рівн.з парам.Рогівська

102

Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

Заняття 24

103

ax

≥

0,

ax ≥ 0,

Абсциси їх точок перетину визначають корені рівняння. Маємо

x+ 2

(1)

такі випадки:

= ax

x2

+ 4x+ 4 = a2x2

(a2

− 1)x2

− 4x − 4 = 0.

1)

y

4

Розв’яжемо рівняння системи (1):

=

1

a

=

4

(a

− 1)x

,

,

a

2

2

− 4x

− 4 = 0,

−

x

x

1

a

a

+

=

=

x

D

(2a)2, x =

2± 2a

y

y

=

=

,

x1 –1

y

4

a2 − 1

0

3

x

отже, x =

2

або x = −

a

2

.

–3

a − 1

+ 1

Система (1) рівносильна сукупності:

–4

y

=

a = 1,

−

x

−

5

x ;

a = ±1,

a = −1,

Якщо 1≤ a ≤ 4, то x = x1.

ax ≥ 0,

Знаходимо x :

x = −1;

x = −1;

1

a (−1;0],

−x − 5 = ax,

a ≠ ±1,

2

x1 = −

5

ax ≥ 0;

x = −

a

+

1

,

a+

1

.

2

,

2

2)

x = −

a

+ 1

x =

a − 1

;

2

y

4

a (−∞;−1) (1;+∞),

>

4

x =

a − 1

a

x

−

2

1

a

+

x =

a − 1

.

=

=

x

x2

y

y

Відповідь. При

a (0;1]

коренів немає;

при

a (

−∞;−1] (1;∞)

–1

0

3

x

x =

2

; при a (−1;0]

x

=

2

, x = −

2 .

–3

3

–4

a − 1

1

a − 1

2

a+ 1

−

x

2. Розв’яжіть рівняння

=

y

x+ 1 = ax+ 4

Якщо a > 4, то x = x2.

відносно x.

x − 3 = ax,

Розв’язання. Розв’яжемо рівняння за допомогою графічної інтер-

отже,

претації. Побудуємо графіки функцій

y =		x+ 1		− 4 та y = ax.	x2 = −	3	.
						a − 1

104

Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

Заняття 25

105

3)

Якщо −1< a < 0, то x = x і x = x ; x = −

5

, x = −

3

.

y

(

)

1

2

1

a+1

2

a −1

1

;

ax a

0

Відповідь. При

a [1;4]

x = −

5

;

при

a (−∞;−1] (4;+∞)

=

a+1

x1

–1

y

3

5

3

0

3

x2

x

x = −

; при a (−11; ) x1 = −

, x2 = −

.

y

a −1

a+1

a −1

=

x

ІV. Підбиття підсумків заняття

1

+

–4

−

Фронтальна бесіда

4

1. Що означає область зміни значень параметра?

Якщо 0 ≤ a <1, то x = x1

і x = x2;

2. У чому полягає зміст графічного способу розв’язання завдань із

5

3

параметрами і модулем?

x1 = −a+1

, x2

= −a −1.

V. Домашнє завдання

4)

y

1. Розв’язати рівняння методом інтервалів

y

a+x + 2+x = 2−a.

=

a

2. Розв’язати рівняння

y

x

,

=

a

2 x −a +a −4+x = 0

ax

−

4

,

<

−

a

1

1

відносно змінної x.

=

+

−

x2

=

x

1

y

–1 0

x

–5

3

Заняття 25

–4

Тема. Дробово-раціональні рівняння з параметром. Область зміни

параметра та область допустимих значень змінної

3

Мета: формувати вміння розв’язувати дробово-раціональні рівнян­­

ня з параметром, знаходити область зміни параметра, область допус-

Якщо a ≤ −1, то x = x2, де x2 = −a −1.

тимих значень змінної та враховувати її під час розв’язування дробово-

5)

раціональних рівнянь.

y

4

Хід заняття

−

1

+

I. Організаційний етап

y

=

ax

(−

=

x

a

y

1;0)

0

x2

x

IІ. Актуалізація опорних знань

x1

–1

Фронтальне опитування

1. Які вирази називають дробово-раціональними?

–4

2. Наведіть приклади дробово-раціональних виразів.

3. Що таке область допустимих значень дробово-раціонального

виразу?

106	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

4.За якою схемою можна розв’язувати лінійні рівняння з параметрами?

5.Що таке область зміни значень параметра?

IIІ. Вивчення нового матеріалу

Учитель. Розглянемо декілька рівнянь, які зводяться до лінійних і в яких невідома x міститься в знаменнику дробу.

1. Розв’яжіть рівняння

	a	− 1=	b	− 9.
	x		x
Розв’язання
	a	− 1=	b	− 9.
	x		x

Знайдемо область допустимих значень рівняння. ОДЗ: x ≠ 0.

Після зведення дробів до спільного знаменника дістанемо:

x ≠ 0,

=

b− a

a

− 1=

b

− 9

x

,

= b− a

8

x

x

8x

≠ 0.

x

Якщо b = a, то x =

b− a

= 0 і задане рівняння коренів не має.

8

Отже,

a = b,

;

a

b

x

− 1=

− 9

a ≠ b,

x

x

b− a

=

x

.

8

Відповідь. При b = a коренів немає; при b ≠ a x =

b− a

.

8

2. Розв’яжіть рівняння

x

−

a

=

2x+ a

−

a

.

a

2a

2x

x

Розв’язання

a ≠ 0,

ОДЗ:

x ≠ 0;

x = a = 0 при a = 0.

Заняття 25

107

Маємо:

a =

0,

a = 0,

a ≠ 0,

x

a

2x+ a

a

x ;

x ;

−

=

−

x ≠ 0;

≠

0,

a ≠ 0,

a

2x

2a

x

a

ax = a2

x ≠ 0,

x = a.

x = a

Відповідь. При a = 0 коренів немає; при a ≠ 0

x = a.

3. Розв’яжіть рівняння

a2 −

a

+

b2

=

a2

−

b

+ b2.

x

ax

bx

x

Розв’язання

a ≠ 0,

ОДЗ: x ≠ 0,

b ≠ 0.

									a ≠ 0,
	a		b2		a2		b
									x ≠ 0,
a2 −		+		=		−		+ b2
	x		ax		bx		x		b ≠ 0;
									ab(a − b)(a+ b)x = (a − b)(a+ b)2

		a ≠ 0,
		x ≠ 0,
a ≠ 0,
		b ≠ 0;
			= ±b,
x ≠ 0,		a
b ≠ 0;		x ;
(a − b)(a+ b)x = (a − b)(a+ b)2	(ab)−1 ,		≠ ±		b,
		a
				a+ b
		x =				.
					ab

x = a+ b = 0 при a = −b. ab

Відповідь. При a = 0, b = 0 коренів немає; при a = ±b ≠ 0 x (−∞;0) (0;+∞); при a ≠ 0, b ≠ 0, a ≠ ±b x = aab+ b.

108	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

4. Розв’яжіть рівняння a − bm − c− bn = 1. mx nx

Розв’язання

m ≠ 0,

ОДЗ: n ≠ 0,

x ≠ 0.

Маємо:

				m ≠ 0,		m ≠ 0,
							n ≠ 0,
a − bm		c− bn
	−		= 1	n ≠ 0,
						x ≠ 0;
mx		nx		x ≠ 0;
								an − cm
				mnx = an − cm		x =			.
								mn

Отже,

m = 0,

n = 0,

an = cm;

a − bm

c− bn

x ;

−

= 1

m ≠ 0,

mx

nx

n ≠ 0,

≠ cm,

an

a

c

−

;

x =

m

n

x = an − cm = 0 при an = cm. mn

Відповідь. При m = 0, n = 0, an = cm коренів немає; при m ≠ 0, n ≠ 0, an ≠ cm x = ma − nc.

5.Розв’яжіть рівняння ax+ b − c = d − ax− b.

Розв’язання

ОДЗ: x ≠ 0. Маємо:

a+ b − c = d − a − b x x

Заняття 25										109
					c = −d,
						= 0,
					a
						(−∞;0) (0;+∞);
					x
x ≠		0,				= −		d,
	= −d,				c
c					a ≠ 0,
0 x = 2a;
					x			;
					c ≠ −d,
x ≠		0,				= 0,
	≠ −d,				a
c						;
			2a		x
x =
			c+ d
					c ≠ −d,
						≠ 0,
					a
								2a
						=				.
					x		c		+ d

			x =	2a	= 0 при a = 0.
				c+ d
	Відповідь. При c = −d, a ≠ 0				коренів немає; при c ≠ −d, a = 0 ко-
ренів немає; при c = −d,a = 0					x (−∞;0) (0;+∞); при c ≠ −d, a ≠ 0
x =		2a	.
		c+ d

IV. Закріплення нових знань

Розв’яжіть рівняння відносно x:

	1)	5− a	−	5+ a	= 0;
		4b− x		4b+ x

3)dx − cxb = cxd − b−cd.

V. Підбиття підсумків заняття

Фронтальна бесіда

2)	x+ a	−	2	=	x − a	;
	2		x+ a
				2

1.Що обов’язково необхідно враховувати під час розв’язування дробово-раціонального рівняння з параметром? Чому?

2.Що таке область зміни параметра?

3.Що таке область допустимих значень змінної?

110	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

VI. Домашнє завдання

Розв’язати рівняння

1 = 1 + m( − 1 ). m n m x − 1

Заняття 26

Тема. Дробово-раціональні рівняння з параметром. Розв’язування вправ

Мета: формувати вміння розв’язувати дробово-раціональні рівняння з параметром, знаходити область зміни параметра і область допустимих значень змінної, враховувати її під час розв’язування рівняння; розвивати логічне мислення.

Хід заняття

I. Організаційний етап

II.Актуалізація опорних знань

Фронтальне опитування

1.Що таке область допустимих значень дробово-раціонального виразу?

2.Опишіть схему розв’язування лінійних рівнянь із параметром.

III.Розв’язування тренувальних вправ

1. Розв’яжіть рівняння

a+ b + a = −1. x b

Розв’язання

x ≠ 0,

ОДЗ:

b ≠ 0.

	a+ b	+	a	= −1,	b(a+ b) + ax			= −1,
	x		b
						xb
						a = −b,
							x = 0;
(a+ b)x = −b(a+ b)						0
						a	≠ −b,

x = −b

Заняття 26

111

b = 0,

x ;

a = −b ≠ 0,

x (−∞;0) (0;+∞);

b ≠ 0,

a ≠ −b,

x = −b.

Якщо b = 0, то x = −b = 0.

Відповідь. При b = 0

коренів немає; при a = −b ≠ 0 x (−∞;0)

(0;+∞); при b ≠ 0, a ≠ −b

x = −b.

2. Розв’яжіть рівняння

1+ x

=

a

.

1− x

b

Розв’язання

x ≠ 1,

ОДЗ:

b ≠ 0.

1+ x

=

a

, (1+ x)b = a

(1− x), (a+ b)x = a − b.

1− x

b

Отже, маємо:

b = 0,

x ≠ 1,

≠ 0;

x

;

b

a = −b,

a = −b,

x

;

x = −2b;

0

≠ −b,

a ≠ −b,

a

a − b

b ≠ 0,

x =

a − b

a+ b

x

=

.

a+ b

Якщо a = −b, то коренів немає; якщо a ≠ −b, b ≠ 0, то x = aa+− bb.

x = a − b = 1 a+ b

при a+b = a −b, тобто при b = 0.

112

Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

Відповідь. При

a = −b,

b = 0 коренів немає;

при a ≠ −b, b ≠ 0

x =

a − b

.

a+ b

3. Розв’яжіть рівняння

x+ a

+

x

=

x − a

.

x − a

a

a

Розв’язання

x ≠ a,

ОДЗ:

a ≠ 0.

Маємо:

x+ a

+

x

=

x − a

,

3ax = 2a2, x =

2a

.

a

x − a

3

a

x =

2a

= a при a = 0.

3

Отже,

якщо

a ≠ 0, x ≠ a,

то

x =

2a

; якщо

a = 0, то коренів

3

­немає.

Відповідь. При a = 0 коренів немає, при a ≠ 0

x =

2a

.

3

4. Розв’яжіть рівняння

3

+

2

=

4x+ 7a

.

x − a

x+ a

x2 − a2

Розв’язання

ОДЗ: x ≠ ±a.

a = 0,

a = 0,

3

2

4x+ 7a

x ≠ ±a,

;

+

=

x

x ;

a

a ≠ 0,

x − a

x

+ a

x2

− a2

6a

≠ 0,

x =

= 6a

x

x = 6a.

x = 6a = ±a при a = 0.

Відповідь. При a = 0 коренів немає; при a ≠ 0

x = 6a.

5. Розв’яжіть рівняння

a+ b

−

a − b

= 0.

x − a

x+ a

Заняття 26

113

Розв’язання

ОДЗ: x ≠ ±a.

x ≠ ±a,

= 0,

b

a+ b

a − b

x ≠ ±a,

x = −a2,

−

= 0

0

x − a

x+ a

≠

bx = −a2

b

0,

a2

x = −

b

b = 0,

a = 0,

x (−∞;0) (0;+∞);

b = 0,

a ≠ 0,

x ;

b ≠ 0,

a = 0,

b = ±a,

x ;

b ≠ 0,

a ≠ 0,

b ≠ ±a,

a2

x = −

b

.

a2

a = 0,

x = −

= a при ab+ a2 = 0

= −a.

b

b

a2

a = 0,

x = −

= −a при ab− a2 = 0

b

b = a.

Відповідь. При b = 0, a = 0 x (−∞;0) (0;+∞); при b = 0 a ≠ 0 ко-

ренів немає; при b ≠ 0, a = 0, b ≠ ±a коренів немає; при a ≠ 0, b ≠ 0,

b ≠ ±a x = − a2 . b

114	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

Завдання для самостійного розв’язування

Розв’яжіть рівняння відносно x:

1.m1+n + mx+n = m1−n + mx−n;

2.ccx+x = 1c + c+cx.

IV. Підбиття підсумків заняття

Фронтальна бесіда

1.Назвіть обов’язкові дії, що потрібно виконати під час розв’я­ зування дробово-раціонального рівняння з параметром.

2.Знайдіть ОДЗ рівняння

a

=

a

+

2a

.

x −a

2a −x

2a+x

V. Домашнє завдання

Розв’язати рівняння:

1.

a+3

=

2

−

5

;

a+2

x

(a+2)x

2.

a

=

a

+

2a

.

x −a

2a −x

2a+x

Заняття 27

Тема. Розв’язування дробово-раціональних рівнянь із пара­ метром

Мета: формувати навички розв’язувати дробово-раціональні рівняння з параметром.

Хід заняття

I. Організаційний етап

II. Перевірка домашнього завдання

На дошці заздалегідь записуємо розв’язання рівнянь із пропусками окремих кроків. Учні повинні відтворити повне розв’язання.

III.Розв’язування тренувальних вправ

1.Розв’яжіть рівняння

x+m + x+n = 2. x −n x −m

Заняття 27						115
Розв’язання
x ≠ m,
ОДЗ:
x ≠ n.
					x ≠ m,
	x+m x+n
					x ≠ n,
		+		= 2
	x −n		x −m			1
					(n+m)x =		(m+n)2
						2

		m = −n,				m = −n,
	x ≠ m,
						x ,
	x ≠ n;
				x = 0;		x ≠ ±n;
		0				m ≠ ±n,
							1
		m ≠ −n,				x =		(m+n);
							2
		x ≠ m,
						m ≠ −n,
	x ≠ n,
						m = n,
					m+n
			x =			x .
					2

x = m2+n = n при m+n = 2n m = n.

x = m2+n = m при m = n.

Відповідь. При m=−n x (−∞;− n ) (− n ; n ) ( n ;+∞); при m=n≠0

коренів немає; при m ≠ ±n x = 12(m+n).

2. Розв’яжіть рівняння

	x+a	+	m+a	= 2.
	x −a		m −a

Розв’язання

x ≠ a,

ОДЗ:

m ≠ a.

				x ≠ a,
	x+a		m+a
		+		= 2 m ≠ a,
	x −a		m −a
				ax = a(2a −m)

2ab

a+ b

116	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

a = 0,
			x = 0 (−m);
		0
		a	≠ 0,
	x = 2a − m;
x ≠ a,
			≠	a
m

	m = a,
	x ;
	m ≠ a,
			+∞),
	x (−∞;0) (0;
	a = 0;
	m ≠ a,
	a ≠ 0,
		− m.
	x = 2a

x = 2a − m = a при m = a.

Відповідь. При m = a коренів немає; при a = 0, m ≠ 0 x (−∞;0)

(0;+∞); при m ≠ a, a ≠ 0 x = 2a − m.

3.Розв’яжіть рівняння

x+ a + x+ b = 2. x − a x − b

Розв’язання

x ≠ a,

ОДЗ:

x ≠ b.

					x ≠ a,
	x+ a		x+ b
		+		= 2	x ≠ b,
	x − a		x − b
					(a+ b)x = 2ab

x ≠ a,x ≠ b;a = −b,

0 x = −2a2;

x ≠ a,

x ≠ b;a ≠ −b,

x =

Заняття 27

117

a = −b = 0,

(−∞;0) (0;∞);

x

= −b,

a

≠ 0,

a

;

x

≠ −b,

a

a = 0,

b = 0,

a = b;

;

x

≠ −b,

a

≠ 0,

a

≠ 0,

b

≠ b,

a

=

2ab

x

.

a

+ b

2ab

a = 0,

x =

= a при ab+ a2 = 2ab a(a − b) = 0

a

+ b

a = b.

x =

2ab

= b

b = 0,

при

a+ b

a = b.

Відповідь.При a = b = 0 x (−∞;0) (0;+∞); при a = ±b ≠ 0, a = 0 ≠ b,

b = 0 ≠ a коренів немає; при a ≠ 0, b ≠ 0, a ≠ ±b x =

2ab

.

n+ x

n

1

a+ b

4. Розв’яжіть рівняння

=

+

.

d+ x

Розв’язання

d

b

d ≠ 0,

ОДЗ: b ≠ 0,

x ≠ −d.

d ≠ 0,

n+ x

n

1

=

+

b ≠ 0,

≠ −d;

d+ x

d

b

x

(d(b− 1) − bn)x = d2

118

Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

d = 0,

b = 0;

;

x

=

bn

d ≠ 0,

d

,

b− 1

≠ 0,

b

x

;

≠ −d;

x

bn

d

≠

,

bn

=

b− 1

d

,

b− 1

≠ 0,

2

d

;

≠ n,

0 x = d

d

bn

b ≠ 0,

≠

d

,

b− 1

d

2

2

x

=

;

d

(d

− n)b− d

x

=

(d

− n)b− d

bn

≠

d

,

b− 1

d

= n,

.

x

d ≠ (d − n)b,

d = 0,

d2

при

= −d

b = 0,

(d − n)b− d

d = n.

Відповідь. При d = 0,

b = 0,

d = n,

d =

bn

коренів немає; при

b− 1

d ≠ 0, b ≠ 0, d ≠

bn

,

d ≠ n x =

d2

.

b− 1

(d − n)b− d

Завдання для самостійного розв’язування

Розв’яжіть рівняння відносно x:

x

−

x

=

a2

m2

−

b2

mc− b2

1)

;

2)

=

;

3a+ x

x − 3a

9a2 − x2

m− x

(m− x)c

c

3)a3 − 1 = a(x − 1) + a2 − x. a3 + 1 a(x − 1) − a2 + x

Заняття 28	119

IV. Підбиття підсумків заняття

Фронтальна бесіда

1.Чи можуть значення параметра, не допустимі для існування одного кореня, бути допустимими значеннями для існування другого кореня?

2.Знайдіть область допустимих значень змінної

1

=

2

.

kx − 1

2x − k

V. Домашнє завдання

Розв’язати рівняння:

1)

2

+

3

=

2x − 4

;

a(x − 3)

(a − 1)(x+ 1)

a(x − 3)(x+ 1)

2)

a

+

a − b

=

a+ b

−

b

.

ac+ bc

2bx

2bc

ax+ bx

Заняття 28

Тема. Квадратні рівняння з параметром. Дослідження кількості коренів квадратного рівняння залежно від значень параметра

Мета: формувати вміння розв’язувати квадратні рівняння з параметрами, досліджувати кількість їх коренів залежно від параметра.

Хід заняття

I. Організаційний етап

II. Актуалізація опорних знань

Фронтальне опитування

1.Сформулюйте означення квадратного рівняння.

2.Що таке дискримінант квадратного рівняння?

3.За якою формулою знаходять дискримінант квадратного рівняння?

4.Сформулюйте алгоритм розв’язування квадратного рівняння.

III. Вивчення нового матеріалу

Учитель. Рівняння виду ax2 + bx+ c = 0, де x — невідома, a ≠ 0, b і c — сталі числа або функції від параметра, називають квадратним рівнянням із параметрами. У таких рівняннях «кон­ трольними» зазвичай є значення параметра, які перетворюють на

120	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

нуль коефіцієнт при x2, оскільки в такому випадку рівняння стає лінійним. Також «контрольними» є значення параметра, які перетворюють на нуль дискримінант квадратного рівняння.

Зауваження. Коли говорять, що при від’ємному значенні дискримінанта квадратне рівняння не має коренів, то мають на увазі, що рівняння не має дійсних коренів.

Розв’яжемо рівняння

kx2 +2x+1= 0

відносно x.

Розв’язання. Спочатку розглянемо випадок, коли k = 0. Тоді задане рівняння перетворюється на лінійне рівняння 2x+1= 0, корені якого знайти легко:

2x = −1, x = −12.

Якщо k ≠ 0, то задане рівняння квадратне. Знайдемо дискримінант і проаналізуємо його значення.

D4 =1−k.

Якщо k>1, то D < 0; якщо k =1, то D = 0; якщо k<1, то D > 0. Тоді

		k =		0,
					1
			= −
		x					;
					2
		k>		1,
		коренiв немає;
	kx2 +2x+1= 0 k =			1,
			= −1;
		x
		k<1,
			≠	0,
		k
						−1± 1−k
		x		=				.
		1,2					k
	Відповідь. При k>1 коренів немає; при k = 0 x = −								1	; при k =1

2

x = −1; при k (−∞;0) (0;1)

x1,2 = −1± k1−k .

Заняття 29	121

Алгоритм розв’язування квадратного рівняння з параметром

1.Коефіцієнт перед x2 дорівнює нулю — розв’язуємо лінійне рівняння.

2.Коефіцієнт перед x2 не дорівнює нулю — знаходимо дискримінант і аналізуємо його значення.

IV. Закріплення нових знань

Розв’яжіть рівняння відносно x:

1) x2 −2mx+1= 0;

2) ax2 +3x −4 = 0.

V. Підбиття підсумків заняття

Фронтальна бесіда

1.Яке рівняння називають квадратним рівнянням із параметрами?

2.За яким алгоритмом розв’язують квадратне рівняння з параметром?

VI. Домашнє завдання

Розв’язати відносно x рівняння:

1) bx2 −x+2 = 0; 2) x2 +2ax+2a2 = 0.

Заняття 29

Тема. Квадратні рівняння з параметром. Дослідження кількості коренів квадратного рівняння залежно від значень параметра

Мета: формувати навички розв’язувати квадратні рівняння з пара­ метром, досліджувати їх корені залежно від значень параметра.

Хід заняття

I. Організаційний етап

II. Актуалізація опорних знань

Фронтальне опитування

1.Сформулюйте означення квадратного рівняння.

2.Що таке дискримінант квадратного рівняння?

3.За якою формулою знаходять дискримінант квадратного рівняння?

4.Сформулюйте алгоритм розв’язування квадратного рівняння.

5.За яким алгоритмом розв’язують квадратне рівняння з параметром?