Б) Симетричні многочлени

Важливим класом многочленів від багатьох змінних є клас симетричних многочленів.

Многочлен називається симетричним відносно змінних, якщо внаслідок довільної перестановки зміннихутворюється многочлен, рівний даному.

Приклад.

.

Важливі приклади симетричних многочленів зустрічались в теоремі Вієта:

Ці симетричні многочлени називають елементарними симетричними многочленами.

Ясно, що якщо симетричний многочлен містить деякий член, то він містить і член, утворений із даного довільною перестановкою показників.

Приклад.

В останньому прикладі та.

Очевидним є те, що якщо є вищим членом симетричного многочлена, то .

Довільний симетричний многочлен від n змінних над полем Р можна однозначно подати у вигляді многочлена від елементарних симетричних многочленівз коефіцієнтами з поля Р.

Це твердження називають основною теоремою теорії симетричних многочленів.

Приклад.

f(x₁,x₂) = x₁²x₂ + x₁x₂² = (x₁ + x₂) x₁x₂ = σ₁σ₂.

14