рівн.з парам.Рогівська

62		Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики
тобто коли
								2	=	9a2 −2			≠		3a					.
						1
											1					1
Розглянемо систему:
					2									2		−4 = 0,
						−2 = 2,					9a
			9a
						≠ 2							≠			2
		3a									a
																3
																2
(3a −2)(3a+2) = 0,											a				=						,
																		3
																					2			2
	2														= −								a = −		.
a ≠											a											;
																					3			3
	3
																	2
											a ≠
																3
Отже, при a = −			2	система не має розв’язків.
	3
Відповідь. При a = −						2	.
						3
3. При яких значеннях параметра a система рівнянь
															= 4,5,
							(a −2)x+27y
							2x+(a+1)y = −1

має безліч розв’язків?

Розв’язання. Система лінійних рівнянь має безліч розв’язків за умови

a11

=

a12

=

b1

,

a

a

b

21

22

2

тобто коли

a −2

=

27

=

4,5

.

2

a+1

−1

Розв’яжемо систему рівнянь:

a −2

= −4,5,

2

a −2 = −9,

a = −7,

= −6

27

= −4,5

a+1

a = −7.

a+1

Відповідь. При a = −7 система має безліч розв’язків.

Заняття 13	63

Робота в групах

Учні об’єднуються в чотири групи. Кожна група отримує своє завдання та розв’язує його. Потім представники від груп презентують свою роботу.

Завдання для першої групи

При яких значеннях параметра a система рівнянь

ax+ y = 2,

x+ay = a2

має один розв’язок?

Завдання для другої групи

При яких значеннях параметра a система рівнянь

−4x+ay =1+a,(6+a)x+2y = 3+a

має безліч розв’язків?

Завдання для третьої групи

При яких значеннях параметра a система рівнянь

(a −2)x+27y = 9,

2

2x+(a+1)y = −1

не має розв’язків?

Завдання для четвертої групи

При яких значеннях параметра a система рівнянь

ax −4y = a+1,2x+(a+6)y = a+3

має один розв’язок?

ІV. Підбиття підсумків заняття

У якому випадку система лінійних рівнянь матиме: 1) єдиний розв’язок; 2)безліч розв’язків; 3) не матиме розв’язків?

V. Домашнє завдання

1.Розв’язати систему рівнянь:

ax+ y =1, 1) x+ay =1;

ax+ y =1, 2) x+ay = 2a.

64	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

2. Знайти всі значення параметра a, при яких система рівнянь

2х+(9a2 −2)у = 3а,

х+ у =1

має розв’язки.

Заняття 14

Тема. Дослідження систем лінійних рівнянь із двома змінними і параметрами

Мета: формувати вміння розв’язувати задачі на дослідження розв’яз­ ків систем лінійних рівнянь із двома змінними і параметрами; розвивати логічне мислення.

Хід заняття

І. Організаційний етап ІІ. Актуалізація опорних знань, перевірка домашнього завдання

Фронтальне опитування

1.Що означає розв’язати систему рівнянь?

2.Сформулюйте умови, за яких система лінійних рівнянь мати­ ме­ : 1) один розв’язок; 2) безліч розв’язків; 3) жодного розв’язку.

3.Поясніть, як можна визначити кількість розв’язків системи лінійних рівнянь із параметром.

Домашнє завдання перевіряємо за готовими записами на дошці.

ІІІ. Розв’язування тренувальних вправ

1.Визначте, при яких значеннях параметра a система рівнянь

(a −1)x+3y = a,

x+(a+1)y = 2

має: 1) єдиний розв’язок; 2) безліч розв’язків; 3) не має розв’яз­ ків. Знайдіть розв’язки.

Розв’язання

(a −1)x+3y = a,

(1)

x+(a+1)y = 2.

Система має єдиний розв’язок, якщо a1−1 ≠ a3+1.

Заняття 14	65

(a −1)(a+1) ≠ 3, a2 −1≠ 3, a2 ≠ 4.

Отже, при a ≠ ±2 система рівнянь має єдиний розв’язок, знай­ демо його.

Розв’яжемо систему (1) способом додавання. Для цього обидві частини другого рівняння помножимо на 1−a (a ≠1) і здобуте рівняння додамо до першого.

Дістанемо рівняння

(2−a)(2+a)y = 2−a.

(2)

Якщо a = 2, то рівняння (2) має безліч коренів, де x — довільне число, а y = 2a−+x1, отже, й система (1) має безліч розв’язків вигляду

	2−t
t;			,
	a+1

де t .

Якщо a = −2, то рівняння (2) не має коренів, отже, й система (1) не має розв’язків.

Якщо a =1, то система (1) набуває вигляду

3y =1,x+2y = 2.

Розв’язавши останню систему, дістанемо єдиний розв’язок систе-

4		;	1
ми —				.
	3
			3

Якщо a ≠ ±2, то рівняння (2) має єдиний корінь y =

1

, отже,

2

+a

3+a

1

система (1) має єдиний розв’язок

;

.

2

2+a

+a

3+a

1

Відповідь. При a ≠ ±2 система має єдиний розв’язок

;

;

2

+a

2

+a

при a = 2 система має безліч розв’язків вигляду		2−t		, де t ;
	t;
		a+1

приa = −2 система не має розв’язків.

2. Знайдіть усі значення параметра a, при яких система рівнянь

−4x+ax =1+a,(6+a)x+2y = 3+a

не має розв’язків.

66	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики
	Розв’язання. Система рівнянь
		−4x+ax =1+a,
		(6+a)x+2y = 3+a
не має розв’язків, якщо			−4	=	a	≠	1+a	.
			6+a
				2			3+a
	Знайдемо значення параметра						a, при яких виконується рів-

ність

a2 +6a+8 = 0, a2 +6a+9−1= 0,

(a+3) −1= 0 або (a+3) +1= 0, a = −2 або a = −4.

Перевіримо виконання нерівності при знайдених значеннях параметра a:

1) якщо a = −2, то

6−−42 = −22 = 13−−22 = −1.

Нерівність не виконується; 2) якщо a = −4, то

6−−44 = −24 ≠ 13−−44.

Нерівність виконується.

Відповідь. При a = −4 система не має розв’язків.

IV. Підбиття підсумків заняття

Фронтальна бесіда

1.Які способи застосували під час розв’язування систем рівнянь?

2.За якої умови система рівнянь

x+(a −1)y = 2,

(a −1)x+ y = a

має єдиний розв’язок?

V. Домашнє завдання

Розв’язати систему рівнянь

(a −2)x+27y = 9,

2

2x+(a+1)y = −1.

Заняття 15	67

Заняття 15

Тема. Дослідження систем лінійних рівнянь із двома змінними і параметрами

Мета: формувати вміння розв’язувати системи лінійних рівнянь із двома змінними та параметрами; формувати навички застосовувати властивості систем лінійних рівнянь до розв’язування завдань із параметрами.

Хід заняття

I. Організаційний етап

II. Перевірка домашнього завдання

1.Обговорення розв’язання за виконаними записами на дошці.

2.З’ясуйте, при яких значеннях параметра a система рівнянь

(a −2)x+27y = 9,

2

2x+(a+1)y = −1

не має розв’язків.

IIІ. Актуалізація опорних знань

Оскільки на занятті учні розв’язуватимуть системи лінійних рівнянь, то на етапі актуалізації опорних знань доречно розглянути графічне тлумачення розв’язання системи лінійних рівнянь, умови існування її розв’язків та завдання на повторення деяких властивостей.

1.Завдання для усної роботи

Скільки розв’язків має система рівнянь:

1)	3х+4у = 2,		2)	2х −у =5,
	9х+12у = 6;			4х+2у =10;
3)	х −5у = 4,
		= −8?
	−2х+10у

2.Робота в парах

Учитель пропонує учням повторити умови існування розв’яз­ків

системи лінійних рівнянь із двома змінними.

IV. Розв’язування тренувальних вправ

1. Для всіх значень параметра a розв’яжіть систему рівнянь

х −у =1,

а2х −у = а.

68

Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

Розв’язання

х −у =1,

2

х −у = а,

(1)

а

а2х −у = а

х −у =1.

Проаналізуємо відношення відповідних коефіцієнтів рівнянь

системи:

а2

= −1 , а2 =1 а = ±1;

1

−1

а2

=

−1

=

а

при a =1 і

а2

=

−1 ≠

а

при a = −1.

1

−1

1

1

1

−1

Отже, якщо a =1, то система має безліч розв’язків

х ,

= х −1.

у

Якщо a = −1, то система не має розв’язків.

Якщо a ≠ ±1, то система має єдиний розв’язок. Знайдемо його:

х −у =1,

у = х −1,

у = х −1,

= а

−1)х

= а −1.

а2х −у =

а

а2х −х+1

(a2

За умовиa ≠ ±1 маємо:

=

1

х =

,

х

,

1

а+1

а+1

а

у = х −1

у

= −

а

+

1

.

Відповідь. При a =1 безліч розв’язків вигляду (t;t −1), де t ;

при a = −1 розв’язків немає; при a ≠ ±1		1	;−	а
					.
	а+1			а+1

2. Для всіх значень параметра a розв’яжіть систему рівнянь

				= −3,
ах+(a+1)у
				= −6.
2х −(a+1)у
Розв’язання. Проаналізуємо відношення відповідних коефіцієн-
тів рівнянь системи:
	а		а+1
		=			.
	2		−(а+1)

Якщо a ≠ −1, то маємо: −a(a+1) = 2(a+1), a = −2.

Заняття 15	69

	а		а+1					−3
		=				≠			.
	2		−(a+	1)				−6
					а	=−2
Отже, при a = −2 розв’язків немає.
Якщо a = −1, то маємо:
−1х = −3,						х = 3,
							= −3.
2х = −6						х

Отже, при a = −1 розв’язків немає.

Якщо a ≠ −2, a ≠ −1, то система рівнянь має один розв’язок:

+(a+1)у = −3,

2x+ax = −9,

ах

(a+2)х = −9,

(

)

)

у = −6

−(a+1)y = −6−2x

(

+6.

2х −

a+1

a+1 у = 2х

Отже,

= −

9

х

,

а+

2

6(a −1)

=

.

у

(a

+1)(a+

2)

Відповідь. При a = −2, a = −1 розв’язків немає; при a ≠ −2, a ≠ −1

−

9

6(a −1)

;

.

а

+2

(a+1)(a+

2)

3. При яких значеннях параметра a система рівнянь

(a+1)х −3у = 4,

−ау = 3

2х

не має розв’язків?

Розв’язання. Система рівнянь не матиме розв’язків, якщо

а+1

=

−3

≠

4

.

2

3

−а

а+1 = 3

≠ 0,

a ≠ 0,

= −

a = −3,

а

a

3,

2

а

а2 +а −6 = 0

a = 2.

a = 2

Якщо a = −3, то

−3+1

=

−3

4

≠

;

2

−(−3)

3

70	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики
якщо a = 2, то
		2+1	=	−3	≠	4	.
	2			−2		3

Якщо a = 0, то система рівнянь має один розв’язок.

Відповідь. При a = −3, a = 2.

4. При яких значеннях параметра a система рівнянь

(a −1)х+ у = 2,

(a −1)3 х+(3a −5)y = 8

не має розв’язків?

Розв’язання. Система рівнянь не матиме розв’язків, якщо

(a −1)3

=

3а −5

≠

8

.

а −1

1

2

(a −1)3

= 3а −5

а ≠1,

а −1

а2 −2а+1= 3а −5

а ≠1,

а = 3,

=

= 2.

а2 −5а+6

0

а

Маємо: якщо a = 3, то

(3−1)3

=

9−5

=

8

3−1

1

2

і система рівнянь має безліч розв’язків; якщо a = 2, то

(2−1)3	=	6 −5	≠	8
2−1
	1		2
і система рівнянь не має розв’язків.
Якщо a =1, то система рівнянь
(a −1)х+ у = 2,
(a −1)3 х+(3a −5)y = 8
набуває вигляду:
у = 2,		у	= 2,
			= −4.
−2у = 8		у

Відповідь. При a =1, a = 2.

Заняття 15	71

5.Знайдіть усі значення параметра a, при яких система рівнянь має розв’язки. Визначте їх кількість.

2

х+(2

−a)у

= 4+

3

,

а

а

ах+(2a −1)у

= а5 −2.

Розв’язання. Проаналізуємо відношення відповідних коефіцієн-

тів рівнянь системи:

а ≠

0,

a ≠ 0,

а

2

2−а

1

1

1)

=

а ≠

,

a ≠

,

а = ±1;

а

2а −1

2

2

2

=1

а(2a −1) = 2−а

a

2) якщо a =1, то система набуває вигляду

x+ y =5,

отже, систе-

x+ y = −1,

ма розв’язків не має;

3) якщо a = −1, то система набуває вигляду

x+3y = 3,

−3y = −3,

−x

тобто має безліч розв’язків;

4) якщо a = 0 маємо:

2у = 4,

х

,

= 2.

−у = −2

у

Відповідь. При а {−1;0} безліч розв’язків; при а {±1;0} один розв’язок; при а =1 розв’язків немає.

Завдання для самостійної роботи

1.Для всіх значень параметра a знайдіть розв’язки системи рівнянь:

	3х+6у =1−а,
1)			2)	ах+(a+1)у = −3,
	2х+а2у = 2;			4х+(a+4)у = −6;
		= 4а,
3)	(a+1)х+8у		4)	(1−a)х −2ау = 2,
	ах+(a+3)у = 3а −1;			2ах+(a −1)у = а −1.

2.Визначте, при яких значеннях параметра a система рівнянь має єдиний розв’язок:

1)		= 8,	2)	ax −(a −1)y = 0,5,
	2x −3y				)
	ax+12y =12;			(		x −ay = a.
				a −1

72	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

3.Визначте, при яких значеннях параметра a система рівнянь не має розв’язків:

	12						5
1)				−1,	2)	3ax+(a −2) y = 6,
	a x+3y = a
						ax+3(a −2)3 y = 2;
	3ay+2x = 0;
3)	(a −3)4 x+a(5−a)y = 28,
	(a −3)2 x+ay =7.

4.Визначте, при яких значеннях параметра a система рівнянь має безліч розв’язків:

1)	2x+ay = a+2,			2)	ax+ y = 2,
	(a+1)x+2ay = 2a+4;				x+ay = 2a;
		2	−5a+1,
3)	2ax+ y = 6a
	x+2ay =5a2.

Запишіть розв’язки кожної системи рівнянь залежно від параметра.

V. Підбиття підсумків заняття

Фронтальна бесіда

1.Якідіїпотрібновиконатидлявстановленнякількостірозв’язків системи лінійних рівнянь із параметром?

2.Яка залежність повинна існувати між коефіцієнтами рівнянь, якщо система має безліч розв’язків?

VI. Домашнє завдання

1. Визначити, при яких значеннях параметра a система рівнянь

(a −3)4 x+a(5−a)y = 28,

(a −3)2 x+ay =7

не має розв’язків.

2. Визначити, при яких значеннях параметра b система рівнянь

bx+2y = x+1,

y = x+1

має хоча б один розв’язок.

Заняття 16	73

Заняття 16

Тема. Поняття визначника системи лінійних рівнянь із двома змінними

Мета: ввести поняття визначника; ознайомити учнів із методом Крамера для розв’язування систем лінійних рівнянь; формувати вміння обчислювати визначник системи двох рівнянь із двома змінними.

Хід заняття

I. Організаційний етап

IІ. Актуалізація опорних знань

Фронтальне опитування

1.Назвіть способи розв’язання систем рівнянь.

2.У чому полягає спосіб додавання розв’язання систем рівнянь?

3.У чому полягає спосіб підстановки розв’язання систем рівнянь?

4.У чому полягає графічний спосіб розв’язання систем рівнянь?

III. Вивчення нового матеріалу

Учитель. Сьогодні ми ознайомимося ще з одним методом (способом) розв’язання систем лінійних рівнянь, який запропонував швейцарський математик XVII століття Габрієль Крамер.

Запишемо в загальному вигляді розв’язання системи двох лінійних рівнянь із двома змінними способом додавання.

a11x+a12y = b1,		a22		−a21
a21x+a22y = b2;		−a12			a11
					−b2a12,
(a11a22 −a12a21 ) x = b1a22
(−a12a21 + a22a11 ) y = −b1a21 +b2a11.						(1)

Дістали рівні коефіцієнти при змінних x і y:

a11a22 −a12a21 = −a12a21 +a22a11.

Число a11a22 −a12a21 називають головним визначником системи рівнянь і позначають так:

∆= a11 a12 . a21 a22

Число b1a22 −b2a12 називають першим допоміжним визначником системи рівнянь і позначають так:

74

Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

Заняття 16

75

∆x =

b1 a12 .

Блок-схема

Початок

b2 a22

Число a11b2 −b1a21 називають другим допоміжним визначником

Обчислити ∆,∆x,∆y

системи рівнянь і позначають так:

∆y =

a11 b1 .

ні

∆ = 0

так

a21 b2

У нових позначеннях система (1) лінійних рівнянь із двома

∆x

∆y

змінними набуває вигляду:

ні

∆x = 0

так

∆ x = ∆x,

∆ ;

∆

∆ y = ∆y.

∆y = 0

Суть методу Крамера:

99 якщо ∆ ≠ 0, то система рівнянь має єдиний розв’язок:

Система

∆x

∆y

несумісна

Безліч розв’язків, x і y — будь-

які числа, які задовольняють

x = ∆ , y = ∆ ;

одне з рівнянь системи

99 якщо ∆ = 0, ∆x = 0, ∆y = 0, то x і y — будь-які числа, що задо-

вольняють одне з рівнянь системи;

99 якщо ∆ = 0, ∆x ≠ 0, то рівняння ∆ x = ∆x

не має розв’язків, сис-

Кінець

тема рівнянь несумісна;

99 якщо ∆ = 0,

∆y ≠ 0, то рівняння ∆ y = ∆y

не має розв’язків, сис-

Оскільки головний визначник не дорівнює нулю, то система

тема рівнянь несумісна.

рівнянь має єдиний розв’язок:

Алгоритм розв’язування систем рівнянь методом Крамера мож-

x =

∆x

=

−3

=1,

y =

∆y

=

−6

= 2.

на проілюструвати за допомогою блок-схеми.

∆

−3

∆

−6

IV. Закріплення нових знань

Відповідь. (1; 2).

1. Розв’яжіть систему рівнянь

2x −2y = 4,

методом Крамера.

x+2y =5, методом Крамера.

2. Розв’яжіть систему рівнянь

2x+ y = 4

x −y =

3

Розв’язання. Знайдемо головний визначник системи рівнянь:

Розв’язання

∆ =

1 2

=1 1−2 2 =1−4 = −3.

∆ =

2 −2

= 2 (−1) −(−2) 1= −2+2 = 0;

2 1

1 −1

Знайдемо допоміжні визначники:

∆x =

4 −2

= 4 (−1)

−(−2) 3 = −4+6 = 2.

∆x =

5 2

=5 1

−2 4 =5−8 = −3.

3 −1

4 1

Оскільки ∆ = 0, ∆x ≠ 0, то рівняння ∆ x = ∆x не має розв’язків,

1 5

∆y =

=1 4 −5 2 = 4 −10 = −6.

система рівнянь несумісна.

2 4

Відповідь. Система рівнянь несумісна.

76	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

3. Розв’яжіть систему рівнянь методом Крамера

2x −3y = 6,3x −4,5y = 9.

Розв’язання

∆ = 23 −−34,5 = 2 (−4,5) −(−3) 3 = −9+9 = 0;

6−3

∆x = 9 −4,5 = 6 (−4,5) −(−3) 9 = −27 +27 = 0;

26

∆y = 3 9 = 2 9−6 3 =18 −18 = 0.

Оскільки

∆ = 0,

∆x = 0, ∆y = 0, то система рівнянь має безліч

розв’язків.

Нехай y = t, t — будь-яке число, тоді 2x −3t = 6, звідки

x =

3

t+3.

2

Отже, усі розв’язки системи рівнянь можна записати у вигляді

3

t+3;t

,

2

де t

— довільне число.

3

Відповідь.

t+3;t , де t — довільне число.

2

Завдання для самостійного розв’язування

Розв’яжіть системи рівнянь методом Крамера:

1)

5x+ y = 4,

2)

2x −3y = 0,

x −2y = 3;

3x −2y =5;

2x

−

5y

= −3,

x+ y

−

x −y

= 8,

2

3

3)

3

4

4)

5x

+

7y

= 6;

x+ y

+

x −y

=11;

8

3

4

6

5)

3(y −2x) −(5y+2) =5(1−x),

−2x) + y.

7 −6(x+ y) = 2(3

Заняття 17	77

V. Підбиття підсумків заняття

Фронтальна бесіда

1.Що таке головний визначник системи?

2.Що таке допоміжні визначники системи?

3.Як за допомогою знаходження визначників можна розв’язати систему лінійних рівнянь?

VI. Домашнє завдання

Розв’язати системи рівнянь методом Крамера:

2−5(0,5y −2x) = 3(3x+2) +2y,

1) 4(x −2y) −(2x+ y) = 2−2(2x+ y);

(x+3)(y+5) = (x+1)(y+8),

2) (2x −3)(5y+7) = 2(5x −6)(y+1).

Заняття 17

Тема. Розв’язування і дослідження систем рівнянь із параметрами за допомогою методу Крамера

Мета: формувати вміння застосовувати метод Крамера до розв’язу­ вання та дослідження розв’язків систем рівнянь із параметрами; розвивати логічне мислення.

Хід заняття

I. Організаційний етап

II. Актуалізація опорних знань

Актуалізацію опорних знань проводимо за блок-схемою розв’я­ зування систем лінійних рівнянь із параметрами.

III. Вивчення нового матеріалу

Учитель. Для дослідження розв’язків систем рівнянь із параметрами зручно користуватися методом Крамера. Розглянемо кілька прикладів.

Приклад 1. Розв’яжіть систему рівнянь

ax+6y =1,

x+3y = 2

залежно від параметра a.

78	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

Розв’язання. Знайдемо головний визначник системи рівнянь:

∆ = 1a 63 = a 3−6 1= 3(a −2).

Якщо a = 2, то ∆ = 0; якщо a ≠ 2, то ∆ ≠ 0. Знайдемо допоміжні визначники:

16

∆x = 2 3 =1 3−6 2 = 3−12 = −9.

∆x ≠ 0 при будь-яких значеннях a, тому при a = 2 система несу­

місна.

a1

∆y = 1 2 = 2a −1.

Отже, приa ≠ 2 система рівнянь має єдиний розв’язок: x = ∆∆x = 3(a−9−2) = −a3−2; y = ∆∆y = 32(aa −−12).

Відповідь. При a = 2 система рівнянь несумісна; при a ≠ 2

−a3−2;32(aa −−12) .

Приклад 2. Розв’яжіть систему рівнянь

6x −ay = a+4,

3x+ y =1

залежно від параметра a.

Розв’язання. Знайдемо головний визначник системи рівнянь:

∆ = 63 −1a = 6 1−(−a) 3 = 3(a+2).

Якщо a = −2, то ∆ = 0; якщо a ≠ −2, то ∆ ≠ 0. Знайдемо допоміжні визначники.

∆x = a1+4 −1a = (a+4) 1−(−a) 1= a+4+a = 2(a+2).

Якщо a = −2, то ∆x = 0; якщо a ≠ −2, то ∆x ≠ 0.

∆y = 6 a+4 = 6 1−(a+4) 3 = 6 −3a −12 = −3(a+2). 3 1

Якщо a = −2, то ∆y = 0; якщо a ≠ −2, то ∆y ≠ 0.

Заняття 17										79
Отже, якщо a ≠ −2, то
x =	∆x	=	2(a+2)	=	2	; y =	∆y	=	−3(a+2)	= −1.
	∆		3(a+2)		3		∆		3(a+2)

Якщо a = −2, то ∆ = 0, ∆x = 0, ∆y = 0. Це означає, що система рівнянь має безліч розв’язків (x;y), де x і y — корені одного з рівнянь системи. Нехай y = t, t — будь-яке число. Тоді з другого рів-

няння системи дістанемо:

3x+t =1; 3x =1−t; x =

1−t

,

3

1−t

тобто пара чисел

;t

, де t

— довільне число, є розв’язком по-

3

даної системи рівнянь.

2

1−t

Відповідь. При a ≠ −2

;−1

; приa = −2

;t

, де t — довіль-

3

3

не число.

IV. Закріплення нових знань

1. Розв’яжіть систему рівнянь залежно від параметра a:

			x		−ay =	3	,
	2x+ay = 3,
1)		2)				2
			2
	3x −ay = 2;		x		+ y =1.
			2

2.При яких значеннях параметра m система рівнянь має єдиний розв’язок:

1)	mx+6y =1,	2)	x −2my = 3,
	x+3y = 2;		x+3y = 3?

V. Підбиття підсумків заняття

Фронтальна бесіда

1.У чому полягає метод Крамера?

2.У якому випадку система має безліч розв’язків? Як ці розв’язки визначають?

VI. Домашнє завдання

1. При яких значеннях параметра c система несумісна:

1)	cx+6y = 2,	2)	x+2y = 6,
	x −2y = 3;		2x −cy = 8?

=1 a −1 (2a+1) = −a −1;

80	Рівняння з параметрами в поглибленому курсі математики

Заняття 18

Тема. Розв’язування і дослідження систем рівнянь із параметром за допомогою методу Крамера

Мета: формувати навички розв’язування систем лінійних рівнянь із параметрами методом Крамера; розвивати логічне мислення.

Хід заняття

I. Організаційний етап

II. Актуалізація опорних знань

1.Перевірка домашнього завдання

На дошці заздалегідь записані розв’язання систем із пропуска-

ми деяких логічних дій. Учні доповнюють записи.

2. Повторення теоретичних відомостей

1)Що таке головний визначник системи лінійних рівнянь?

2)Як знайти допоміжні визначники системи?

3)Як за допомогою визначників знайти розв’язки системи?

III. Розв’язування тренувальних вправ

1.Розв’яжіть систему рівнянь

ax −y = a,x+ay =1

залежно від параметра a.

Розв’язання. Знайдемо головний визначник системи рівнянь:

∆= 1a −a1 = a a −(−1) 1= a2 +1;

∆≠ 0 при всіх дійсних значеннях a, тому система рівнянь має єдиний розв’язок.

Знайдемо його.

∆

x

=

a −1

= a a −(−1) 1

= a2 +1,

x = ∆x =

a2 +1

=1;

1

a

a2 +1

∆

∆

=

a a

= a 1−a 1

= 0, y =

∆y

=

0

= 0.

y

1

1

a2 +1

∆

Відповідь. При всіх значеннях a (1;0). 2. Розв’яжіть систему рівнянь

ax+ y = a,x+ay =1

залежно від параметра a.

Заняття 18	81

Розв’язання. Головний визначник системи рівнянь дорівнює:

∆ = 1a a1 = a2 −1.

Якщо a = ±1, то ∆ = 0; якщо a ≠ ±1, то ∆ ≠ 0. Знайдемо допоміжні визначники:

a1

∆x = 1 a = a a −1 1= a2 −1;

aa

∆y = 1 1 = a 1−1 a = 0.

Якщо a =1, то ∆ = 0 і ∆x = 0, ∆y = 0, отже, система має безліч розв’язків. Нехай y = t, тоді з другого рівняння системи маємо: x =1−t. Отже, пара чисел (1−t;t), де t — будь-яке число, є роз­ в’язком системи при a =1.

Якщо a = −1, то ∆ = 0 і ∆x = 0, ∆y = 0.

Отже, система має безліч розв’язків вигляду (t+1;t), де t . Якщо a ≠ ±1, то ∆ ≠ 0, ∆x ≠ 0, ∆y = 0, отже,

x =	∆x	=1,	y =	∆y		= 0.
	∆			∆
(1;0) — розв’язок системи при a ≠ ±1.
Відповідь. При a =1 (t −1;t),			t —		будь-яке число; приa = −1

(t+1;t), t — будь-яке число; при a ≠ ±1 (1;0). 3. Розв’яжіть систему рівнянь

ax+ y =1,x+ay = 2a+1

залежно від параметра a.

Розв’язання. Обчислимо головний визначник системи:

∆ = 1a a1 = a2 −1.

Якщо a = ±1, то ∆ = 0; якщо a ≠ ±1, то ∆ ≠ 0. Обчислимо допоміжні визначники:

1 1

∆x = 2a+1 a