- •Лекція 9 Евклідові простори
- •§1. Основні поняття
- •А) Скалярний добуток
- •Б) Ортонормований базис
- •В) Скалярний добуток в координатах
- •§2. Лінійні перетворення в евклідовому просторі
- •Властивості:
- •Властивості:
- •Властивості:
- •Лекція 10 Білінійні і квадратичні функції (форми)
- •§1. Лінійна функція (форма)
- •§2. Поняття білінійної та квадратичної функції
- •§3. Зведення квадратичної форми до суми квадратів
- •§4. Закон інерції квадратичних форм
- •§5. Класифікація квадратичних форм
- •§6. Білінійні і квадратичні форми в евклідовому просторі
- •§7. Зведення рівняння другого порядку до канонічного вигляду
- •Виконаємо лінійне перетворення
Виконаємо лінійне перетворення
,
.
Легко перевірити, що це перетворення ортогональне і переводить попереднє рівняння в нове:
.
Після цього перетворення
приводить до рівняння:
, (6)
або
(),
якому відповідає параболічний циліндр.
Рівняння (5) і (6) є частинними випадками рівняння
, (7)
в якому - характеристичні числа матриці(з яких одне може бути нулем),- якась константа, а– координати довільної точки поверхні в деякій ортогональній системі координат. Рівняння (7) називаютьканонічним рівнянням нецентральної поверхні другого порядку.
Приклад. Написати канонічне рівняння поверхні другого порядку
,
визначити її тип і знайти відповідне невироджене перетворення (або канонічну систему координат).
Розв’язання.
а) Зведемо спочатку до канонічного вигляду (суми квадратів) квадратичну форму
.
– матриця даної квадратичної форми.
Характеристичне рівняння: .
Характеристичні корені: .
Отримаємо: .
б) Перейдемо до “нових” координат в лівій частині (запишемо лінійну частину в тому ж канонічному базисі):, де
,
–матриця переходу від “старого” базису до канонічного.
Власні вектори (ортонормований базис):
Матриця переходу
Тоді , або
Підставляємо і отримуємо:
.
в) Виконаємо зсув за змінною :
, де
Рівняння поверхні: .
Канонічний вигляд рівняння поверхні:
.
Це рівняння гіперболічного циліндра.
г) Результуюче лінійне перетворення:
Канонічна система координат:
Початок:
базис: