2.5. Диагностика качества технологий.
Диагностика качества как классификация образов.
ТП и ТОП любых современных технологий (ТЕХ) имеют вполне определенные регламенты и режимы, гостированные соответствующими стандартами. В данных стандартах задают опорные значения векторов Sr состояний ТЕХ или опорные значения {Srt} ТР ТЕХ (r = 1, 2, … R; t = 1, 2, … T). Иногда задают также и Prr(S) или Prr({St}) плотностей распределений стандартных состояний или ТР ТЕХ. Вместо плотностей распределений могут быть также использованы нечеткие функции принадлежности r(S) или r(St) соответственно. При реализации какой-то конкретной ТЕХ возникают задачи ее диагностики – соотнесения неизвестных векторов X реальных состояний, ТР {Xt} или их плотностей распределений гостированным значениям. Такую задачу вполне можно трактовать, как задачу распознавания или классификации образов, понимая под образами векторы X состояний, ТР {Xt}, плотности Prr(X) или Prr(Xt), и применять различные подходы.
Геометрический подход к классификации
состояний технологий.
Предположим, что стандартами заданы R технологических регламентов (классов) 1, 2, … R, каждый из которых описывается своим средним значением вектора Sr состояний и ковариационной матрицей COVr рассеяния его компонентов, как показано на рисунке 2.5.1.
Допустим, что априорные вероятности отнесения неизвестного вектора X = (X1, X2, … XN) состояния к какому-либо классу r одинаковы. Данная ситуация справедлива, когда отсутствует дополнительная информация об анализируемом состоянии. Вся информация содержится лишь в самом векторе X состояния ТЕХ. Пусть Pr(Xr) = Prr(X) есть плотность распределения вектора X при условии, что он принадлежит классу r. В таком случае условная вероятность того, что при наблюдении вектора X состояние ТЕХ относится к классу r, определяется по теореме Байеса выражением нормированного правдоподобия
Pr(r X) = Pr(Xr) / R Pr(Xr). (2.5.1)
Рис. 2.5/1
Вероятность того, что вектор X не принадлежит классу r , определяется выражением 1 – Pr(r X), задающим вероятность ошибки.
Решающее правило представляет собой алгоритм (функцию), относящий X точно к одному из R заданных классов. Оптимальным считается решающее правило, которое дает наименьшую вероятность ошибки при всех допустимых значениях X. Значение r, при котором величина 1 – Pr(r X) будет наименьшей, совпадает со значением, которому соответствует наибольшее значение вероятности Pr(r X). Итак, оптимальное решающее правило относит вектор X к классу r в том и только том случае, если выполняются неравенства
Pr( r X) > Pr( r' X) для r' r .
Допустим, что плотности распределения векторов X для всех классов нормальны, т.е.
Pr(Xr) = exp[–(X–Sr)+COV-1r(X –Sr)/2]/(2)N/2 COVr 1/2. (3.4.2)
Будем далее считать, что все компоненты векторов состояний независимы. Тогда получим следующие зависимости ковариационной и обратной ковариационной матриц от дисперсий помех
COVr
=
,
COV-1r
=
,
COVr = h2r1 h2r2 …h2rn … h2rN . (3.4.3)
Оптимальное решающее правило можно записать в виде вектор X относится к тому классу r , для которого условная вероятность Pr(r X) максимальна.
Пример 3.4.1. Рассмотрим три регламента ТЕХ, описываемых для наглядности двумерными векторами состояний и соответствующими областями 1, 2, 3, как показано на рисунке 3.21 и в таблице 3.7.
Рис. 3.21
Таблица 3.7
-
Опорные состояния
s1
h21
s2
h22
S1
6,20
4,00
5,20
16,00
S2
9,20
5,00
7,20
4,00
S3
2,70
16,00
4,50
16,00
Даны неизвестные векторы состояний X1, X2, и X3, показанные на рисунке 3.21 и приведенные в таблице 3.8. Необходимо выяснить, к каким регламентам ТЕХ они относятся.
Таблица 3.8
-
Неизвестные состояния
x1
x2
X1
5,00
2,00
X2
9,00
6,50
X3
4,00
8,00
Вычислим в соответствии с (3.4.1) и (3.4.2) правдоподобия Pr(r X) для всех трех неизвестных векторов. Результаты приведены в таблицах 3.9 а,б,в.
Таблица 3.9а
-
Класс
Pr(X1r)
Pr(r X1)
Классификация
Вероятности ошибок
S1
0,007
0,600
1
0,400
S2
0,000
0,000
0
1,000
S3
0,005
0,400
0
0,600
Таблица 3.9б
-
Класс
Pr(X2r)
Pr(r X2)
Классификация
Вероятности ошибок
S1
0,002
0,04
0
0,96
S2
0,036
0,94
2
0,06
S3
0,000
0,01
0
0,99
Таблица 3.9в
-
Класс
Pr(X3r)
Pr(r X3 )
Классификация
Вероятности ошибок
S1
0,004
0,46
0
0,54
S2
0,000
0,02
0
0,98
S3
0,004
0,52
3
0,48
Пример 3.4.2. Воспользуемся теперь для решения предыдущего примера оптимальной по разрешению мерой сходства 1(X, Sr) из (2.3.27). Результаты расчетов приведены в таблицах 3.10.
Таблица 3.10
|
Классы |
1(X1,Sr) |
Класс r |
1(X2,Sr) |
Класс r |
1(X3,Sr) |
Класс r |
|
S1 |
6,50 |
1 |
11,08 |
0 |
4,71 |
0 |
|
S2 |
0,58 |
0 |
205,08 |
2 |
3,45 |
0 |
|
S3 |
2,51 |
0 |
2,82 |
0 |
5,74 |
3 |
Из таблицы следует, что результаты полностью совпадают, несмотря на большую вероятность ошибок классификации из-за значительного рассеяния областей 1 и 3.
Таким образом, геометрический подход к диагностике состояний ТЕХ может быть полностью основан на использовании оптимальных по разрешению мер сходства, например 1(X, Sr).