1.2. Случайные величины

Результатом опыта со случайным исходом может быть число. Так при бросании кости выпадает от 1 до 6 очков, т.е. с опытом связана случайная величина, принимающая с одинаковой вероятностью значения 1, 2, …, 6. С бросанием монеты также удобно связать случайную величину, принимающую с вероятностьюзначения 0 или 1. Если же монету подброситьn раз, то число выпадений герба является случайной величиной, принимающей значения от 0 до n.

Если случайная величина принимает значения т.е. конечное или счётное множество значений, то она называется дискретной случайной величиной. Закон распределения дискретной случайной величины задаётся вероятностями. При этом всегдаВажнейшими дискретными случайными величинами (сл.вел.) являются:

1. бернуллиевская сл.вел., принимающая два значения 1 и 0,

, q (бросание монеты, не обязательно симметричной);

2. биномиальная сл.вел. принимающая значения 0,1,…,n,

, i=0,1,…,n (число выпадений орла в серии из n бросаний несимметричной монеты, когда вероятность выпадения орла равна р, решки– q=1-p, ).

3. пуассоновская сл.вел., принимающая значения 0,1,…,

,i=0,1,… (число телефонных звонков или щелчков счётчика Гейгера за некоторый промежуток времени, если среднее число звонков или щелчков за подобный промежуток равно ).

Наряду с дискретными встречаются и непрерывные сл.вел.. В

качестве примеров можно привести время, проведённое на остановке в ожидании автобуса, расстояние на которое прыгает спортсмен на соревнованиях по прыжкам в длину, ваш собственный вес, измеренный после лечебной диеты и т.д.

Для непрерывной сл.вел. имеет смысл говорить не о вероятности точного значения, а о вероятности того, что значение сл.вел. попадёт в некоторый интервал значений. Закон распределения непрерывной сл.вел. Х задаётся функцией плотности вероятности таким образом, что. При этоми

Важнейшими непрерывными распределениями являются равномерное на некотором отрезке распределение и нормальное распределение. При равномерном на распределенииприиприВ этом случае вероятность попадания в некоторый интервал равна отношению длины интервала к длине отрезка

Нормальное распределение задаётся двумя параметрами: своим средним значением и разбросом вокруг него . Его плотность выражается формулой . Как видно из формулы, плотность максимальна при х= и симметрично убывает в обе стороны от . Тот факт, что Х распределена по нормальному закону с параметрами ,  кратко записывают в виде Х~(,). Нормальное распределение (0,1) называется стандартным. Его плотность имеет вид .

Чтобы единым образом описывать дискретные и непрерывные сл.вел., для сл.вел. Х вводят функцию распределения . Для дискретной сл.вел.

Для непрерывной сл.вел.

Функция распределения- это неотрицательная функция, монотонно возрастающая от 0 до 1. Если Х- дискретная сл.вел., то - кусочнопостоянная функция со скачками в точкахх₁, х₂, …, равными вероятностями этих значений. Например, для бернулиевской сл.вел.

Если Х- непрерывная сл.вел., то - непрерывная функция и

Для любой сл.вел. имеет место соотношение

Для решения широкого круга вопросов, связанных со сл.вел. нет необходимости точно знать закон распределения, достаточно некоторых его числовых характеристик. Наиболее информативными и часто используемыми такими характеристиками являются математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание МХ– это средневзвешенное значение случайной величины Х. Для дискретной сл.вел. , для непрерывной сл.вел.при условии, что ряд или интеграл сходятся абсолютно.

Основные свойства математического ожидания;

1. М(сХ)=сМХ (постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания);

2. М(Х+У)=МХ+МУ (математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий).

Дисперсия является мерой разброса сл.вел. вокруг среднего

значения. Если МХ=, то дисперсия DX есть DX=М(X-)², при условии, что математическое ожидание существует. Используя свойства математического ожидания, легко получить эквивалентную формулу для дисперсии Дисперсия всегда неотрицательна. Корень квадратный из дисперсии называется средним квадратическим или стандартным отклонением и обозначается

Основные свойства дисперсии:

1. D(сХ)=с²DХ (при умножении сл.вел. на постоянный множитель дисперсия умножается на его квадрат);

2. если Х и У– независимые сл.вел., то D(Х+У)=DХ+DУ (дисперсия суммы независимых сл.вел. равна сумме дисперсий).

Пусть МХ=, DХ=². Тогда, как следует из приведённых

свойств, для случайной величины Y= справедливо МY=0, DY=1. Подобное линейное преобразование часто используется и называется приведением сл.вел. к стандартному виду.

Найдём математическое ожидание и дисперсию рассмотренных ранее распределений.

1. Пусть Х– бернуллиевская сл.вел. Тогда

2. Пусть Х– биномиальная сл.вел. Её можно рассматривать как сумму n независимых бернуллиевских сл.вл. Поэтому

3. Пусть Х– пуассоновская сл.вел. =Таким образом, и математическое ожидание, и дисперсия пуассоновского распределения равны.

4. Пусть Х– равномерно распределения на сл.вел. Тогдат.е. математическое ожидание совпадает с серединой отрезка.

5. Если Х– нормально распределённая сл.вел. с плотностью вероятности тоМХ=, DX=².