рівн.з парам.Рогівська

42 Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

утворюють сім’ю прямих, причому кожна пряма проходить через початок координат.

	y = a4x	у	y = a x
				3
				y = a2x
y = a5x				y = a1x
y = a0x			0	х

Якщо a2 =1, то графік функції y = x є бісектрисою I і III координатних кутів, а кут між додатним напрямком осі Ox та прямою y = x дорівнює 45°.

Якщо 0 ≤ a <1, то сім’я прямих ( y = a1x) перетинає вісь Ox під кутом 0° ≤ α < 45°.

Якщо a >1, то сім’я прямих ( y = a3x) розташована відносно осі Ox під кутом 45° < α < 90°.

Якщо a < 0, то сім’я прямих ( y = a4x, y = a5x) розташована відносно осі Ox під кутом 90° < α <180°.

2)При k = 0 лінійна функція y = kx+ a перетворюється на функцію y = a, графіки якої при різних значеннях a утворюють

сім’ю горизонтальних прямих.

у

y = a5

y = a4

y = a3

0	х
y = a2

y = a1

3) Якщо лінійну функцію

y2 = g(x;a)

задати у вигляді

y2 = a(x −x0 ) + y0,

її графіки при різних значеннях a утворять сім’ю прямих, що проходять через точку (x0;y0 ) (крім вертикальної прямої x = x0).

Заняття 8	43

	у
y0
0	х0	х

4)Графік функції y = x , як відомо, утворюється відображенням частини графіка функції y = x, розташованої в нижній півплощині, симетрично осі Ox. Тоді графіки функцій y = x +a при

різних значеннях a утворюють сім’ю кривих, зображених на рисунку.

	у
			a4
		+
	=	x			a3
	y		+
		=	x		a	2
		y			+
			=		x
		y				х
	0 a3				a1
	a2				+
			=	x
		y
	a1
Графіки функцій y = x −a	утворюють сім’ю кривих, зображе-
них на рисунку.

		у
y
=			x	a		2
x
		=		−			a	3
−				x
		y
a			=				−
1							x
			y		=
					y			х
a1	0	a2		a3

ІV. Закріплення нових знань

1.Визначте кількість коренів рівняння ах −3 = b залежно від параметрів a і b.

44	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

Розв’язання. Розглянемо функції y = ах −3 і y = b. Графік функції y = ах −3 дістанемо паралельним перенесенням графіка функції y = ах на 3 одиниці вниз по осі Oy.

Графік функції y = b — це сім’я прямих, паралельних осі Ox, що проходять через точки (0;b).

Розглянемо такі випадки:

1) а ≠ 0. Тоді графіки функцій y = ах −3 і y = b перетинаються тільки в одній точці, а отже, рівняння має один корінь.

у	y = ах
	y = ах−3
0	х
	y = b
−3

2) а = 0. Тоді функція y = ах −3 перетвориться на y = −3. Якщо при цьому і b = −3, то графіки функцій y = 0x −3 і y = −3 збігаються. Отже, задане рівняння має безліч коренів.

	у
y = −3	0	х
y = b	−3

3) а = 0, але b ≠ −3. Тоді графіки функцій y = 0x −3 і y = b — паралельні прямі. Отже, задане рівняння не має жодного кореня.

у

y = b

х

0 y = 0x−3

−3

Заняття 8	45
2. Визначте кількість коренів рівняння b = a(x −3)	залежно від
a і b.
Розв’язання. Розглянемо функції
y = b та y = a(x −3).

1)Якщо a ≠ 0, то графіки функцій y = a(x −3) і y = b мають одну точку перетину. Отже, рівняння має один корінь.

2)Якщо a = 0, b ≠ 0, то графіки функцій y = a(x −3) і y = b не перетинаються. Отже, рівняння не має коренів.

3)Якщо a = 0, b = 0, то дістанемо дві функції y = 0 та y = 0(x −3), графіки яких збігаються. Отже, рівняння має безліч коренів.

у y = a(x−3)	у		у
y = b		y = b
х		х	0	y = b	х
0			y = 0(x−3)
	0	y = 0(x−3)
−3

Відповідь. При a ≠ 0 рівняння має один корінь; при a = 0, b ≠ 0 рівняння коренів не має; при a = 0, b = 0 рівняння має безліч ко­ ренів.

V. Підбиття підсумків заняття

Фронтальна бесіда

1.Що таке сім’я прямих?

2.Назвіть основні випадки розташування сім’ї прямих у прямокутній системі координат.

3.Поясніть, як за допомогою побудови графіків дослідити рівняння з параметром.

VІ. Домашнє завдання

1.Дослідити кількість коренів рівняння з параметрами графічним способом:

	1) 4+bx = a;	2)	2x −a	= 3.
			b

46	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

Заняття 9

Тема. Розв’язування лінійних рівнянь із параметрами графічним способом

Мета: формувати вміння розв’язувати лінійні рівняння з параметрами графічним способом; розвивати логічне мислення, спостережливість.

Хід заняття

І. Організаційний етап

ІІ. Актуалізація опорних знань, перевірка домашнього завдання

1.Перевірка домашнього завдання

Перевіряємо правильність домашніх завдань за розв’язаннями,

записаними заздалегідь на дошці.

2.Повторення теоретичного матеріалу

План повторення

1)Лінійна функція та її графік.

2)Розташування графіка лінійної функції в системі координат залежно від параметрів a і b.

3)Графіки функцій у = ax, y = b, y = a(x −x0 ) + y0, y = x , y = x +a, y = x −a .

III. Розв’язування тренувальних вправ

1.Дослідіть рівняння а2х −1= х+а з параметром a. Розв’язання. Виконаємо рівносильні перетворення рівняння:

а2х −x = а+1, (a2 −1)x = a+1, (a −1)(a+1)x = a+1.

Якщо a = −1, то рівняння набуває вигляду 0x = 0 і його коренями є всі числа;

якщо a =1, то рівняння набуває вигляду 0x = 2 і не має жодного кореня;

якщо a ≠ ±1, то рівняння має єдиний корінь

x = ( a)+(1 ) = 1 .

a+1 a −1 a −1

Відповідь. При a = −1 безліч коренів; при a =1 коренів немає;

при a ≠ ±1 x = a1−1.

2. При яких значеннях параметра a рівняння x = a:

а) не має коренів; б) має тільки один корінь;

Заняття 9	47

в) має два корені?

Розв’язання. На координатній площині побудуємо графіки функцій y = x та y = a.

1)Якщо a < 0, то графіки функцій y = a та y = x не перетинаються і рівняння не має жодного кореня.

у

y = x

х

0

y = a

2) Якщо a = 0, то графіки y = x та y = 0 перетинаються в одній точці. Рівняння має один корінь.

	у
y = x
	х
y = 0	0

3) Якщо a > 0, то графіки функцій y = x та y = a перетинаються у двох точках. Отже, рівняння має два корені.

у

y = x

a

y = a

х

0

Відповідь. а) При a < 0; б) при a = 0; в) при a > 0.

3. Знайдіть усі значення параметра a, при яких рівняння

х+1 − x −a = 3

має безліч коренів.

48	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

Розв’язання. Побудуємо на координатній площині графіки функцій y = х+1 −3 та y = x −a .

	y
y = x−a		x
–4 = a	a 0	2 = a
y = х+1 −3		–2
		–3

1)Якщо −4 < a <2, то графіки функцій не перетинаються. Рівняння коренів не має.

2)Якщо a = −4 та a = 2, то рівняння має безліч коренів.

3)Якщо a < −4 або a >2, то рівняння має один корінь.

Відповідь. При a = −4, a = 2 має безліч коренів.

4.Знайдіть усі значення параметра a, при кожному з яких рівняння х −1 + x −3 = а має більше ніж два корені.

Розв’язання. Побудуємо на одній координатній площині графіки функції у = х −1 + x −3 і у = а.Абсциситочокперетинуграфіків— корені заданого рівняння.

y			y = х−1 + x−3
4			y = a>2
3
2			y = a =2
			x
0	1	3	y = a<2

x ≤1,

y = −2x+4;

1≤ x ≤3,

у = х −1 + x −3 y = 2;

x ≥3,

y = 2x −4.

Заняття 10	49

При a >2 маємо два корені; при a <2 коренів немає; при a = 2

х[1;3] , тобто маємо безліч коренів.

Відповідь. При a = 2.

Завдання для самостійного розв’язування

1. Дослідіть кількість коренів рівняння залежно від параметра a:

1) ax −1= 3;

2)

2х −1

=

ах −1

;

3)

х+2

= ах −1;

4)

3−ах

= х+2.

ІV. Підбиття підсумків заняття

Фронтальна бесіда

1.Що означає дослідити лінійне рівняння з параметром?

2.Назвіть способи розв’язання лінійних рівнянь із параметром.

3.У чому полягає графічний спосіб розв’язання лінійних рівнянь із параметром?

V. Домашнє завдання

Дослідити кількість коренів рівняння

3− x −a = x+5

залежно від параметра a.

Заняття 10

Тема. Практична робота з теми «Параметри в лінійних рівняннях»­

Мета: формувати навички самостійно застосовувати набуті знання і вміння під час розв’язування лінійних рівнянь із параметрами аналітичним та графічним способами; розвивати початкові вміння дослідницької діяльності.

Хід заняття

І. Організаційний етап ІІ. Актуалізація опорних знань

План повторення теоретичних відомостей

1.Робота за блок-схемою. Учні виконують відповідні записи в­ блоках.

50

Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

Блок-схема

ax = b

ні ( a ≠ 0)

так ( a = 0)

a = 0

ні ( b ≠ 0)

так ( b = 0)

x =

b

b = 0

a

коренів

x — довільне

немає

число

2.Робота за алгоритмом розв’язування лінійного рівняння з параметром. Учні доповнюють пропуски в запису алгоритму.

						a =		0,
											(3)
						b = 0,
a = 0,								;
						x =
				(1)
	x = b;					a =		0,
0
ax = b a	≠ 0,
						b ≠ 0, (4)
		b (2)					x ;
x =
		a						0,
						a ≠
											(5)
									b
						x =				.
									a

3.Розташування графіків лінійної функції залежно від параметра. Робота за готовими рисунками.

Визначте за рисунком кількість коренів рівняння залежно від

значень параметра a.

1) 0 x+ 3 = a

2) 2

x − 2

= a

у

y =3

4

у

y =2

x−2

3

х

х

0

y = a

0

2

y = a

Заняття 10	51

3) x+ 1 + 2 = a

y = x+1 +2

у

3

2 y = a

х

–1 0

5) 2x+ 4 = ax

	у
y =2x+4	y = ax
	х
	0

4) 3− x = a
	у
	3
		х
–3	0	3
y =3− x
6) 2x+ 4 = 2(x − a)
	y =2x+4
	у
	4
	0	х
–2		a
		y =2(x−a)

Відповіді

1)При a = 3 рівняння має безліч коренів; при a ≠ 3 коренів немає.

2) При a < 0	рівняння коренів не має; при a = 0 один корінь; при
a > 0 два корені.
3) При a < 2	рівняння коренів не має; при a = 2	один корінь; при
a > 2 два корені.
4) При a < 3	рівняння має два корені; при a = 3	один корінь; при

a > 3 коренів немає.

5)При a ≠ 2 рівняння має один корінь; при a = 2 коренів немає.

6)При a = −2 рівняння має безліч коренів; при a ≠ −2 коренів немає.

ІІІ. Практична робота

І–ІІ рівні

1.Складіть блок-схему розв’язування рівняння ax = 2 відносно x.

2.Розв’яжіть рівняння (a − 2)(a+ 2)x − a − 2 = 0 залежно від параметра a.

52	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

3.Дослідіть рівняння а+(x −1) +3(5−x) =5(3+2x) +3−16х залежно від параметра a.

4.Графічно розв’яжіть рівняння 7 −ax = 2(3+x).

III–IV рівні

1.Складіть алгоритм розв’язування рівняння ax −1= x −a з параметром a.

2.Розв’яжіть рівняння залежно від параметра a:

1)2а(x −1) +4(3−x) = 3(2x −1) +21−16х;

2)х3 − а2 = ах2 + 13.

3. Визначте кількість коренів рівняння залежно від параметра a:

1)		х −2		= ах −1;	2)		4 −2х		= а+1.
4. При якому значенні a рівняння має корені:
1) (a −2)(a+2)х = а −2;					2) 2,5−2х = ах+3(1−2x)?

ІV. Домашнє завдання

Повторити:

1)системи лінійних рівнянь із двома змінними;

2)способи розв’язання лінійних рівнянь із параметрами.

Заняття 11

Тема. Систематизація й узагальнення навчальних досягнень учнів із теми «Системи лінійних рівнянь із двома змінними». Кількість розв’язків системи в загальному вигляді

Мета: узагальнити й систематизувати знання учнів із теми; удосконалювати вміння розв’язувати задачі на знаходження розв’язків систем рівнянь.

Хід заняття

I. Організаційний етап

II. Актуалізація опорних знань

Фронтальне опитування

1.Яке рівняння називають лінійним рівнянням із двома змін­ ними?

2.Яке рівняння є рівнянням першого степеня з двома змінними?

Заняття 11	53

3.Що називають розв’язком рівняння з двома змінними?

4.Що є графіком рівняння з двома змінними?

5.Сформулюйте означення системи лінійних рівнянь із двома змінними.

Відповідь. У загальному вигляді систему лінійних рівнянь із дво-

ма змінними можна записати так:

a11x+a12y = b1,a21x+a22y = b2,

де a11, a12, a21, a22, b1 b2 — числа, x і y — змінні. Наприклад, у системі рівнянь

2х −3у =5,

−х+5у =1

a11 = 2, a12 = −3, a21 = −1, a22 =5,b1 =5, b2 =1.

6.Що означає розв’язати систему рівнянь?

7.Чи завжди система рівнянь має розв’язки?

Системи рівнянь, які не мають розв’язків, називають несуміс-

ними.

Наприклад, система

х+2у =5,2х+4у =7

несумісна. Чому?

8.Сформулюйте означення рівносильних систем рівнянь.

9.Які аналітичні способи розв’язання систем рівнянь ви знаєте? Відповідь. Спосіб підстановки та спосіб додавання.

10.Розв’яжіть систему рівнянь двома способами.

х+2у =5, 1) 2х+ у = 4.

Відповідь. (1;2).

4х −3у =14, 2) х+2у = −2.

Відповідь. (2;−2).

5

х

−3

у

=7,

х

= 2,

3)

х

+5

у

=1

у

х = 2або х = −2,

−2

=1

у =1або у = −1.

Відповідь. (2;1),

(2;−1), (−2;1),

(−2;−1).

54	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

11.Опишіть алгоритм графічного способу розв’язання систем рівнянь.

Алгоритм розв’язання систем лінійних рівнянь графічним способом

1)Побудувати на одній координатній площині графіки кожного рівняння.

2)Знайти координати точки перетину побудованих прямих (якщо вони перетинаються).

12.Які переваги графічного способу розв’язання систем рівнянь?

13.Систематизуйте випадки розв’язання систем рівнянь із двома змінними.

Таблиця

Системи рівнянь із двома змінними

у = k1х+l1,

a11x+a12y = b1,

+l2

y = k2x

a21x+a22y = b2

Прямі паралельні

Система не має розв’язків

При k1 = k2 та l1 ≠ l2

При

a11

=

a12

≠

b1

a

a

b

21

22

2

Прямі перетинаються

Система має один розв’язок

Перпендикулярні

k1 ≠ k2

a11

≠

a12

1

a

a

k1 = −k

21

22

2

Прямі збігаються

Система має безліч розв’язків

k1 = k2, l1 = l2

a11

=

a12

=

b1

a

a

b

21

22

2

Системи лінійних рівнянь, до яких входять параметри, називають системами лінійних рівнянь із параметрами.

IІІ. Застосування знань

1.Складіть рівняння прямих, що розташовані паралельно прямій:

1) 2x −3y −a = 0;	2) x = 3;
3) y = 2;	4) ax+2y −1= 0.

2.Складіть рівняння прямої, яка проходить через точку M(a;4) і паралельна:

1) осі Ox;

2)осі Oy.

Заняття 11		55
3. Складіть рівняння прямої, що проходить через точку		A(0;2)
перпендикулярно до прямої:
1) 2x −3y −a = 0;	2) ax+2y −1=1;
3) 2x −ay −a −1= 0.

4. Знайдітьзначення a і b, приякихпарачисел (6;4) єрозв’язком

	системи рівнянь:
1)	ax+2y = 26,	2)	5x+by = 6,
	4x+by =14;		ax+by = 0.

5. До рівняння 3x −5y = 8 підберіть друге лінійне рівняння так,

	щоб дістати систему рівнянь, яка:
1)	має єдиний розв’язок;			2)має безліч розв’язків;
3)	не має розв’язків.
6. При яких значеннях параметра a система рівнянь:
1)	5x −6y =17,		не має розв’язків;
	5x −6y = a
2)	8x+ay = 6,	має безліч розв’язків?
	4x −5y = 3
7. При якому значенні параметра k система рівнянь
			3x −2y = −1,
				= 2,
			5x −3y
				= 25
			2x+ky

має розв’язок?

8. При якому значенні параметра k система рівнянь

k(x+ y) +5x = 2,

9x+11y =7,4x −3y =11

має розв’язок?

ІV. Підбиття підсумків заняття

V. Домашнє завдання

1.При яких значеннях a і b пара чисел (−2;3) є розв’язком системи рівнянь

ax −2y = −12,7x+by =1?

56	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики
2. Підібрати такі значення a і b, при яких система рівнянь
		x −2y =5,
		ax+4y = b:
1)	має безліч розв’язків;	2)не має розв’язків;
3)	має єдиний розв’язок.

Заняття 12

Тема. Розв’язування систем лінійних рівнянь із двома змінними та параметрами

Мета: формувати вміння застосовувати властивості систем лінійних рівнянь для дослідження кількості їх розв’язків залежно від значень параметрів.

Хід заняття

I. Організаційний етап

II. Актуалізація опорних знань, перевірка домашнього завдання

1.Перевіряємо домашнє завдання за записаними на дошці розв’я­ заннями.

2.Повторення теоретичних відомостей про системи рівнянь.

1) Робота з таблицею (учні заповнюють пропуски в записах).

Системи лінійних рівнянь із двома змінними

у = k х+ l ,			a x+ a y = b ,
	1	1	11	12	1
y = k2x+ l2			a21x+ a22y = b2
Прямі паралельні			Система не має розв’язків
_____________________________			____________________________
Прямі перетинаються			Система має один розв’язок
Перпендикулярні			_____________________________
________________		____________
Прямі збігаються			Система має безліч розв’язків
_____________________________			_____________________________

2)Яку систему рівнянь називають системою рівнянь із параме­ трами?

III. Вивчення нового матеріалу

Учитель. Розв’яжемо кілька систем рівнянь із параметром, застосовуючи властивості графіків лінійних функцій.

Заняття 12	57
1. Визначте кількість розв’язків системи рівнянь
	−3a,
(a+3)x+4y =5
2x+(5+a)y = 8
залежно від значень параметра a.
Розв’язання. Відомо, що графіком кожного з рівнянь системи

є пряма. Коефіцієнт при змінній y першого рівняння відмінний від нуля, тому графік рівняння не буде паралельний осі ординат. Із першого рівняння виразимо змінну y через змінну x. Після нескладних перетворень маємо:

y = −a4+3x+ 5−43a.

Друге рівняння системи при a = −5 задає пряму 2x+0y = 8, тобто­ пряму x = 4, яка паралельна осі ординат і перетинає графік першого рівняння, що дає розв’язок заданої системи, і до того ж єдиний.

Якщо a ≠ −5, то з другого рівняння системи маємо: y = −5+2ax+ 5+8a.

Для дослідження системи лінійних рівнянь із двома невідомими та параметрами розглянемо взаємне розташування двох прямих. Спочатку зручно розглянути випадок, коли коефіцієнти при y дорівнюють нулю (маємо вертикальне розташування прямих), потім кожне з рівнянь системи записуємо у вигляді y = ax+ b за

умови: a2 +b2 ≠ 0.
	Використовуючи властивості розташування графіків лінійних
рівнянь (прямих), дістаємо:
99	прямі паралельні, якщо
			а+3						2
	−				= −						,
			4				5		+а
											(1)
		5	−3а		≠		8			;
			4			5	+		а
99	прямі збігаються, якщо
			а+3						2
	−				= −						,
			4				5		+а
											(2)
	5		−3а		=		8			;
			4			5	+		а

58

Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

99

прямі перетинаються, якщо

−

а+3

≠ −

2

.

(3)

5+

а

4

Розв’яжемо систему (1):

(a+3)(a+5) = 8,

−3a

8

5

≠

.

4

5

+a

З першого рівняння системи маємо:

а2 +8а+7 = 0, а2 +8а+16−9 = 0, (a+4)2 −9 = 0.

Отже,

a+4 −3 = 0

або

a+4+3 = 0

a+1= 0,

a+7 = 0,

a = −1

a = −7.

Підставимо в другу нерівність системи (1) значення a = −1 та a = −7. Після нескладних перетворень дістанемо: a = −7 є розв’яз­ ком системи.

Розв’яжемо систему (2):
		−а −3									=							−2		а = −7,
																			,
						4										5+а								= −1,
						−3а														а
			5															8						−3a)(5+a) = 32.
						4					=		5					+а		(5
	25−10a −3a2 −32 = 0, −3a2 −10a −7 = 0,
		+		10				a+				7						= 0,		а2 +2				5		а+		25	−		25		+		21			= 0,
3	a2
						3																		3				9			9				9
												3
						5			2			4									5				2				5			2
	a+								−								= 0,			a+			+				a+				−				= 0.
												9									3								3
						3																			3							3

Отже, а = −1 або а = −73. Розв’язком системи (2) є а = −1.

Тепер з’ясуємо, для яких значень a виконується умова (3):

−а4+3 ≠ −5+2а.

Дістанемо: a ≠ −7 та a ≠ −1.

Відповідь. При a ≠ −7, a ≠ −1 система має один розв’язок; при a = −1 — безліч розв’язків; при a = −7 розв’язків немає.

Заняття 12	59

2. При яких значеннях параметра a система рівнянь

(a+4)х+3у = а+1,

ах+(a −1)у = а −1

має безліч коренів?

Розв’язання. Розв’яжемо кожне з рівнянь системи відносно y.

	Після нескладних перетворень дістанемо:
		а+4					а+1
	у = −				х+					,
		3				3
		а				а −1
	у = −				х+				.
		а −	1			а −		1

Скористаємося властивостями графіків лінійних функцій. При a =1 друге рівняння набуває вигляду x+0y = 0, x = 0, гра-

фіком є пряма, паралельна осі ординат. Тоді система рівнянь

= −

а+4

х+

а+1

у

,

3

3

= 0

х

2

має розв’язок

0;

.

3

При a ≠ −1 система рівнянь набуває вигляду

= −

а+4

х+

а+1

у

,

3

3

а

= −

х+1

у

а −

1

і має безліч коренів при

а+4

а

−

= −

,

3

а

−1

а+1

=1.

3

Розв’язавши цю систему, дістанемо a = 2.

Відповідь. При a = 2.

ІV. Закріплення нових знань

1. При яких значеннях параметра a система рівнянь

ax+4y =18+a,3x+(a+4)y = a:

60	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики
1)	має єдиний розв’язок;	2)має безліч розв’язків;
3)	не має розв’язків?
	Відповідь. 1) При a ≠ −6,	a ≠ 2; 2) при a = −6; 3) при a = 2.

2.Прямі, що задані рівняннями 5x+4y = 6 і ax+6y =10, перетинаються, і точка перетину знаходиться в другій чверті прямокутної системи координат. При яких значеннях a одне з тверджень істинне, а друге — хибне?

V. Підбиття підсумків заняття

Фронтальна бесіда

1.Яку систему називають системою лінійних рівнянь із параметрами?

2.Що означає дослідити систему рівнянь із параметрами?

VI. Домашнє завдання

Знайти значення a, при яких система рівнянь

(2a −3)х −ау = 3а −2,

5х −(2a+3)у =5

має єдиний розв’язок.

Заняття 13

Тема. Розв’язування систем лінійних рівнянь із двома змінними та параметрами. Розв’язування вправ

Мета: формувати вміння досліджувати системи лінійних рівнянь із двома змінними і параметром; розвивати логічне мислення.

Хід заняття

І. Організаційний етап

II. Актуалізація опорних знань. Перевірка домашнього завдання

1.Повторення теоретичних відомостей про системи рівнянь

1)Що таке система лінійних рівнянь із параметрами?

2)Що означає розв’язати систему рівнянь із параметрами?

3)Назвіть способи розв’язання систем рівнянь.

4)Від чого залежить кількість розв’язків системи лінійних рівнянь?

2.Перевірка домашнього завдання за записаними на дошці роз­в’я­ заннями

Заняття 13	61

III. Розв’язування тренувальних вправ

Завдання для колективної роботи

1. Покажіть, що система рівнянь

ах+(a −1)у = 2а,

3(a+2)х+(4a+1)у = а+5

має єдиний розв’язок при будь-яких значеннях параметра a.

Розв’язання. Розв’яжемо систему рівнянь, застосовуючи властивості лінійних рівнянь. Система лінійних рівнянь має єдиний розв’язок, якщо

a11

≠

a12

,

a

a

21

22

тобто коли

a

≠

a −1

.

3(a+2)

4a+1

Розв’яжемо здобуту нерівність:

a

a −1

≠

, a(4a+1) ≠ 3(a+2)(a −1),

3(a+2)

4a+1

4a2 +a ≠ 3a2 −6+6a −3a, a2 −2a+1+5 ≠ 0, (a −1)2 +5 ≠ 0.

Вираз (a −1)2 +5

при будь-якому значенні параметра a не до-

рівнює 0. Отже, при будь-якому значенні a вираз

a

≠

a −1

3(a+2)

4a+1

має зміст. Система рівнянь має один розв’язок при будь-якому значенні a.

Відповідь. При будь-якому значенні a система має один розв’язок.

2.Знайдіть усі значення параметра a, при яких система лінійних рівнянь

2x+(9a2 −2)y = 3a,

x+ y =1

не має розв’язків.

Розв’язання. Система лінійних рівнянь не має розв’язків за умови

a11 = a12 ≠ b1 , a21 a22 b2