Б) Ділення многочлена на лінійний двочлен
Розглянемо важливий випадок ділення многочлена f(x) на лінійний двочлен x–α. Скористаємось методом невизначених коефіцієнтів.
anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=(x–α)(An-1xn-1+An-2xn-2+…+A1x+A0)+r.
Тут r = const, оскільки deg r(x)=m–1=1–1=0.
Прирівнявши коефіцієнти в обох частинах, отримаємо:
an=An-1
An-1=an,
an-1=An-2-αAn-1
An-2=an-1+αAn-1,
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
a1=A0-αA1
A0=a1+αA1,
a0=r-αA0
r=a0+αA0.
Із отриманих формул випливає, що поділити многочлен на лінійний двочлен можна за певною схемою, яка називається схемою Горнера.
|
|
an |
an-1 |
an-2 |
an-3 |
… |
a1 |
a0 |
|
α |
an
An-1 |
αAn-1+ +an-1
An-2 |
αAn-2+ +an-2
An-3 |
αAn-3+ +an-3
An-4 |
|
αA1+ +a1
A1 |
αA0+ +a0
A0 |
Приклад. Поділити многочлен x5-3x3+x2-2x+1 на x-1 за схемою Горнера.
|
|
1 |
0 |
-3 |
1 |
-2 |
1 | |
|
1 |
1 |
1 |
-2 |
-1 |
-3 |
-2 | |
|
1 |
1 |
2 |
0 |
-1 |
-4 |
| |
|
1 |
1 |
3 |
3 |
2 |
| ||
|
1 |
1 |
4 |
7 |
| |||
|
1 |
1 |
5 |
| ||||
|
1 |
1 |
| |||||
|
|
1 |
0 |
-3 |
1 |
-2 |
1 |
|
|
1 |
1 |
-2 |
-1 |
-3 |
-2 |
Отже, s(x)=x4+x3-2x2-x-3, r= -2.
Теорема (Безу). Для довільного елемента α поля Р остача при діленні
многочлена
f(x)
P[x]
на x-α дорівнює f(α).
Дійсно, згідно формули ділення з остачею f(x)=(x-α)s(x)+r. Підставимо x=α. Отримаємо f(α)=r, що й треба довести.▲
За допомогою багаторазового ділення многочлена f(x) на лінійний двочлен x-α з допомогою схеми Горнера можна дістати розклад многочлена f(x) за степенями двочлена x-α, який часто використовується в алгебрі та математичному аналізі.
f(x)=(x-α)f1(x)+r0,
f1(x)=(x-α)f2(x)+r1,
f2(x)=(x-α)f3(x)+r2,
- - - - - - - - - - - - -
fn-1(x)=(x-α)fn(x)+rn-1.
Ясно, що fn(x) є многочленом нульового степеня. Позначимо fn(x)=rn. Виключивши послідовно всі fi(x), i=1,2,…, n-1, отримаємо
f(x)=rn(x-α)n+rn-1(x-α)n-1+…+r1(x-α)+r0.
Таким чином, отримаємо подання многочлена f(x) як многочлена від змінної y=x-α.
Приклад.
Знайти розклад многочлена f(x)=x5-3x3+x2-2x+1 за степенями двочлена x-1.
f(x)=(x-1)5+5(x-1)4+7(x-1)3+2(x-1)2-4(x-1)-2.
В) Подільність многочленів
Важливим
для розгляду є випадок ділення многочленів
“без остачі”, або, інакше, “націло”.
Тоді говорять, що f(x)
ділиться на g(x).
Позначають: f(x)
g(x).
Властивості подільності
(узагальнення2,3).
Всі ці властивості очевидні і випливають безпосередньо із властивостей подільності в довільному цілісному кільці. Два многочлени із P[x] називаються асоційованими, якщо вони діляться один на одного. Такі многочлени можуть відрізнятися тільки сталим множником. Відношення “бути асоційованими” є відношенням еквівалентності.