Вопросы для самопроверки к главе 2
1. Что такое выборочные значения и как они связаны с генеральной совокупностью случайного события?
2. Как связана выборочная вероятность или частость случайного события с его теоретической вероятностью? Приведите содержательный пример.
3. Поясните природу помех в авторегрессионных моделях, описывающих динамику технологических процессов.
4. Что такое статистически независимые события? Как математически описываются вероятности независимых событий?
5. Объясните смысл нормального распределения. В чем его преимущества, недостатки?
6. Покажите на примере как вычисляются выборочные статистики: среднее значение, дисперсия, ковариация.
7. Как выглядит ковариационная матрица случайного события, описываемого независимыми выборками?
8. Как выглядит ковариационная матрица двухпараметрического, трехпараметрического вектора состояния ТП?
9. Поясните смысл несмещенности, эффективности и состоятельности статистических оценок .
10. Приведите пример статистик второго порядка, более высокого порядка. Как используются данные статистики?
11. Чем отличаются вероятностное и нечеткое описание неопределенностей ТП?
12. Объясните смысл использования нечетких функций принадлежности для описания неопределенностей состояний ТП.
Тренировочные задания
1. Уравнение ТП (1.1.2) для m = 1 имеет вид
St = St-1 + Ct + Ht ,
Предположим, что данное уравнение описывает рост биомассы (концентрации) S некоторого основного ингредиента вещества под воздействием дополнительного ингредиента вещества, имеющего концентрацию C. Пусть в начале процесса концентрация основного вещества равна S0, а концентрация дополнительного ингредиента равна C0. При этом концентрация дополнительного ингредиента убывает со временем t (t = 1, 2, 3, … T) по линейному закону
C t = C0 – t.
Покажите, что зависимость St от , C0 , и T при = 1 выражается как
ST
= S0
+
C0
T –
T
(T
+1)/2 +
.
Указание. Воспользуйтесь последовательной подстановкой значений t = 1, 2, 3, … T в уравнение ТП и формулой суммы членов арифметической прогрессии 1+2+3+… +T = T (T +1)/2.
2. Покажите, что зависимость St от , C0 , и T при произвольном выражается как
ST = T S0 + C0 [1+ +2 +…+ T-1] –
– [
T-1+2
T-2+3
T-3
+…+(T–1)
+
T]
+
.
3. Преобразуйте полученное в 2 выражение, воспользовавшись формулой геометрической прогрессии
0
+ 1
+ 2
+ … +
T-1
=
.
4. Найдите значение концентрации S основного ингредиента к моменту исчезновения дополнительного ингредиента при = 1. Покажите при каких значениях будет наблюдаться прирост концентрации основного ингредиента.
5. Дайте объяснение полученной модели ТП и смысла коэйффициентов , и . Постройте примерную диаграмму ТП (см. рис.1.2.1).
6. Воспользовавшись правилом расчета дисперсий (см. стр. 27) покажите, что для úaú < 1 ошибка (дисперсия sS2 = = var(S)) определения ТП St имеет вид
var(S) = [ 2 2 T 2 /12+ sH2]/(1–2),
если помеха некоррелирована c ТП, т.е., cov(St, Ht) = 0 и cov(Сt, Ht) = 0, а также имеет дисперсию var(Ht, Ht) = sH2.
Указание. var(t) = T 2 /12.