рівн.з парам.Рогівська

122	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

III. Розв’язування тренувальних вправ

1.Розв’яжіть рівняння

(a2 −1)x2 −2(a −1)x −a2 +2a −1= 0

відносно x.

Розв’язання

1) При a2 −1= 0 маємо:

a =1,

a =1,

= 0;

0

x ;

a = −1,

a = −1,

= 0

4x −4

x =1.

2) При a ≠ ±1:

D

= (a −1)2 +(a2 −1)(a −1)2 = (a −1)2 a2 ≥ 0.

4

Знаходимо корені:

x1,2 =

a −1±a(a −1)

=

1,

1−a

a

2

−1

.

1+a

Тоді розв’язки рівняння можна записати у вигляді сукупності систем:

		a =1,
	x ;
		a = −1,
		x =1;
		a ≠ ±1,
			x =1,
						−a
				1
			x =				.
				1		+a

Відповідь. При a =1 x — будь-яке число; при a = −1 x =1; при a ≠ ±1 x1 =1, x2 = 11+−aa.

2. Залежно від параметра k розв’яжіть рівняння x2 +2(k−1)x+3k+1= 0.

Заняття 30	123

3. Залежно від параметра a розв’яжіть рівняння

(4 −a2 )x2 +2(a+2)x −1= 0.

IV. Підбиття підсумків заняття

Фронтальна бесіда

1.Які значення параметра є контрольними для квадратного рівняння? Чому?

2.Як знайти ці контрольні значення параметра?

V. Домашнє завдання

Розв’яжіть рівняння (b+1)x2 +2bx −b+1= 0 відносно x.

Заняття 30

Тема. Розв’язування квадратних рівнянь, які містять параметр у знаменнику

Мета: формувати вміння розв’язувати квадратні рівняння, які містять параметр у знаменнику, враховуючи область допустимих значень невідомої змінної та область зміни параметра.

Хід заняття

I. Організаційний етап

II. Актуалізація опорних знань

Фронтальне опитування

1.Сформулюйте алгоритм розв’язування лінійного рівняння з параметром.

2.Сформулюйте алгоритм розв’язування квадратного рівняння з параметром.

3.Що означає розв’язати рівняння залежно від параметра?

III. Вивчення нового матеріалу

Учитель. Якщо квадратне рівняння містить параметр у знаменнику дробу, то під час знаходження його коренів обов’язковим є врахування області визначення параметра. За таких умов можна використовувати алгоритм розв’язування квадратного рівняння з параметрами.

1. Розв’яжіть рівняння x2 −2x − x +m+1= 0. m m

124	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики
	Розв’язання. Параметр міститься в знаменнику дробу, тому m ≠ 0.
	Визначаємо дискримінант рівняння:
	D = (2m+1)2 −4m2 −4m =1> 0.
	Отже, корені заданого рівняння:
		2m+1±1		m+1,
	x1,2 =			=
		2
				m.

Якщо m = 0, то задане рівняння коренів не має.

Відповідь. При m = 0 коренів немає; при m ≠ 0 x1 = m, x2 = m+1. Розв’язуваннярівняння,щозводитьсядоквадратногоймістить невідоме і параметр у знаменнику, також необхідно розпочинати зі знаходження значень параметрів і невідомої, при яких рівняння не має змісту. Потім задане рівняння зводять до квадратного рівнян-

ня стандартного вигляду, схема розв’язування якого вам відома.

2.Розв’яжіть рівняння

x + 2a −1 = 2(2a+1) 2a+3 x 2a+3

відносно x.

Розв’язання

	x ≠ 0,
ОДЗ:			≠ −	3
	a						.
				2
															x ≠			0,
x		2a −1						2(2a+1)											3
	+					=								a ≠ −							;
2a+3			x						2a+3										2				1)x+
																2	−2(2a+												4a		2	+4a −3 = 0
															x
																									3
														3						a = −							,
																									2
									a = −						,
														2
																		x ;
																							1
									x ;
																				a =					,
														3									2
									a ≠ −						,
														2
																				x = 4;
									x ≠ 0,																	3			1
																		a −										;		,
												= 2a+3,														2
									x																				2
												= 2a −1										x = 2a+3,
											x
																						x = 2a −1.

Заняття 30																		125
				D			2											2a+3,
					= (2a+1) −4a2 −4a+3 = 4, x1,2 = 2a+1											±2		=
	4
																		2a −1.
							x1 = 2a+3 = 0 при a = −					3			,
										2
яке не входить в ОДЗ,
							x2			= 2a −1= 0 при a =	1		.
										2
	При a =					1	x1 = 2a+3 = 4 — входить в ОДЗ.
					2
	Відповідь. При a = −							3		коренів немає; при a =						1	x = 4; при a ≠ −		3	,
																2			2
							2
a ≠		1	x1 = 2a+3, x2 = 2a −1.
	2

Зверніть увагу! Якщо при певному значенні параметра один із коренів не належить області визначення, то це ще не означає, що коренів у цьому випадку немає. Потрібно з’ясувати, чи належить області визначення при тому ж значенні параметра другий корінь рівняння.

3. Розв’яжіть рівняння

2a −1

+

5a

=1+

a2 +6

.

x2 −4

x+2

x2 −4

Розв’язання

ОДЗ: x ≠ ±2.

D = (2a −1)2 −4a2 +4a =1, x1,2

2a −1±1

a,

=

=

2

a −1.

Маємо систему:

x ≠ ±2,

x ≠ ±2,

x = a,

x2 −(2a −1)x

+a2 −a

= 0

1

x2 = a −1.

Проаналізуємо умови, за яких x1,2

= ±2:

x1 = a = 2 при a = 2 і при a = 2

x2 = a −1= 2−1=1;

x1	= a = −2 при a = −2 і при a = −2 x2 = a −1= −2−1= −3;
x2	= a −1= 2 при a = 3 і при a = 3 x1 = 3;

x2 = a −1= −2 при a = −1 і при a = −1 x1 = −1.

Тоді розв’язання рівняння зводиться до сукупності систем:

126	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики
		a =		2,
		x =1;
		a = −2,
		x = −3;
		a =		3,
		x = 3;
	a = −1,
		x = −1;
	a {±2;3;−1},
				= a,
		x1
				= a −1.
			x
			2

Відповідь. При a = 2

x =1; при a = −2

x = −3; при a = 3 x = 3; при

a = −1

x = −1; при a ≠ ±2, a ≠ 3, a ≠ −1

x1 = a, x2 = a −1.

IV. Закріплення нових знань

Розв’яжіть рівняння відносно x:

1)

1

+

1

=

1

;

2) ax =

1

.

x −a

x

a

x

V. Підбиття підсумків заняття

Фронтальна бесіда

1.Як розв’язати квадратне рівняння, що містить параметр у знаменнику?

2.Чим хід розв’язування рівняння, що зводиться до квадратного, відрізняється від алгоритму розв’язування квадратного рівняння з параметром у знаменнику?

VI. Домашнє завдання

Розв’язати рівняння

	x2 −1		+	x −1		= 0
	a+1			a −1

відносно x.

Заняття 31	127

Заняття 31

Тема. Розв’язування квадратних рівнянь, які містять параметр у знаменнику

Мета: формувати вміння розв’язувати квадратні рівняння, які містять параметр у знаменнику, враховуючи область допустимих значень невідомої змінної та область зміни параметра.

Хід заняття

I. Організаційний етап

II. Перевірка домашнього завдання

На дошці заздалегідь записуємо розв’язання рівнянь із пропусками окремих кроків. Учні повинні відтворити повне розв’язання.

III. Розв’язування тренувальних вправ

1.Розв’яжіть рівняння

1

+

1

=1.

Розв’язання

x −a

x

+a

ОДЗ: x ≠ ± a.

1

+

1

=1

x −a

x+a

x ≠ ±a,

x ≠ ±a,

+ a2 +1,

−2x −a2 =

0

x =1

x2

− a

2

+1.

x =1

D

=1+a2 > 0, x1,2 =1± 1+a2 .

4

Проаналізуємо умови, при яких x1						або x2 дорівнюють ± a:
1) x1	=1+	a2	+1	= a виконується при
				a ≥1,			a ≥1,	a ;
	a2 +1 = a −1
				a2 +1= a2	−2a+1		a = 0
2) x1	=1+	a2	+1	= −a виконується при
				−a −1≥ 0,			a ≤ −1,		a ;
	a2 +1 = −a −1
				a2 +1= a2	+2a	+1	a = 0

128

Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

3) x2 =1− a2 +1 = a виконується при

a2 +1 =

1−a ≥ 0,

a ≤1,

a = 0;

1−a

a2 +1=1−2a+a2

a = 0

при a = 0 x1 =1+

a2 +1 = 2, x1 ≠ ±a.

4) x2 =1− a2 +1 = −a виконується при

a2 +1 = a+1

a+1≥ 0,

a ≥ −1,

a = 0.

= a2 +2a+1

a2 +1

a =

0

Тоді корені рівняння запишемо у вигляді сукупності систем:

a =

0,

= 2;

x

≠ 0,

a

=1±

a2 +1.

x

1,2

Відповідь. При a = 0

x = 2; при a ≠ 0

x1,2 =1±

a2 +1.

2. Розв’яжіть рівняння

1

+1=

x −1

−x.

a(x+1)

a

Розв’язання

a ≠ 0,

ОДЗ:

x ≠ −1.

−

a ≠ 0,

1

x

1

+1=

−x

x ≠ −1;

(1)

a(x+1)

a

(a −1)x2 +2ax+a+2 = 0.

D

= a2 −(a −1)(a+2) = 2

−a ≥ 0.

4

При a ≤2 x1,2

= −a±

2−a .

a −1

Отже, система (1) рівносильна сукупності:

	Заняття 31					129
			a >2,
			a = 0;
				;
	x
		a =1,
					3
				= −
		x				;
					2
		a ≤2,
				≠ 0,
		a
		a ≠1,
		x ≠ −1,
					−a± 2−a.
		x1,2 =
						a −1
	Проаналізуємо випадки, коли
				x1,2 = −1,
				a ≠ 0,
				a ≠1.

1) x1 =

−a+ 2−a

= −1

при

2−a =1, тобто при a =1;

a −1

2) x2 =

−a − 2−a

= −1

при

2−a = −1, що неможливо, оскільки

a −1

останнє рівняння коренів не має.

Відповідь. При a = 0, a >2 коренів немає; при a =1 x = −

3

; при

2

a (−∞;0) (0;1) (1;2] x1,2 =

−a±

2−a .

a −1

3. Розв’яжіть рівняння

x −a

+

x −b

= 2.

x −b

Розв’язання

x −a

x ≠ b,

ОДЗ:

x ≠ a.

Позначимо

x −a

= t, тоді t+

1

= 2 (рівність t+

1

= 2 виконуєть-

t

t

x −b

ся лише у випадку t =

1

=1), звідки t =1, отже,

x −a

=1.

t

x −b

130	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

Маємо:

x ≠ b,x ≠ a;

x −a = x −b

a = b,

x (−∞;b) (b;+∞);

a ≠ b,

x .

Відповідь. При a = b x (−∞;b) (b;+∞); при a ≠ b коренів немає.

4. Розв’яжіть рівняння	x2	+ax+a2	=	a2	.
	x2	−ax+a2
				x2

Розв’язання

ОДЗ: x ≠ 0.

Підстановкою переконуємося, що x = a не задовольняє рів-

няння.

Застосуємо властивості пропорції:

mn = qp ≠1 mm+−nn = pp+−qq.

Тоді задане рівняння рівносильне системі:

x ≠ 0,

≠ a2,

x2

(x2 +ax+a2 )+(x2 −ax+a2 )

=

a2 +x2

(x2 +ax+a2 )−(x2 −ax+a2 )

a2 −x2

x ≠ ±a,

x ≠ 0;

a = 0,

x ≠ ±a,

x ≠ 0,

;

a2 +x2

x

a2 +x2

=

a

≠ 0,

2

−x

2

ax

a

2

+ax −a

2

= 0.

x

D = a2 +4a2 =5a2, x1,2 =

−a±a 5

2

x1,2

=

−a±a

5 = 0 при a = 0.

2

Заняття 32

131

a = 0,

x ;

a ≠ 0,

a

(1±

5).

x = −

2

Відповідь. При a = 0 коренів немає; при a ≠ 0 x1,2

=

a

( 5

±1).

5. Розв’яжіть рівняння

2

1+

b(b+9)

=

2b+3

+

12b

x+3

x2 −9

x2 −9

відносно x.

IV. Підбиття підсумків заняття

Фронтальна бесіда

1.Назвіть основні етапи розв’язування квадратних рівнянь із параметром у знаменнику.

2.Назвіть основні етапи розв’язування рівнянь із параметром у знаменнику, що зводяться до квадратних.

V. Домашнє завдання

Розв’язати рівняння x2 +ax+a2x+a3 = 0 відносно x. x2 −a2

Заняття 32

Тема. Теорема Вієта в рівняннях із параметрами

Мета: формувати вміння застосовувати теорему Вієта до розв’язуван­ ня рівнянь із параметрами; удосконалювати навички раціонального розв’язування рівнянь, що містять параметр.

Хід заняття

І. Організаційний етап

IІ. Актуалізація опорних знань

Фронтальна бесіда

1.Сформулюйте умови існування коренів квадратного рівняння.

2.Сформулюйте теорему Вієта.

132	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

IIІ. Вивчення нового матеріалу

Учитель. Розглянемо завдання на співвідношення між коренями квадратного рівняння з параметром. Під час їх розв’язування раціональним є застосування теореми Вієта. Потрібно пам’ятати, що теорему Вієта використовують лише у випадку, коли квадратне рівняння має дійсні корені, тобто коли дискримінант невід’ємний. 1. При якому значенні параметра a один із коренів рівняння

x2 −ax+1= 0 у два рази більший за другий? Розв’язання. За теоремою Вієта маємо:

x1 +x2 = a, x1 x2 =1

за умови a2 −4 ≥ 0.

Позначимо менший із коренів через t, тоді маємо систему:

			3t = a,						=	9
							a2				,
						=1,				2
			2t2				і
					≥ 4			2	≥ 4.
			a2				a
Отже, a = ±	3 2	.
	2
Відповідь. При a = ±			3 2	.
			2

2. При якому значенні параметра k сума коренів рівняння x2 +(k2 +4k−5)x −k = 0

дорівнює нулю?

Розв’язання. Нехай x1 та x2 — корені заданого рівняння. Тоді за теоремою Вієта:

x1 +x2 = −(k2 +4k−5) = 0

за умови

(k2 +4k−5)2 +4k≥ 0.

Тобто розв’язками задачі є множина значень k:

		2	+4k−5	= 0,	k = −5,
	k
					k =1,
	4k≥ 0
					k≥ 0.

Отже, k =1.

Відповідь. При k =1.

Заняття 32	133

3.При якому значенні параметра m сума квадратів коренів рівняння x2 +(2−m)x −m−3 = 0 найменша?

Розв’язання

D = (2−m)2 +4(m+3) = m2 +16 > 0

при будь-яких значеннях m. За теоремою Вієта маємо:

x1 +x2 = m −2,

x1 x2 = −m −3.

Тоді

x12 +x22 = (x1 +x2 )2 −2x1x2 =

= (m −2)2 +2(m+3) = m2 −2m+10 = (m−1)2 +9

набуває найменшого значення при m =1.

Відповідь. При m =1.

IV. Закріплення нових знань

1. Доведіть, що коли відношення коренів рівняння ax2 +bx+c = 0

дорівнює 3, то коефіцієнти a, b і c пов’язані умовою

3b2 −16ac = 0.

2. При яких значеннях k добуток коренів квадратного рівняння x2 +3x+k2 −7k+12 = 0

дорівнює нулю?

3.У рівнянні x2 −2x+a = 0 квадрат різниці коренів дорівнює 16. Знайдіть a.

4.При яких значеннях a сума коренів рівняння

x2 −2a(x −1) −1= 0

дорівнює сумі квадратів його коренів?

5. При якому значенні m сума квадратів коренів рівняння x2 +(m−1)x+m2 −1,5 = 0

найбільша?

6. Не розв’язуючи рівняння

x2 −(2a+1)x+a2 +2 = 0,

знайдіть, при якому значенні a один із коренів у два рази більший за другий.

134	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

7.Знайдіть таке значення a, при якому один із коренів рівняння 2x2 −5ax+2a2 = 0 є кубом другого кореня.

8.Нехай x1 і x2 — корені рівняння ax2 +x+2 = 0. Складіть квадратне рівняння, коренями якого є числа

1		та	1	.
x1 +1			x2 +1

V. Підбиття підсумків заняття

Фронтальна бесіда

1.У яких випадках застосування теореми Вієта доцільне під час розв’язування рівнянь із параметрами?

2.За яких умов застосування теореми Вієта можливе?

VI. Домашнє завдання

1. При яких значеннях a сума квадратів коренів рівняння x2 −ax+a2 −3a −2 = 0

буде найбільшою?

2. При яких значеннях a рівняння

x2 −8x+5a = 0 і 2x2 +x −7a = 0

мають хоча б один спільний корінь?

Заняття 33

Тема. Теорема Вієта в рівняннях із параметрами

Мета: формувати навички застосовувати теорему Вієта до розв’язування рівнянь із параметрами; удосконалювати навички раціонального розв’язування рівнянь, що містять параметр.

Хід заняття

І. Організаційний етап

IІ. Актуалізація опорних знань

Фронтальне опитування

1.Сформулюйте умови існування коренів квадратного рівняння.

2.Сформулюйте теорему Вієта.

3.Сформулюйте умови застосування теореми Вієта до розв’язу­ ­ вання завдань із параметрами.

Заняття 33	135

4.Для розв’язування якого типу завдань із параметрами застосовують теорему Вієта?

IIІ. Розв’язування тренувальних вправ

1. При якому значенні параметра a корені рівняння x2 −ax+a −1= 0

мають однакові знаки?

Розв’язання. За теоремою Вієта, з урахуванням умови існування

дійсних коренів, маємо:				a >1,
	a −1> 0,
						a >1.
		≥ 0			2
a2 −4a+4				(a −2)		≥ 0

Відповідь. При a >1.

2. Знайдіть усі значення параметра a, при яких рівняння

(1−2a)x2 −6ax −1= 0 та ax2 −x+1= 0

мають принаймні один спільний корінь.

Розв’язання. Нехай x = z — спільний корінь рівнянь. Умовою існування дійсних коренів цих рівнянь є:

9a2 +(1−2a) ≥ 0,

1−4a ≥ 0.

Мають місце співвідношення

(1−2a)z2 −6az−1= 0,

az2 −z+1= 0.

Після додавання рівнянь останньої системи дістанемо:

(1−a)z2 −(6a+1)z = 0.

Перевіркою переконуємось, що z = 0 не є коренем вихідних рівнянь і при a =1 ці рівняння не мають спільних коренів. Отже,

	z =			6a+1		.
				1−a
Після підстановки цього значення z у друге рівняння системи
маємо:
	6a+1 2		+		6a+	1	+1	= 0
a
					a −1
	a −1

і після нескладних перетворень:

136	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики
		36a3 +19a2 −6a = 0,
	a1 = 0, a2			=			2	, a3	= −	3	.
				9					4
Перевірка свідчить, що здобуті значення параметра a задо-
вольняють умову існування коренів.
Відповідь. a1	= 0, a2 =	2	, a3 = −		3	.
	9			4

Завдання для самостійного розв’язування

1.При яких значеннях параметра a квадрат різниці коренів рівняння x2 −ax+a −6 = 0 буде найменшим?

2.При яких значеннях a сума обернених величин коренів рів-

няння 2x2 −2ax+a2 +2 = 0 дорівнює 23?

3.При яких значеннях a різниця коренів рівняння

2x2 −(2+a)x+2a −1= 0

дорівнює їх добутку?

4. При яких значеннях a корені квадратного рівняння

(a+2)x2 −2ax+3a = 0

мають однакові знаки? 5. Дано два твердження:

1)рівняння x2 +(k+2)x+1= 0 має два різних від’ємних корені;

2)рівняння x2 +(1−k)x+4 = 0 має два різних додатних корені.

При яких значеннях параметра k твердження: а) обидва правильні; б) обидва неправильні;

в) одне правильне, а друге неправильне?

IV. Підбиття підсумків заняття

Фронтальна бесіда

1. Дано рівняння

x2 −ax+a2 −3a −2 = 0.

Складіть таке завдання, щоб до розв’язування цього рівняння доцільним було застосування теореми Вієта.

2. Якою буде умова існування коренів рівняння x2 −ax+a2 −3a −2 = 0?

Заняття 34	137

V. Домашнє завдання

При яких значеннях a рівняння

x2 −2ax+a+1= 0 і x2 +ax −a −1= 0

мають хоча б один спільний корінь?

Заняття 34

Тема. Практична робота з теми «Параметри в рівняннях із модулем, дробово-раціональні та квадратні рівняння з параметром»

Мета: формувати навички самостійно застосовувати набуті знання і вміння під час розв’язування рівнянь, що містять модуль і параметр, та дробово-раціональних і квадратних рівнянь із параметром.

Хід заняття

І. Організаційний етап

IІ. Актуалізація опорних знань

Фронтальне опитування

1.Сформулюйте алгоритм розв’язування лінійного рівняння з параметром.

2.Сформулюйте алгоритм розв’язування квадратного рівняння з параметром.

3.Нащотребазвертатиувагупідчасрозв’язуваннядробово-раціо­ нальних рівнянь із параметром?

IIІ. Практична робота

Варіант 1

1.Розв’яжіть квадратне рівняння x2 −2mx+1= 0 відносно x.

2.Розв’яжіть дробово-раціональне рівняння

c+x	=	1		+	c
cx			c		c+x

з параметром c.

3.При яких значеннях a обидва корені рівняння

x2 −(1+a)x+a+4 = 0

від’ємні?

a2 +a(x −1) = 2+

138	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

Варіант 2

1.Розв’яжіть квадратне рівняння x2 +2(k−1)x+3k+1= 0 відносно x.

2.Розв’яжіть дробово-раціональне рівняння

	x	−	x	=	a2
	3a+x		x −3a		9a2 −x2

з параметром a.

3.При яких значеннях a всі корені рівняння

(a+1)x2 +2ax+a+3 = 0

додатні?

Варіант 3

1.Розв’яжіть рівняння ax2 +3x −4 = 0 відносно x.

2.Розв’яжіть дробово-раціональне рівняння

a3 −1 = a(x −1) +a2 −x a3 +1 a(x −1) −a2 +x

з параметром a.

3.При яких значеннях a всі корені рівняння

ax2 +2(a+3)x+2+a = 0

невід’ємні?

Варіант 4

1.Розв’яжіть рівняння bx2 −x+2 = 0 відносно x.

2.Розв’яжіть дробово-раціональне рівняння

	a	=	a	+	2a
	x −a		2a −x		2a+x

з параметром a.

3.При яких значеннях a рівняння

x2 −2(a −2)x+a2 −2a −3 = 0

має два різних додатних корені?

Варіант 5

1.Розв’яжіть рівняння (b+1)x2 +2bx −b+1= 0 відносно x.

2.Розв’яжіть дробово-раціональне рівняння

m2	−	b2		mc−b2
			=
m−x		(m−x)c		c

з параметрами m, c і b.

Заняття 35	139

3. При яких значеннях a рівняння

3,5

x

має два різних рівних за абсолютною величиною корені?

Варіант 6

1. Розв’яжіть рівняння

(4 −a2 )x2 +2(a+2)x −1= 0

відносно x.

2. Розв’яжіть дробово-раціональне рівняння kx1−1 = 2x2−k

з параметром k.

3.При яких значеннях a сума квадратів коренів рівняння

x2 +ax+a −2 = 0

буде найменшою?

IV. Домашнє завдання

Учні об’єднуються у групи. Кожна група має підготувати презентацію за однією з тем:

1.Розв’язування лінійних рівнянь із параметрами.

2.Системи лінійних рівнянь із двома змінними і параметрами.

3.Рівняння з модулем і параметром.

4.Квадратні рівняння з параметром.

5.Дробово-раціональні рівняння з параметром.

6.Теорема Вієта і завдання з параметрами.

Заняття 35

Тема. Рівняння з параметрами. Узагальнення матеріалу, вивче­ ного за рік

Мета: узагальнити навчальний матеріал курсу «Рівняння з пара­ме­­ трами».

Хід заняття

І. Організаційний етап

ІІ. Узагальнення навчального матеріалу

1.Презентація роботи першої групи з теми «Розв’язування лінійних рівнянь із параметрами».

140	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

Практичне завдання. Розв’яжіть рівняння з параметром

(b2 −2b+1)x = b2 +2b−3.

2.Презентація роботи другої групи з теми «Системи лінійних рівнянь із двома змінними і параметрами».

Практичне завдання. Визначте, при яких значеннях параметра

b система рівнянь

bx −y =1,x =1+by

має хоча б один розв’язок.

3.Презентація роботи третьої групи з теми «Рівняння з модулем і параметром».

Практичне завдання. Розв’яжіть рівняння x −2 = a −1.

4.Презентація роботи четвертої групи з теми «Квадратні рівняння з параметром».

Практичне завдання. Розв’яжіть рівняння x2 +x −a = 0.

5.Презентація роботи п’ятої групи з теми «Дробово-раціональні рівняння з параметром».

Практичне завдання. Розв’яжіть рівняння

	2x −1		=	x2
	m+1			m−1

відносно x.

6.Презентація роботи шостої групи з теми «Теорема Вієта і завдання з параметрами».

Практичне завдання. При яких значеннях a рівняння

x2 −8x+5a = 0 і 2x2 +x −7a = 0 мають хоча б один спільний корінь?

ІІІ. Підбиття підсумків заняття

Література

1.Амелькин В. В., Рабцевич В. Л. Задачи с параметрами. — Минск : Асар, 1996.

2.АпостоловаГ.,ЯсінськийВ. Перші зустрічі з параметром. — К. : Факт, 2006. — 324 с.

3.Вірченко Н. О. Графіки елементарних та спеціальних функцій: Довідник. — К. : Наукова думка, 1996.

4.Гайштут О. Г., Литвиненко Г. М. Алгебра. Розв’язування задач та вправ: навч. посіб. — К. : Магістр-S, 1997.

5.Голубев В. И., Гольдман А. М., Дорофеев Г. В. О параметрах с самого начала // Репетитор.— 1991. — № 2. — с. 3–13.

6.ГорнштейнП.І.,ПолонськийВ.Б.,ЯкірМ.С.Задачі з параметрами. — К. : РИА «Текст»; МН «Око», 1992.

7.Дорофеев Г. В., Затакавай В. В. Решение задач, содержащих параме­ тры. Ч. 2. — М. : Перспектива, 1990.

8.Крамаренко А. В. Розв’язання рівнянь та нерівностей з параметрами // Математика в школах України. — 2004. — № 17–18.

141