Д) Корені многочленів

Коренем многочлена f(x)Р[x] називається елемент будь-якого розширенняполя Р такий, щоf() = 0.

Теорема. Елемент Є Р є коренем многочлена f(x)Р[x] тоді і тільки тоді,

коли многочлен f(х) ділиться на х-α.

Доведення. За теоремою Безу f(х)=(х-)f(x)+ f(). Звідси, f(х) ділиться на х- тоді і тільки тоді, коли f()=0, тобто коли – коріньf(х).▲

Інше (рівносильне при =Р) означення кореня.

Коренем многочлена f(х)Р[x] називається такий елемент αР, для якогоf(х)х-α.

Елемент αР називаєтьсяк-кратним коренем многочлена f(х)Р[x], якщо f(х) ділиться на (х-α), але не ділиться на (х-α).

Кількість усіх можливих коренів многочлена f(х) над полем Р не перевищує степеня многочлена.

На питання, чи кожен многочлен ненульового степеня має хоча б один корінь, відповідь дає твердження, відоме під назвою теореми Кронекера:

Якщо f(х)-довільний многочлен ненульового степеня над полем Р, то існує розширення К поля Р, в якому є корінь f(х).

Наслідком із цього твердження є наступне:

Для довільного многочлена f(х)P[x] ненульового степеня існує таке розширення L поля Р, в якому f(х) розкладається на лінійні множники. Тобто, якщо ,,...,L є коренями многочленаf(х), то

f(x)=a(x-)(x--)…(x-),

де а-старший коефіцієнтf(х).

Поле L, в якому многочлен f(x) розкладається на лінійні множники, називається полем розкладу цього многочлена.

Приклад.

Знайти поле розкладу для многочлена f(x)=x- 4.

x- 4=(x- 2)(x+ 2)=(x -)(x+)(x-i)(x+i).

Оскільки корені -,,-і,іналежать полю С, то поле С і є полем розкладу многочленаf(x)=x- 4.

Поле Р називається алгебраїчно замкнутим, якщо воно є полем розкладу для довільного многочлена f(х)P[x] ненульового степеня, тобто якщо всі корені будь-якого многочлена f(х)P[x] належить цьому ж полю.

Поле С комплексних чисел є прикладом алгебраїчно замкнутого поля.

Теорема Вієта. Якщо ,,...,- корені многочлена

f(х)=ах+ах+...+ах+аP[x], то

++...+= -,

+,

………………………………………………………….

.

Доведення цього твердження здійснюється прирівнюванням коефіцієнтів при однакових степенях х в обох частинах.

Теорема 1. Якщо незвідний в полі Р характеристики 0 многочлен q(x) є

множником кратності k>1 многочлена f(x), то він є множником

кратності k-1 для похідної f(х).

Доведення. Якщо q(x) - множник кратності k многочлена f(х), то

f(x)=[q(x)]·(x), де (х)q(x).

Тоді

f(x)=k[q(x)]·q(x)·(x)=[q(x)]^k-1·[k·q(x)·(x)].

Видно, що .

Залишилось показати, що вираз в других квадратних дужках не ділиться на . Перший доданок нане ділиться, оскількимає нижчий степінь, ніж, аφ(x) q(x) за умовою. Другий доданок ділиться на . Тоді сума

цих доданків нане ділиться. Отже,, тобто- множник кратностіk-1.▲

§2.Многочлени над числовими полями а)Многочлени над полем с

Теорема 1. Кожний многочлен степеня вищого одиниці є звідним в полі С.

Доведення. Якщо - многочлен степеня , то існує хоча б один коріньцього многочлена і, за наслідком з теореми Безу,, тобто. Оскільки, то >0, отже,звідний в полі С.▲

Наслідок 1. Для того, щоб многочлен був незвідним у полі С, необхідно і

достатньо, щоб його степінь дорівнював одиниці.

Наслідок 2. Кожний многочлен над полем С єдиним способом розкладається

на лінійні множники і цьому полі:,

де ,,…,- корені, - старший коефіцієнт многочлена .

Якщо в розкладі існують кратні множники, то, де,,…, - різні корені многочлена ,,,…, - відповідно їх кратності.