1.6. Доведення нерівностей методом математичної індукції

Метод математичної індукції ґрунтується на принципі математичної індукції, що формулюється так: деяке твердження істинне для будь-якого натурального, якщо:

1) воно істинне для ;

2) з того, що істинне для довільного натуральноговипливає, що воно істинне для наступного натурального числа.

Сформульований принцип належить до аксіом натуральних чисел.

Кожне доведення методом математичної індукції передбачає реалізацію трьох етапів: на першому показуємо, що істинним є твердження ; на другому припускаємо, що істинним є твердженняі, виходячи з цього, доводимо, що істинним є твердження. Виконані міркування дозволяють стверджувати, що твердженняістинне для будь-якого натурального. Відповідний висновок є третім етапом і завершує доведення.

Іноді використовують узагальнений принцип математичної індукції: твердження істинне для будь-якого натурального, якщо воно вірне для натурального числаі з того, щоістинне для довільного натуральноговипливає, що воно істинне для наступного натурального числа.

Описаний метод широко використовується при обґрунтуванні різних математичних тверджень, зокрема при доведенні нерівностей. Розглянемо це на прикладах.

Задача 1.6.1.Довести, що для довільнихта натурального числавиконується нерівність

.

Доведення. Очевидно, що привиконується рівність, тому дане твердження вірне. Нехай воно істинне при деякому натуральному числі, тобто вірно, що. Користуючись цим припущенням, покажемо, що вірною є також нерівність. Оскільки ліва частина, згідно з припущенням, обмежена виразом

,

то для доведення достатньо показати, що . Для цього розглянемо різницю

.

Одержаний вираз при завжди від’ємний або дорівнює 0 (при, тому. Згідно з принципом математичної індукції вірною є також початкова нерівність.

Задача 1.6.2.Довести, що для довільного натурального числавиконується нерівність

.

Доведення. Приотримуємо нерівність, яка вірна. Нехай вона вірна при деякому натуральному числі, тобто виконується нерівність. Користуючись цим припущенням, покажемо, що вірною є також нерівність. Дістаємо

.

Перший доданок одержаного виразу додатний за індуктивним припущенням. Оцінимо суму інших доданків, тобто вираз . Функціямає похіднута екстремуми у точках, і, очевидно, зростає на проміжку. Переконавшись, що, можемо стверджувати, що привиконується нерівність. Посилання на принцип математичної індукції завершує доведення.

Задача 1.6.3.Довести, щодля всіх натуральних.

Розв’язання. Приотримуємо нерівність, яка вірна. Нехай вона вірна при деякому натуральному числі, тобто виконується нерівність. Користуючись цим припущенням, покажемо, що вірною є також нерівність. Маємо

,

оскільки при. На основі принципу математичної індукції стверджуємо, що задана в умові нерівність вірна.

Задача 1.6.4.Довести, що для довільного натурального числавиконується нерівність

.

Доведення. Приотримуємо вірну нерівність. Нехай вона вірна при деякому натуральному числі, тобто нехай виконується нерівність

.

Використовуючи це припущення, покажемо, що вірною є також нерівність

.

Очевидно, що , де. Виразявляє собою сумудробів, кожний з яких більший, ніж. Отже,

.

Таким чином, (за припущенням) і. Тому, тобто. На основі принципу математичної індукції стверджуємо що задана в умові нерівність виконується для довільного натурального числа.

Задача 1.6.5.Довести, що для довільного натурального числата для довільних дійсних чиселвиконується нерівність

.

Доведення. Принерівністьвірна. Справді, вона вірна у випадку, коли одне з чисел (або обидва) рівні 0. У випадку, коли обидва числа додатні або обидва від’ємні, виконується знак рівності. Якщо ж числа різних знаків, то дістаємо строгу нерівність. Можливі і інші доведення цього факту, наприклад, аналітичним методом або методом доведення від супротивного.

Нехай нерівність вірна при деякому натуральному , тобто виконується співвідношення. Тоді

,

що, згідно з принципом математичної індукції, завершує доведення.

Задача 1.6.6.Довести, що дляпри всіх натуральнихвиконується нерівність(нерівність Бернуллі).

Доведення. Привиконується знак рівності, тому твердження вірне. Нехай виконується нерівність. Тоді

і, відповідно до принципу математичної індукції, нерівність вірна.

Задача 1.6.7.Довести методом математичної індукції, що при

.

Доведення. Приотримуємо вірну числову нерівність. Припустимо, що вірна нерівністьі покажемо, що

.

Із припущення маємо . Покажемо, що. Аналізуючи різницю квадратів лівої та правої частин, дістаємо, що доводить потрібне твердження. Отже, відповідно до принципу математичної індукції, нерівність доведена.

Задача 1.6.8.Довести, щодля всіх натуральних.

Доведення. Приотримуємо вірну числову нерівність. Нехай виконується нерівність. Покажемо, що звідси випливає вірність співвідношення. Маємо

.

Одержаний вираз додатний при . Таким чином із припущення, що нерівність вірна привипливає, що вона вірна при. Згідно з принципом математичної індукції нерівність виконується при довільному натуральному.