рівн.з парам.Рогівська

82	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

a1

∆y = 1 2a+1 = 2a2 +a −1= a2 +a2 +a −1=

=a(a+1) +(a+1)(a −1) = (a+1)(2a −1).

Якщо a =1, то ∆ = 0,

∆x = −2, ∆y = 2. Отже, система розв’язків

не має.

Якщо a = −1, то ∆ = 0 і ∆x = 0, ∆y = 0. Отже, система має безліч

розв’язків: (t −1;t), де t — будь-яке число.

Якщо a ≠ ±1, то ∆ ≠ 0, ∆x ≠ 0, тоді

x =

∆x

=

1

, y =

∆y

=

2a −1

.

∆

1

−a

∆

a −1

Відповідь. При

a

≠1

1

;

2a −1

; при a =1 розв’язків немає;

a −1

a −1

при a = −1 (t −1;t), де t — будь-яке число.

Завдання для самостійного розв’язування

1. Розв’яжіть систему рівнянь залежно від параметра m:

1)	m2x+ y =1,	2)	mx+ y =1,
	8x+2y = m;		x+my = −1;
3)	x+(m+1)y =1,	4)	mx+ y =1,
	mx+2y = m;		x+my =1.

ІV. Підбиття підсумків заняття

Фронтальна бесіда

1.Що означає розв’язати систему рівнянь залежно від параметра?

2.Як визначити кількість розв’язків системи лінійних рівнянь із параметром?

V. Домашнє завдання

При яких значеннях параметра a система рівнянь має безліч розв’язків? Записати вираз для знаходження цих розв’язків.

1)	x −2y = a,	2)	ax+ y = 2,
	3x −3ay = 6;		9a+ay = 6;
3)	x −ay = 3,
	2x+2y = 6.

Заняття 19	83

Заняття 19

Тема. Практична робота з теми «Системи лінійних рівнянь із двома змінними з параметром»

Мета: формувати навички самостійно розв’язувати системи лінійних рівнянь із двома змінними з параметром, застосовуючи різні способи; розвивати логічне мислення учнів.

Хід заняття

I. Організаційний етап II. Практична робота

І рівень

1.При яких значеннях параметра a система рівнянь має один розв’язок, має безліч розв’язків, не має жодного розв’язку?

1)	6x −y =5,	2)	ax+ y =5,
	ax −2y = 6;		5x+2y = 23.

2. Розв’яжіть систему рівнянь методом Крамера:

1)	4x+3y = −4,	2)	5x+6y = 0,
	6x+5y = −7;		3x+4y = 4.

ІІ рівень

1.Розв’яжіть систему рівнянь із параметром:

1)	a(x −1) +2y =1,	2)	x+2x(y −1) = 2,
	2x −3y =5;		2x −y =1.

2.Визначте, при яких значеннях параметра система рівнянь має хоча б один розв’язок.

	bx+2y = b+2,
1)		2)	(a −5)x −2ay = a −7,
				)
	2bx+(b+1)y = 2b+4;		(		x+6y = 3a.
			a −5

3.Застосуйте метод Крамера для дослідження розв’язків системи рівнянь із параметром.

1)	ax+ y = 2,	2)	mx+ y =1,
	9a+ay = 6;		x+my =1.

ІІІ. Домашнє завдання

Повторити розв’язування лінійних рівнянь графічним способом.

84	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

Заняття 20

Тема. Модуль, властивості модуля. Геометричний зміст модуля

Мета: повторити та узагальнити поняття модуля, геометричний зміст та властивості модуля; формувати вміння застосовувати знання про мо­ дуль до розв’язування задач; розвивати логічне мислення.

Хід заняття

I. Організаційний етап

II.Актуалізація опорних знань

1.Повторення теоретичних відомостей про модуль

1) Поясніть, що таке модуль числа.

2) Чому дорівнює модуль від’ємного числа? додатного числа? нуля? 3) Що таке протилежні числа?

4) Чи можна стверджувати, що a — завжди число додатне?

5)Чи може число (−a) бути додатним? від’ємним? Наведіть приклади.

6)У чому полягає геометричний зміст модуля?

2.

Виконання тренувальних вправ

1)

Обчисліть:

а)

−4

;

б)

5;

в)

0

;

г)

−(−8)

.

2) Відомо, що a — ціле число. Чи справедливі твердження:

	а) a+2 — парне число;	б)	a(a+1)	— ціле число;
			2
	в) 2a+1 — непарне число;	г) 3a > a?

ІII. Вивчення нового матеріалу

Учитель. Поняття модуля дійсного числа широко використовують під час розв’язування задач із параметрами. Тому докладніше розглянемо питання, пов’язані з модулем.

Модулемдійсногочисла a називаютьсамецечисло,якщо a ≥ 0, і протилежне йому число −a, якщо a < 0.

Отже, за означенням

	a			a, якщо a ≥ 0,			(1)
			=
			−a, якщо a < 0.
Це означає, що для знаходження					a	необхідно:

Заняття 20	85

1)визначити знак числа a;

2)за формулою (1) знайти модуль, при цьому:

99

не змінювати знак числа, якщо це число додатне;

99

змінити знак числа на протилежний, якщо це число від’ємне;

99 записати 0, якщо під знаком модуля стоїть число 0.

Розглянемо основні властивості модуля дійсного числа.

Таблиця 1

№

Властивості

№

Властивості

1

a

≥0

10

a

+

b

= a+b

при a≥0, b≥0

2

a

≥ a

11

a+b

=

a

+

b

приab≥0

3

−a

=

a

,

−c−d

=

c+d

,

12

a+b

=

a

−

b

x−y

=

y−x

при ab≤0

4

ab

=

a

b

13

a+b

≤

a

+

b

5

a

=

a

14

a

−

b

≤

a±b

≤

a

+

b

b

b

при b ≠ 0

6

an

=

a

n; a2 =

a2

=

a

2

15

a−b

=

a

−

b

при ab≥0

7

ab =

a

b

16

a

+

b

=

a

−

b

при ab≥0

при ab = 0

8

a

=

a

17

a

+

b

=

a−b

b

b

при ab≤0

при ab≥0, b ≠ 0

9

a

2

=

a

18

a

−

b

≥0

при a2 −b2 ≥0

Геометричний зміст модуля числа

Відомо, що модуль числа a — це відстань від точки числової осі

з абсцисою a до початку відліку.

Тоді

a −b

— це відстань між точками A(a) та B(b) числової осі

з абсцисами a і b.

86 Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

Властивості, які випливають із поняття геометричного змісту модуля

Таблиця 2

№

Властивості

1

b≥ 0;

b≥ 0,

= b

a

a = b,

a = ±b

a = −b

2

b≥ 0,

b≥ 0,

≤ b

≤ b,

a

a

≥ −b

−b≤ a≤ b

a

3

b> 0,

b> 0,

< b

< b,

a

a

> −b

−b< a< b

a

4

b≥ 0;

b≥ 0,

≥ b

a≤ −b,

a

a (−∞;−b] [b;+∞),

a≥ b;

b< 0

b< 0

5

b≥ 0,

b≥ 0,

a

> b

a< −b,

a (−∞;−b) (b;+∞),

a> b;

b< 0

b< 0

IV. Закріплення нових знань

1. Обчисліть:

1

1) 2

5

−5

−6

;

2) 2

−3

0,5

;

5

3)

−10

+2

−3

−2

0

;

4)

−10+2 (−4)

+2

4 −4

.

2. Знайдіть значення виразу

a −2b

, якщо:

1) a = 3, b = 2;

2) a = 3, b = −2;

3) a = −3, b = −2.

3.Позначте на числовій прямій точки, для координат яких мають місце співвідношення:

1)		x		= 2;	2)		x −2				=1;
3)		x		= −1;	4)		x		≥ 0;

Заняття 21

87

5)

x

= x;

6)

x −2

= x −2;

7)

x −2

= 2−x;

8)

x2

= 4;

9)

2−x

= 0;

10)

x

+16

= 8;

11)

x

> 0;

12)

−x

≤ 0;

13)

2−x

≤ 0.

V. Підбиття підсумків заняття

Фронтальна бесіда

1.Дайте означення модуля дійсного числа.

2.У чому полягає геометричний зміст модуля?

3.Порівняйте значення виразів при довільних значеннях x:

1)		x		і −x;	2) −		x		і x;

3) 4x2 −1 і 1−4x2 .

VІ. Домашнє завдання

1.Вивчити властивості модуля.

2.Позначити на числовій прямій точки, для координат яких мають місце співвідношення:

1)

x

=5;

2)

x

= −x;

3)

x+1

= 0;

4)

x+3

> 0;

5)

−x

≥ x.

Заняття 21

Тема. Рівняння з модулем. Рівняння із сумою та різницею мо­ дулів

Мета: формувати вміння розв’язувати рівняння, що містять змінну під знаком модуля, різними способами; розвивати логічне мислення.

Хід заняття

I. Організаційний етап

II. Актуалізація опорних знань

1.Повторення теоретичних відомостей про модуль

1) Сформулюйте означення модуля.

88	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

2)Поясніть геометричний зміст модуля.

3)Які основні властивості модуля?

2.Виконання тренувальних вправ

Позначте на числовій прямій точки, для координат яких мають

місце співвідношення:
1)		x		> x;			2)		x+ 1		= 2x − 1;
3)		−5x − 4				= 6.

III. Вивчення нового матеріалу

Учитель. Розв’язання лінійного рівняння x = a вам відоме: при a < 0 коренів немає; при a = 0 x = 0; при a > 0 x = ±a.

Аналогічно розв’язуватимемо рівняння вигляду x − a = b.

Розв’язання. Зрозуміло, що при b < 0 рівняння коренів не має; при b = 0 матимемо один корінь x = a. Якщо b > 0, то маємо:

		x − a		= b,
b > 0

b > 0,

x ≥ a,

x − a = b;x ≤ a,

( )

− x − a = b

	b > 0,
	x ≥ a,	b > 0,
	x = a+ b;
		x = a± b
	x ≤ a,

x = a − b

або, використовуючи геометричний зміст модуля числа,

				x = a+ b,
	x − a		= b
				x = a − b;
					> 0.
				b
			b	b	x
a −b			a		a+b

Відповідь. При b < 0 коренів немає; при b = 0 x = a; при b > 0 x = a±b.

Якщо перед змінною x у підмодульному виразі стоїть знак «–», то задачу легко звести до задачі розглянутого типу, скориставшись властивостями модуля. Наприклад:

1)

−x − 2

= 1

x+ 2

= 1;

2)

2− x

= 1

x − 2

= 1.

Розглянемо ще один приклад. Розв’яжемо рівняння

2x+ 1 = x − 1.

Заняття 21	89

Розв’язання. Оскільки ліва частина рівняння невід’ємна, то рівняння має корені при x ≥ 1. Тоді 2x+ 1> 0 і наше рівняння рівно-

сильне системі
x ≥ 1,			x ≥ 1,
	= x − 1
2x+ 1			x = −2.

Отже, рівняння коренів не має. Відповідь. Коренів немає.

Іноді рівняння з модулем розв’язують за допомогою піднесення обох його частин до квадрата.

Доцільно підносити ліву та праву частину рівняння до квадрата, якщо коефіцієнти при x в обох частинах рівняння рівні за модулем. Тоді сума подібних доданків, що містять x2, дорівнюватиме нулю. Якщо коефіцієнти при x у лівій та правій частинах рівняння різні за модулем, то рівняння також можна піднести до квадрата і дістати квадратне рівняння. Вибір способу розв’язання залишається за виконавцем.

Розглянемо приклади.

1.Розв’яжіть рівняння 2− x = 2x+ 1.

Розв’язання

						2− x			= 2x+ 1											1
													1				x ≥ −					,
2x+ 1≥ 0,																				2
										≥ −
									x					,
	2	− x		2	= (2x+ 1)2								2				x = −3,
											2
												+ 8x			− 3	= 0
									3x										1
																	x = 3.

Отже, x = 13.

Вихіднерівнянняможнарозв’язати,застосувавшивластивість, що випливає з поняття геометричного змісту модуля (див. табли-

цю 2, п. 1):

			b ≥ 0,		b ≥ 0,
	a		= b a = b,
					a = ±b.
			a = −b

Тоді розв’язання рівняння 2− x = 2x+ 1 таке: 2− x = 2x+ 1 x − 2 = 2x+ 1

90	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

2x+1≥ 0,

x −2 = 2x+1,

x −2 = −(2x+1)

Отже, x = 13.

Відповідь. 13.

2.Розв’яжіть рівняння 2x −4 = 3.

Розв’язання

x ≥ −12,

x = −3,1x = .3

	2x −4		= 3	2x −4	= 3,		x = 3,5,
				2x −4	= −3		x = 0,5.

Відповідь. 0,5; 3,5.

Для розв’язування рівнянь, які містять суму модулів, наприклад x −1 + 2−x = x,

зазвичайвикористовуютьметодінтервалів.Методінтервалівзаснований на властивості неперервної функції та містить такі етапи:

1)Знаходимо нулі підмодульних виразів (функцій). Ці точки розбивають область визначення на проміжки, у кожному з яких підмодульні вирази зберігають знаки.

2)Визначаємо знаки підмодульних виразів у кожному проміжку. Щоб визначити ці знаки, досить знайти знак підмодульного виразу в будь-якій точці проміжку, що розглядається.

3)Розкриваємо модулі, що містить рівняння, відповідно до одержаних знаків підмодульних виразів на кожному з проміжків. Зміну знаків зручно ілюструвати за допомогою зображення про-

міжків на координатній прямій.

Розв’яжемо рівняння x −1 + 2−x = x методом інтервалів. Розв’язання. Знаходимо нулі підмодульних виразів:

x −1= 0, x =1; 2−x = 0, x = 2.

Вирази під знаком модуля змінюють знак під час переходу через точки x =1 та x = 2 відповідно. На інтервалах x ≤1, 1< x ≤2 та x >2 знаки виразів (x −1) і (2−x) зберігаються.

Для їх визначення можна взяти будь-які числа з проміжків:

Заняття 21	91

(x −1) x=0 < 0, (2−x) x=0 > 0; (x −1) x=1,5 > 0, (2−x) x=1,5 > 0; (x −1) x=10 > 0, (2−x) x=10 < 0.

x −1

–

+

+

x

2−x

+

1

+ 2

–

Отже, маємо сукупність систем:

x ≤1,

x ≤1,

−x+1+2−x = x;

x =1;

1< x ≤2,

1< x ≤2,

x =1,

−x = x;

x −1+2

x =1;

x = 3.

x >2,

x >2,

+x = x

x −1−2

x = 3

Відповідь. 1; 3.

IV. Закріплення нових знань

1.Розв’яжіть рівняння x+2 =1.

Розв’язання

Спосіб 1

x+2

≥ 0,

x ≥ −2,

x+2

=1

x+2

=1;

x

= −1;

x+2

< 0,

x

< −2,

2 =1

= −3.

−x −

x

Отже, x = −3, x = −1.

Відповідь. –3; –1.

Спосіб 2

Згідно з геометричним змістом модуля:

1

1

x

–3

–2

–1

Тоді

x+2

=1, x = −3, x = −1.

Відповідь. –3; –1.

Завдання для самостійної роботи

1. Розв’яжіть рівняння:

1)

2x −4

= 3;

2)

2−x

= 2x+1;

92

Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

3)

2+x

=5;

4)

x+1

= −4.

2.

Розв’яжіть рівняння:

1)

x+1

= x −1;

2)

2−2x

= 4x+6;

3)

3x −1

= 3x −1;

4)

5−3x

= 2x.

3.

Розв’яжіть рівняння:

1)

x −1

+

x+2

= 3;

2)

x −2

+

x −3

+

2x −8

= 9.

4.Розв’яжіть рівняння, проаналізувавши його область визначення:

x −3 + x −1 −5 = 0. x+2

V. Підбиття підсумків заняття

Фронтальна бесіда

1.Якими способами можна розв’язувати рівняння, що містять змінну під знаком модуля?

2.Що таке метод інтервалів і для рівнянь якого виду його застосовують?

VI. Домашнє завдання
1. Розв’язати рівняння:
1) 2−x = 2x+10;	2) 3x2 −2 =7;

3) x+1 − x +3 x −1 −2 x −2 = x+2.

2. Розв’язати рівняння

x −2 + x −1 = x −3,

проаналізувавши, при яких значеннях змінної рівняння має корені.

Заняття 22

Тема. Модуль і параметри в рівняннях. Розв’язування рівнянь та систем рівнянь із модулем і параметром. Різні способи розв’язування рівнянь із модулем і параметром

Мета: сформувати вміння розв’язувати різними способами рівняння та системи рівнянь, які містять змінну під знаком модуля і параметр; формувати вміння орієнтуватися в опорній інформації різних способів розв’язання однієї й тієї ж задачі; розвивати логічне мислення.

Заняття 22	93

Хід заняття

I. Організаційний етап

II. Актуалізація опорних знань

1.Повторення теоретичних відомостей

1)За допомогою таблиць (таблиці 1, 2, заняття 20) назвіть властивості модуля числа.

2)Які способи застосовують для розв’язування рівнянь, що містять змінну під знаком модуля?

3)Опишіть алгоритм розв’язування найпростіших рівнянь із параметром.

2.Виконання тренувальних вправ

Розв’яжіть рівняння:

1)		2−x		= 2x −10;	2)	4 −x2	=12.

III. Вивчення нового матеріалу

Учитель. Спочатку розглянемо рівняння, розв’язування яких, окрім властивостей модуля, спирається на алгоритм розв’я­зання найпростіших рівнянь із параметром. Розглянемо приклади.

1.Розв’яжіть рівняння a2 −1 x =1−a.

Розв’язання

a =

1,

a =

1,

x ;

a

=1,

a = −1,

x ;

x =1−a;

a = −1,

x ;

0

2

2

a (−∞;−1) (1;∞),

a

−1

−1≠ 0,

x ;

x =1−a a

1−a

a ≠ ±1,

1

x =

x = −

;

1−a2

1−a

1+a

x =

a (−11;),

1−a

2

1

x =

.

1+a

1−a2 ≥ 0, (1−a)(1+a) ≥ 0.

+

––

–1

1

a

	94	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики
	Відповідь. При	a =1		x ; при a = −1		коренів немає; при
	a (−∞;−1) (1;∞)	x = −		1	; при a (−11; ) x =		1	.
			1	+a		1+a

Геометричне або графічне тлумачення суми модулів іноді значно полегшує розв’язування рівнянь.

2.Розв’яжіть рівняння x −a + x −a+2 = 2.

Розв’язання. Відстань між точками A(a) і B(a −2) дорівнює 2. x −a — відстань між точками X(x) і A(a).

x −a+2 — відстань між точками X(x) і B(a −2).

Тоді за умовою

AX + BX = 2,

AB = 2.

Коренями заданого рівняння при a є всі x, що містяться на числовій прямій між точками A і B, тобто x [a −2;a], оскільки

точка прямої належить відрізку цієї прямої тоді й тільки тоді, коли сума відстаней від точки до кінців відрізка дорівнює довжині відрізка.

Відповідь. [a −2;a].

3. Розв’яжіть рівняння x − x −2 = a відносно x.

Розв’язання

Спосіб 1

Знаки виразів під модулями:

x		–	+	+ x
x−2		–	0 –	2 +

x − x −2 = a

0 <

	x ≤ 0,				x ≤ 0,
					a = −2;
	−x+x −2 = a;				0 < x <2,
	0 < x <2,
						a	+2
	x+x −2	= a;			x =			;
							2
	x ≥2,
				x ≥2,
		= a
	x −x+2
					a = 2

a2+2 <2, 0 < a+2< 4, −2< a <2.

a = −2,x ≤ 0;

−2< a <2,

x = a+2;2a = 2,

x ≥2.

Заняття 22	95

Спосіб 2

Розв’яжемо рівняння за допомогою графічної інтерпретації. Побудуємо графіки функцій

y = a і y = x − x −2.
	у	y = x − x−2
y = a	2
–2	0	1	х
	–2

Маємо:

−2,x ≤ 0,

y= 2(x −1),0 < x <2,2,x ≥2.

Відповідь. При a = −2 x ≤ 0; при a = 2 x ≥2; при a (−2;2) x = a2+2; при a [−2;2] коренів немає.

IV. Закріплення нових знань

Розв’яжіть рівняння

4 −x = bx

відносно x різними способами.

V. Підбиття підсумків заняття

Фронтальна бесіда

1.Якими способами можна розв’язувати рівняння з модулем і параметром?

2.Поясніть суть кожного із зазначених способів.

VI. Домашнє завдання

Розв’язати рівняння

c−x = x −c

відносно x різними способами.

96	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

Заняття 23

Тема. Модуль і параметри в рівняннях. Розв’язування рівнянь та систем рівнянь із модулем і параметром. Різні способи розв’язування рівнянь із модулем і параметром

Мета: формувати вміння розв’язувати різними способами рівняння та системи рівнянь, які містять змінну під знаком модуля і параметр; формувати вміння орієнтуватися в опорній інформації різних способів розв’язання однієї й тієї ж задачі; розвивати логічне мислення.

Хід заняття

I. Організаційний етап

II. Актуалізація опорних знань

1.Повторення теоретичних відомостей

1)Назвіть основні властивості модуля.

2)Якими способами можна розв’язувати рівняння з модулем і параметром?

3)Поясніть суть кожного із зазначених способів.

4)Що таке функція?

5)Що таке найбільше (найменше) значення функції на проміжку?

2. Виконання тренувальних вправ

Розв’яжіть рівняння x+a − x =1 відносно x.

III. Вивчення нового матеріалу

Учитель. Побудова і перетворення графіків функцій та ГМТ виразів — один із головних способів розв’язування завдань із модулем і параметром. Розглянемо приклад.

Знайдіть найбільше і найменше значення функції y = x −a на відрізку [1;2], якщо a ≠1, a ≠ 2.

Розв’язання. Графік функції y = x −a дістанемо перенесенням графіка y = x уздовж осі абсцис на a праворуч, якщо a > 0, або ліворуч, якщо a < 0.

у	y = x−a
2−a
1−a
0 a	1	2	х
Рис. 1

Заняття 23			97
Тоді, якщо a <1 (рис. 1), то найменше значення функції на відріз-
ку [1;2]: miny = y(1) = 1−a =1−a,
[1;2]
а найбільше значення — maxy = y(2) = 2−a = 2−a.
	[1;2]
у
2−a
0	1 a 1,5	2	х
	Рис. 2

Якщо 1≤ a ≤1,5 (рис. 2), то
miny = y(a) = 0; maxy = y(2) = 2−a = 2−a.
[1;2]	[1;2]
	у
1−a
			х
0	1	1,5 a	2
		Рис. 3

Якщо 1,5< a <2 (рис. 3), то

miny = y(a)	= 0; maxy = y(1) =		1−a		=1−a.
[1;2]	[1;2]
у

1−a

2−a

х

0	1			2 a

Рис. 4

98		Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики
	Якщо a >2 (рис. 4), то
	miny = y(2) = 2−a = 2−a і maxy = y(1) = 1−a =1−a.
	[1;2]			[1;2]
	Відповідь. При	a <1	miny =1−a,		maxy = 2−a; при 1≤ a ≤1,5
			[1;2]		[1;2]
miny = 0, maxy = 2−a; при 1,5< a <2					miny = 0, maxy =1−a; при
[1;2]	[1;2]				[1;2]	[1;2]
a >2 miny = 2−a, maxy =1−a.
	[1;2]	[1;2]
	IV. Закріплення нових знань
	Розв’яжіть рівняння x+2 = ax графічним способом.
	Розв’язання. Побудуємо графіки функцій y = x+2 і y = ax. Гра-
фік функції y = ax — пряма, що «обертається» навколо точки (0;0).
1)			у
	y = x+2				y = ax, a =1
			2
				y = ax,		a (0;1)
		–2	0	1	х
				Рис. 1

Маємо: якщо a (0;1], то графіки не перетинаються, отже, рів-
няння коренів не має.
2)	у
y = x+2
	2
		y = ax,	a>1
		х
–2	0	1
	Рис. 2

Якщо a >1, то x = x1. Знайдемо x1. Маємо: ax = x+2, x1 = a2−1.

Заняття 23	99

3)	у
	2	y = x+2
			х
—2	0	y = ax,	a = 0
	Рис. 3

Якщо a = 0, то x = −2.
4)	a< −1
y = ax,			у
y = x+2		2
			х
—2		0
			y = ax,	a = −1
		Рис. 4

Якщо a ≤ −1, то x = x1. Знаходимо x1: ax = x+2, x1 = a2−1.

5)	у
	y = x+2
	2
		х
—2	0
	y = ax	a (−1;0)
	Рис. 5

Якщо a (−1;0), то x = x1 і x = x2.

x1 = a2−1, а x2 знаходимо з умови ax = −x −2, x2 = −a2+1.

100	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики
Відповідь. При	a (0;1] коренів немає; при a = 0 x = −2; при

a (−∞;−1] x = a2− 1; при a (−1;0) x1 = a2− 1, x2 = − a2+ 1.

V. Підбиття підсумків заняття

Фронтальна бесіда

1.У чому полягає графічний спосіб розв’язання рівнянь із модулем і параметром?

2.Графіки яких функцій потрібно розглянути для розв’язування рівняння x+ 2a = a+ 1?

VI. Домашнє завдання

Розв’язати рівняння x − 2 = −x+ a графічним способом.

Заняття 24

Тема. Модуль і параметри в рівняннях. Розв’язування рівнянь із модулем і параметром різними способами

Мета: формувати навички розв’язувати різними способами рівняння, що містять змінну під знаком модуля і параметр; розвивати логічне мислення.

Хід заняття

I. Організаційний етап

II. Актуалізація опорних знань

Фронтальне опитування

1.Сформулюйте означення модуля числа.

2.Які способи застосовують для розв’язування рівнянь із модулем і параметром?

3.У чому полягає графічний спосіб розв’язання рівнянь із модулем і параметром?

4.Розв’яжіть рівняння x − a = 2 графічним способом.

III. Розв’язування тренувальних вправ

Учитель. На попередньому занятті ми розв’язали рівняння x+ 2 = ax графічним способом. Виконайте завдання.

1.Розв’яжіть рівняння x+ 2 = ax аналітичними способами.

Заняття 24	101

Розв’язання

Спосіб 1

a ≥ 0,x ≥ 0,

x+ 2 = ax;

x+ 2 = ax a < 0,

x < 0,

x+ 2 = ax

a ≥ 0,
x ≥ 0,
(a − 1)x = 2;
a < 0,
−2< x < 0,
(a − 1)x = 2;
a < 0,
x ≤ −2,
(a+ 1)x = −2

	a =		1,
	x ;
	a ≥ 0,
	a ≠ 1,
	x ≥ 0,
					2
							;
	x =			a	−	1
	a < 0,
	−2< x < 0,
					2
					− 1;
	x = a
	a = −1,
	x = −1;
	a < 0,
	a ≠ −1,
	x ≤ −2,
						2
	x = −				a+ 1

	a (0;1],
	x ;
	a (1;+∞),
				2
	x =					;
			a − 1
	a < 0,
				2
	x =					;
			a − 1
	a (−1;0],
					2
	x = −						.
				a	+	1

	Відповідь. При a (0;1]					коренів немає; при a (−∞;−1] (1;+∞)
x =		2		; при a (−1;0]	x	=	2	, x = −	2	.
		a − 1					a − 1		a+ 1
					1			2

Спосіб 2

Розв’яжемо рівняння піднесенням обох його частин до квад­ рата.