- •Многочлени
- •§1. Многочлени від однієї змінної Кільце многочленів
- •§2. Подільність многочленів а) Ділення з остачею
- •Б) Ділення многочлена на лінійний двочлен
- •В) Подільність многочленів
- •Властивості подільності
- •Найбільший спільний дільник
- •Найменше спільне кратне
- •Г) Звідність многочленів
- •Д) Корені многочленів
- •§2.Многочлени над числовими полями а)Многочлени над полем с
- •Б) Многочлени над полем r
- •В) Многочлени над полем q
- •§3.Многочлени від багатьох змінних а) Загальні відомості
- •Б) Симетричні многочлени
Найбільший спільний дільник
4
Спільний дільник многочленів f(x) та g(x), який ділиться на кожний інший спільний дільник цих многочленів, називається їх найбільшим спільним дільником (НСД) і позначається (f,g). НСД многочленів визначається однозначно з точністю до сталого множника (оскільки, якщо d(x) – НСД , то й c·d(x), де ,теж НСД).
Многочлени f(x) та g(x) називаються взаємно простими, якщо кожний їхній спільний дільник є ненульовою константою, тобто (f,g)=1.
Розглянемо спосіб знаходження НСД (алгоритм Евкліда).
Нехай дано многочлени f(x) та g(x), причому . Виконаємо послідовне ділення з остачею:
Тут оскільки послідовність степенів многочленівg(x), r1(x), r2(x),... є монотонно спадною. Оскільки степінь r1(x) не вищий за m-1, де m=deg g, то кількість кроків в алгоритмі не перевищує m.
Оскільки (f,g)=(g,r1)=(r1,r2)=(r2,r3)=…=(rn-1,rn)=(rn,0)=rn, то остання відмінна від нуля остача rn(x) в алгоритмі Евкліда і є НСД многочленів f(x) і g(x).
Приклад.
З допомогою алгоритму Евкліда знайти НСД многочленів
f(x)=x3–3x2+3x–1, g(x)=x3–1.
x3–3x2+3x–1=(x3–1)·1+(-3x2+3x)
x3–1=(-3x2+3x)·()+(x–1)
-3x2+3x=(x–1)·(-3x).
Отже, (f,g)=x–1.
НСД більшої кількості многочленів, зокрема, f1(x), f2(x),…, fn(x) шукають так:
d1(x)=(f1,f2), d2(x)=(d1,f3), d3(x)=(d2,f4), …, dn-1(x)=(dn-2,fn).
dn-1(x) і є НСД многочленів f1(x), f2(x),…, fn(x).
Якщо хоча б два многочлени із системи f1(x), f2(x),…, fn(x) взаємно прості, то НСД усіх цих многочленів дорівнює одиниці.
Якщо позначити d(x)=rn(x), то, піднімаючись вгору рівностями алгоритму Евкліда, можна отримати вираз
d(x)=f(x)·u(x)+g(x)·v(x),
тобто такі що(f,g) виражається через f(x) і g(x).
Найменше спільне кратне
Найменшим спільним кратним (НСК) многочленів f(x) та g(x) називається спільне кратне f(x) і g(x), на яке ділиться довільне інше спільне кратне цих многочленів. Позначається [f, g].
Теорема. Для довільних ненульових многочленів f(x), g(x) НСК існує і
визначається з точністю до сталого множника.
Доведення. Для доведення розглянемо многочлен який, очевидно, є спільним кратним f(x) та g(x), оскільки ділиться на кожний з них. Нехай s(x) –довільне інше спільне кратне многочленів f(x) і g(x). Тоді і , звідкиs(x)=s1(x)·f(x), а також тобто
Замінимо f(x)=(f,g)·f1(x), g(x)=(f,g)·g1(x), де (f1,g1)=1. Звідси
.
Із (f1,g1)=1 випливає, що тобто s1(x)=g1(x)·t(x), звідки Отже,
Це означає, що q(x) – найменше спільне кратне многочленів f(x) та g(x).
Якщо q1(x) – інше НСК, то і, тобтоql(x) та q(x) відрізняються тільки сталим множником.▲
Г) Звідність многочленів
Многочлен f(х)Р[x] називається незвідним у полі Р, якщо він не є константою і не має дільників, відмінних від константи та асоційованих з ним многочленів (аналог простого числа). В іншому випадку многочлен називають звідним (аналог складеного числа). Поняття звідності є відносним і залежить від поля Р, над яким розглядається многочлен.
Приклад.
Многочлен f(х)=x незвідний у полі Q, але звідний у полі R:
f(x)= (x-)(x+);
многочлен f(x)= x+3 незвідний в полях Q, R, але звідний у полі С:
f(x)= (x-i)(x+i).
Якщо многочлен f(х) незвідний у полі Р, то він вже є добутком незвідних в даному полі многочленів (один співмножник). Якщо многочлен f(х) звідний у полі Р, то, розклавши його і всі його співмножники в добуток незвідних многочленів у даному полі, отримаємо зображення многочлена, яке називають розкладом многочлена f(х) на незвідні множники:
f(x)=р(х)р(х)...р(х), де р(х) – незвідні в полі Р, і=1,2,...,l.
Звідси випливає ще один запис многочлена f(x):
f(x)=[p(x)][p(x)]…[p(x)],
де р(х) – попарно різні (неасоційовані) многочлени, незвідні в полі Р.
Таке зображення називають канонічним розкладом многочлена f(x) в полі Р.