2.6. Нерівність Юнга

Нехай – неперервна строго зростаюча функція від , і(див. рис. 3). Розглядаючи площі, представлені відповідними інтегралами, ми переконуємося в тому, що

, (***)

де - функція, обернена до. Легко бачити, що рівність тут має місце тільки при. Ця нерівність називається нерівністю Юнга. Вибираючи у ролірізні функції, ми отримуємо ряд цікавих результатів.

Візьмемо, наприклад, у ролі функції функцію,p>1, оберненою до якої є функція . У цьому випадку співвідношення (***) приймає вид

,

де .

Нехай і. Тоді отримуємо, що привиконується нерівність.

Вибираючи в ролі функції функціюта використовуючи обернену до неї функціюіз (***) знаходимо

.

Замінюючи на, отримуємо нерівність. Одержане співвідношення в математиці застосовується в теорії рядів Фур’є.

Нехай . Тоді. Користуючись нерівністю Юнга, знаходимо

,

звідки отримуємо нерівність

.

При дістаємоабо.

Таким чином, доведена нерівність .