Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

Розв’язання

a = 0,

a = 0,

b = 0;

;

b = 0;

x

a = b ≠ 0,

x ;

a = 0,

a ≠ 0,

m = 0,

b = 0;

≠ 0,

;

b

x

;

= b ≠ 0,

x

a = b,

a

≠ 0,

2

m;

a

0x = a

m ≠ 0,

b ≠ 0,

(b− a)x = abm

a ≠ 0,

x

;

b

≠ 0,

≠ 0,

a

≠ 0,

a ≠ b,

b

abm

a ≠ b,

x =

b− a

abm

=

x

.

b− a

Відповідь. При a = 0,

b = 0,

a = b, m ≠ 0 коренів

немає; при

a = b ≠ 0, m = 0

x ; при a ≠ 0, b ≠ 0, a ≠ b x =

abm

.

b− a

Завдання для самостійної роботи

Розв’яжіть рівняння, у яких невідоме позначено однією з літер

x, y, z, u, t:

1)

x

− x = n;

2) t+

at

= 1;

m

b

3)

u

+

u

= m;

4)

z

−

z

= 1;

p

m

n

q

5)

y

− b =

y

− a;

6) t+

b2

=

bt

+ a.

a

b

a

a

VI. Підбиття підсумків заняття

Фронтальна бесіда

1.З чого потрібно розпочинати розв’язування рівняння, що містить параметр у знаменнику дробу?

2.Поясніть, що таке область допустимих значень параметра.

3.Скільки параметрів може мати одне рівняння?

Заняття 7	35

VІI. Домашнє завдання

1.Розв’язати рівняння, у яких невідоме позначено однією з літер x, y, z, u, t:

1)

x − m

=

x − n

;

2)

a+ x

− 2 =

x − b

;

b

a

n

m

3)

z− a

− m =

z− b

− n;

4) m+

n+ y

= n −

m+ y

.

a

b

n

m

Заняття 7

Тема. Розв’язування задач на дослідження кількості коренів лінійного рівняння залежно від значень параметра

Мета: формувати вміння розв’язувати задачі на дослідження кількості коренів лінійного рівняння залежно від значень параметра; домагатися глибокого і свідомого розуміння виконаних дій; розвивати логічне мислення учнів.

Хід заняття

І. Організаційний етап

ІІ. Перевірка домашнього завдання

Аналіз домашніх завдань за розв’язаннями, заздалегідь записаними на дошці.

ІІІ. Розв’язування тренувальних вправ

1.Знайдіть, при яких k рівняння

2(x+ 3) − 2k = 5− 2kx 4

має єдиний корінь.

Розв’язання

2(x+ 3) − 2k = 5−42kx | 4, 8(x+ 3) − 8k = 5− 2kx, 2kx+ 8x = 5+ 8k− 24, x(2k+ 8) = 8k− 19.

Рівняння має єдиний корінь, якщо 2k+ 8 ≠ 0, тобто k ≠ −4.

Відповідь. При k ≠ −4.

2. При яких значеннях параметра b рівняння

(b− 8)(b+ 6)x = 4 − b

не має коренів?

36	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

Розв’язання

(b−8)(b+6)x = 4 −b.

Необхідно, щоб виконувались умови:

(b−8)(b+6) = 0,

а4 −b ≠ 0, звідки b = 8 або b = −6.

Відповідь. При b = 8, b = −6.

3.Підберіть значення параметра a так, щоб рівняння мало корені. 1) 5x −7 =5x −a.

Розв’язання

5x −7 =5x −a, 5x −5x = −a+7, 0x =7 −a.

Якщо a =7, то рівняння набуває вигляду 0x = 0 і має безліч коренів; якщо a ≠7, то коренів немає.

Відповідь. При a =7 рівняння має безліч коренів. 2) х −(2−x) = 2х −а.

Розв’язання

х −(2−x) = 2х −а, х −2+х = 2х −а, 2х −2x = 2−а, 0x = 2−a.

Якщо а = 2, то рівняння набуває вигляду 0x = 0 і має безліч коренів; якщо a ≠ 2, то коренів немає.

Відповідь. При а = 2 рівняння має безліч коренів. 3) а2 − x2 = 12x −(x −8).

Розв’язання

а

−

x

=

1

x −(x −8),

a

−

x

=

x

−x+8,

2

2

2

2

2

2

a

−

x

= −

x

+8, −

x

+

x

= 8 −

a

, 0x = 8 −

a

, 0x =16−a.

2

2

2

2

2

2

2

Якщо а =16, то рівняння набуває вигляду 0x = 0 і має безліч

коренів; якщо a ≠16, то коренів немає.

Відповідь. При а =16 рівняння має безліч коренів.

4)

x

+

a

= (x+15)

−

2

x.

3

5

3

Відповідь. При a =75 рівняння має безліч коренів.

Заняття 7

37

5) ax −3(1+x) =7.

Відповідь. При a ≠ 3 x =

10

.

x −3

4. Дослідіть рівняння з параметрами:

1) 2x −3(x −a) = 3+a;

2) a+6(x −1) = 2a+x;

3)

ax −2

=

3−ax

;

4)

5−ax

=

7 −ax

;

4

3

2

6

5) ax −3(x+1) =5;

6) 7 −ax = 2(3+x);

7) a2x −1= ax;

8)

4ах+27

=

x −1

+

4

.

а2 −9

a+3

a

−3

Розв’язання

1) 2x −3(x −a) = 3+a,

2x −3x+3a = 3+a, 2x −3x = 3+a −3a, −x = 3−2a, x = 2a −3.

Відповідь. При будь-якому a x = 2a −3. 2) a+6(x −1) = 2a+x,

a+6x −6 = 2a+x, 6x −x = 2a −a+6, 5x = a+6, x = a5+6.

Відповідь. При будь-якому a x = a5+6.

3) ax2−2 = 3−4ax,

2(ax −2) = 3−ax, 2ax −4 = 3−ax, 2ax+ax = 3+4, 3ax =7, x = 37a.

Якщо a = 0, то коренів немає; якщо a ≠ 0, то x = 37a.

Відповідь. При а = 0 коренів немає; при a ≠ 0 x = 37a.

4) 5−3ax = 7 −6ax,

2(5−ax) =7 −ax, 10 −2ax =7 −ax, ax −2ax =7 −10, ax = 3.

38	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики
	Якщо a = 0, то рівняння набуває вигляду 0x = 3 і не має коре-
нів; якщо a ≠ 0, то x =		3	.
		a					3
	Відповідь. При a = 0 коренів немає; при a ≠ 0					x =			.
							a
5) ax −3(x+1) =5,
	ax −3x −3 =5, ax −3x =5+3,
		(a −3)x = 8, x =		8	.
				a −3
	Якщо a = 3, то коренів немає; якщо a ≠ 3, то x =						8				.
								a −3
	Відповідь. При a = 3 коренів немає; при a ≠ 3					x =	8			.

a −3

6) 7 −ax = 2(3+x),

7 −ax = 6+2x, x(2+a) =1.

Якщо a = −2, то рівняння набуває вигляду 0x =1 і не має коре-

нів; якщо a ≠ −2, то x =

1

.

a+2

1

Відповідь. При a = −2 коренів немає; при a ≠ −2 x =

.

a+2

7) a2x −1= ax,

a2x −ax =1, (a2 −a)x =1, a(a −1)x =1.

Якщо a = 0 або a =1, то рівняння набуває вигляду 0x =1 і коре-

а ≠ 0,

то

нів не має; якщо

≠1,

а

1

х =

.

а(a −1)

Відповідь. При a = 0,

a =1 коренів немає; при a ≠ 0, a ≠1 х =

1

=

.

а(a −1)

8)

4ах+27

=

x −1

+

4

.

а2 −9

a −

3

a+3

a ≠ −3,

ОДЗ:

≠ 3.

a

Заняття 8	39

Після зведення дробів до спільного знаменника дістанемо лінійне рівняння відносно x:

4ax+27 = ax −a −3x+3+4a+12, 3ax+3x = 4a −15, 3x(a+1) = 3a −12.

Якщо a = −1, то рівняння набуває вигляду 0x = −5 і коренів не має; якщо a ≠ −1, то x = aa−+14.

Враховуючи ОДЗ параметра a, дістанемо відповідь.

Відповідь. При a = −1, a = −3, a = 3 коренів немає; при a ≠ −1, a ≠ −3, a ≠ 3 x = aa−+14.

ІV. Підбиття підсумків заняття

Фронтальна бесіда

1.Що таке рівняння з параметром?

2.Що означає дослідити рівняння з параметром?

3.Скільки параметрів може мати рівняння?

4.Що таке ОДЗ параметра?

5.Як правильно оформити запис відповіді, одержаної під час розв’язування?

V. Домашнє завдання
Дослідити рівняння з параметрами:
1) a+6(x −1) = 2a+x;	2)	5−ax	=		7 −ax	;
		3		6
3) 7 −ax = 2(3+x);		3x −5	=		ax −10		2
	4)						−		.
		a −4		(a −4)(a −3)				a −3

Заняття 8

Тема. Графічне зображення лінійного рівняння з параметром. Поняття «сім’я прямих», зумовлене наявністю параметра: паралельні прямі та прямі, що проходять через спільну точку

Мета: формувати поняття «сім’я прямих», зумовлене наявністю параметра; формувати вміння графічно розв’язувати лінійні рівняння з параметрами; розвивати творчі можливості учнів.

40	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

Хід заняття

І. Організаційний етап ІІ. Актуалізація опорних знань

Фронтальне опитування

1.Що таке функція?

2.Які способи задання функції ви знаєте?

3.Яку функцію називають лінійною?

4.Які властивості лінійної функції ви знаєте?

5.Як називають графік лінійної функції?

6.Який вигляд має графік лінійної функції, якщо:

1) k = 0;						2) b = 0?
	у					у		y = kx
	y = b
	b
			х		0			х
	0

7.Побудуйте графік прямої пропорційності.

8.Який вигляд має графік функції у = х ?

9.Що таке лінійне рівняння?

ІІІ. Вивчення нового матеріалу

Учитель. Графік лінійного рівняння з двома змінними у площині (x;y) водночас є графіком лінійної функції y = ax+ b, тому,

крім аналітичного способу розв’язання лінійних рівнянь із параметрами, існує графічний, який у деяких випадках полегшує їх розв’язування­ .

Розглянемо графічну інтерпретацію розв’язків лінійних рівнянь із параметрами. Зауважимо, що графічним методом часто користуються тоді, коли потрібно знайти не самі корені рівняння, а встановити їх кількість залежно від параметра.

Наприклад, рівняння

f(x) = g(x)

має стільки коренів, скільки спільних точок мають графіки функцій

y = f(x) і y = g(x).

Заняття 8			41
		у		y = g(x)
y = f(x)
				х
		0

Рівняння з параметром f(x) = a має стільки коренів, скільки разів горизонтальна пряма y = a перетинає графік функції y = f(x) (при змінюванні a пряма зміщується вздовж осі Oy вгору або вниз відносно осі Ox).

На площині (x;y) ми розглядали графік лінійної функції y = ax+ b,

тобто y = f(x). Під час розв’язування задач із параметрами розглядатимемо функцію

y = f(x;a).

Під час дослідження рівнянь вигляду f(x) = g(x;a)

часто користуються методом перерізів: функція y1 = f(x) визначає деяку фіксовану криву, співвідношення y2 = g(x;a) — цілу сім’ю

кривих, у якій кожному допустимому значенню параметра a відповідає одна крива. Залежно від значень a криві сім’ї

y2 = g(x;a)

можуть набувати різних положень відносно кривої

y1 = f(x).

Вивчаючи розташування кривих

y2 = g(x;a)

відносно графіка функції y1 = f(x), можна визначити значення па-

раметра a, яким вони відповідають, і таким чином дослідити корені відповідного рівняння з параметром­ .

Розглянемо найпростіші випадки розташування «сім’ї» прямих. 1) Для лінійної функції y = ax+ b можливий випадок, коли b = 0 і функція набуває вигляду y = ax. Графіки цієї функції (прямої пропорційності) при a, що пробігає множину дійсних чисел,