Б) Многочлени над полем r

Теорема 2. Якщо комплексне число є коренем многочленанад полем R,

то спряжене число теж є коренем цього многочлена.

Доведення. Обчислимо і відокремимо дійсну та уявну частини:

.

Оскільки корінь, то, звідки,.

Обчислимо тепер . Оскільки, як дійсні числа, то

(бо ). Отже,, тобто- корінь.▲

Обидва корені тамногочленамають, зрозуміло, однакову кратність.

Теорема 3. Кожний многочлен над полем R , степінь якого перевищує 2, є

звідним у цьому полі.

Доведення. Нехай корінь многочленанад полем R степеняn>2.

Якщо R, то

, де і,

тобто звідний в полі R.

Якщо , тотеж коріньi

,

де і, причому, тобто- звідний в R.

Із викладеного вище випливає наступне твердження:

кожний многочлен f(x) над полем R має єдиний розклад на незвідні множники в цьому полі:

В) Многочлени над полем q

Основна відмінність многочленів над полем Q від многочленів над полями R та С полягає в тому, що над полем Q існують многочлени як завгодно високого степеня, незвідні в полі Q, тоді як в кільці R[x] звідним є довільний многочлен степеня вищого 2, а в кільці С[x] – степеня вищого 1.

Ясно, що будь-яке алгебраїчне рівняння з раціональними коефіцієнтами множенням на спільний знаменник усіх коефіцієнтів можна звести до рівняння з цілими коефіцієнтами .

Терема Ейзенштейна (критерій незвідності).

Якщо в многочлені з цілими коефіцієнтами коефіцієнти,діляться на деяке просте число, причому не ділиться на, а старший коефіцієнт не ділиться на, то многочлен незвідний у полі Q .

Доведення. Досить показати , що при заданих умовах не може бути добутком двох многочленів ненульового степеня з цілими коефіцієнтами . Припустимо супротивне, тобто, що.

Тут r+s = n. Нехай .

Тоді

Оскільки, тобто, ділиться на, але не ділиться на, то наможе ділитися лише одне з чисел:або. Нехай, тоді. З другої рівності випливає, що(боза умовою, а с₀ р). Тоді з третьої рівності. Так можна показати, що всі коефіцієнтиділяться на. Але це неможливо, бо тоді йділилось б на(із останньої рівності), що суперечить умові теореми.

Отже , - незвідний в полі Q ▲.

Таким чином, у кільці многочленів над полем Q є многочлени довільного степеня , незвідні в полі Q .

§3.Многочлени від багатьох змінних а) Загальні відомості

Кільцем многочленів R[x₁,x₂,…,x_n-1,x_n] від n змінних x₁,x₂,…,x_n-1,x_n над цілісним кільцем R називається кільце многочленів від змінної x_n над кільцем R[x₁,x₂,…,x_n-1]:

R[x₁,x₂,…,x_n-1,x_n]=R[x₁,x₂,…,x_n-1][x_n]. (3.1)

Це означення має індуктивний характер. При n=1 воно зводиться до означення кільця многочленів від однієї змінної x₁ над цілісним кільцем R. Якщо ж вже введено означення кільця Rприn, то, за означенням (3.1),отримаємо означення кільцяR.

Кожний елемент кільцяRназивають многочленом відn змінних надR і позначають f, gі т.д.

Форма запису многочлена, яка не містить подібних членів, називають канонічною. Ця форма єдина з точністю до порядку членів.

Степенем члена многочленаназивається сума. Числоназиваєтьсястепенем даного члена відносно . Найбільший із степенів членів називаєтьсястепенем многочлена, а член з найбільшим степенем називається старшим членом многочлена.

Якщо всі члени многочлена мають той самий степінь m, то многочлен називають однорідним многочленом степеня m (або формою степеня m).

Для многочленів від багатьох змінних поняття степеня члена вже недостатнє для встановлення єдиного порядку розміщення членів. Тому тут для зручного впорядкування членів користуються так званим лексикографічним принципом (за аналогією до впорядкування слів у словнику).

Розглянемо два довільні члени многочлена (1),(2). Якщо ці члени не подібні, то не всі відповідні степенітарівні між собою, тобто існує хоча б одне таке натуральне числоp, що приi=1,2,…, p-1, але . Якщо, то член (1) називаєтьсявищим за член (2), якщо , то член (1) називаєтьсянижчим за член (2).

Розміщення членів многочлена, при якому вищі члени передують нижчим, називається лексикографічним. Перший за порядком член многочлена при лексикографічномурозміщенні називають вищим членом многочлена.

Приклад.

Розмістити лексикографічно члени многочлена:

.

Відповідь: .