В) Скалярний добуток в координатах

Нехай е₁,е₂,...,е_п – довільний базис евклідового простору V,х=х₁е₁+х₂е₂+...+х_пе_п,у=у₁е₁+у₂е₂+...+у_пе_п– два довільні вектори цього простору. Тоді

Якщо базис е₁,е₂,...,е_п– ортонормований іх=х₁е₁+х₂е₂+...+х_пе_п, то, помноживши обидві частини останньої рівності скалярно нае_і, отримаємо, що(х,е_і)=х_і, тобтоі-та координата векторахв ортонормованому базисі дорівнює скалярному добутку векторахна одиничний векторе_і. Цей скалярний добуток називаютьпроекцієювекторахна векторе_і. Отже, координати вектора в ортонормованому базисі – це його проекції на базисні вектори.

г) Ортогональне доповнення

Два підпростори V₁ таV₂евклідового просторуVназиваються взаємно ортогональними, якщо кожний вектор ізV₁ ортогональний кожному вектору ізV₂(позначаютьV₁V₂).

Приклад.

У звичайному тривимірному просторі площина хОу та вісь Zє взаємно ортогональними підпросторами.

В той же час площини хОутауОzне є взаємно ортогональними підпросторами, оскільки не кожен вектор ізхОzортогональний довільному вектору ізуОz.

Теорема1. Для того, щоб підпросториV₁ таV₂ були взаємно ортогональними, необхідно і достатньо, щоб всі базисні вектори одного були ортогональні всім базисним векторам другого.

Необхідність випливає із означення.

Для доведення достатності припустимо, що е₁,е₂,...,е_k- базисV₁,f₁,f₂,…,f_m– базисV₂, причому(e_i,f_j)=0для всіхi=1,2,...,k,j=1,2,…,m.Тоді для довільнихта

отже, ці вектори ортогональні.

Теорема2. Два взаємно ортогональних підпростори перетинаються по нульовому вектору.

Доведення. Якщо підпросториV₁ таV₂ взаємно ортогональні, то

тоді (х,х)=0, звідких=0. ▲

Нехай V₁– довільний підпростір евклідового просторуV. Виберемо вV₁ортонормований базисе₁,е₂,...,е_rі доповнимо його до ортонормованого базисуе₁,е₂,...,е_r,е_r+1,…,e_n всього просторуV. Векторие_r+1,…,e_nпороджують(n-r)-вимірний простірV₂, ортогональнийV₁.

Покажемо, що кожний вектор х із V, ортогональний V₁, належить V₂.

Дійсно, якщо вектор х=х₁е₁+х₂е₂+...+х_пе_портогональнийV₁, то

(х,е_і)=х_і=0приі=1,2,...,r,

звідки x=x_r+1e_r+1+…+x_ne_n.

ПідпростірV₂, утворений всеможливими векторами ізV, ортогональними до всіх векторів ізV₁, називаєтьсяортогональнимдоповненнямV₁. Позначають його.

Ясно, що

Підпростори V₁ іV₂ породжують Vі перетинаються по нульовому вектору. Значить, евклідів простірVявляє собою пряму суму довільного свого підпростору і його ортогонального доповнення:

Тому кожний вектор хізV можна однозначно подати у вигляді суми

x=y+z, де

§2. Лінійні перетворення в евклідовому просторі

а) Перетворення, спряжене до даного

Нехай – лінійне перетворення евклідового простору. Лінійне перетворення, для якого при всіхx, y V

(Ax, y) = ( x, A^*y),

називається спряженим до A.

Покажемо, що для кожного лінійного перетворення A евклідового простору існує спряжене до нього перетворення , матриця якого в довільному ортонормованому базисі є транспонованою до матриці перетворенняA.

Нехай A=[a_ij] – матриця лінійного перетворення A в ортонормованому базисі

e_1, e₂, …, e_n, – матриця, транспонована до,– лінійне перетворення з матрицеюв тому ж базисі. Тоді, очевидно,

(Ae_i, e_j) = (a_1ie₁ + a_2ie₂ + … + a_nie_n, e_j) = a_ji,

(e_i, A*e_j) = (e_i, a_j1e₁ + a_j2e₂ + … + a_jne_n) = a_ji,

тобто для всіх

(Ae_i, e_j) = (e_i, A*e_j).

Тоді, якщо x = x₁e₁ + x₂e₂ + … +x_ne_n i y = y₁e₁ + y₂e₂ + … + y_ne_n, то

(Ax, y) = (Ax_ie_i, y_je_j) = x_iy_j(Ae_i e_j) i

(x, A*y) = (x_ie_i, A*y_je_j) = x_iy_j(e_i, A*e_j) = x_iy_j(Ae_i e_j) = (Ax, y),

тобто перетворення є спряженим до A .