Властивості:

1. , тобто.

Дійсно, якщо А - ортогональне перетворення і - спряжене до нього перетворення, тоx, y V

(x, y) = (Ax, Ay) = (x, A^*(Ay)) = (x, A^*Ay). Значить, або. Із отриманих рівностей видно, щоортогональне перетворення завжди не вироджене.

2. Перетворення обернене до ортогонального, теж ортогональне.

Дійсно, якщо , то .

Сума ортогональних перетворень, взагалі кажучи, не буде ортогональним перетворенням.

2. Добуток ортогональних перетворень є ортогональним перетворенням.

Дійсно, .

Матриця A, для якої A' = A^-1, називається ортогональною матрицею.

2. Визначник ортогональної матриці дорівнює .

Дійсно, із AA' = E випливає: |AA'| = |A||A'| = |E| = 1.

Оскільки |A| = |A'| (транспонування не змінює визначника), то:

|A|² = 1 , і .

2. Власні значення ортогонального перетворення дорівнюють .

Дійсно, якщо x - власний вектор і -відповідне йому власне значення ортогонального перетворенняA, то:

(x, x) = (Ax, Ax) = (λx, λx) = λ²(x, x),

звідки, оскільки (x, x) ≠ 0, отримуємо , і .

2. Якщо підпростір інваріантний відносно ортогонального перетворенняA, то його ортогональне доповнення теж інваріантне відносноA.

Із ортогональності A випливає . Згідно властивості 5 пункту б підпростірінваріантний відносно перетворення. Але тоді (згідно теореми 2, р.8, §2, д) цей підпростір інваріантний і відносно оберненого перетворення, тобто відносно.

Розглянемо, що являє собою довільне ортогональне перетворення.

1. Нехай A - ортогональне перетворення прямої іе. ТодіAе і, значить, Aе = λе, де , тобто Aе = ±е. Це означає, що A - або тотожнє перетворення, або центральна симетрія.

2. Нехай A - ортогональне перетворення площини, і - його матриця в деякому ортонормованому базисі. Тоді із, тобто, отримаємо:

,

,

.

Для перших двох рівностей знайдуться такі і, що:

, ,,.

Тоді третя рівність дає , звідки випливає, щоабо.

В першому випадку

,

і ми отримаємо: , тобто перетворенняA - це поворот на кут навколо початку координат.

В другому випадку ,, і.

Ця матриця – симетрична, значить, ортогональне перетворення A є і самоспряженим, тобто в деякому ортогональному базисі його матриця зводиться до діагонального вигляду: , де.

Визначник цієї матриці повинен бути рівним:

,

значить імають різні знаки, тобто матриця оператораА зводиться до вигляду .

Це симетрія відносно прямої, яка визначається вектором е₁ (першим вектором нового базису).

Таким чином, ортогональне перетворення площини – це або поворот навколо початку координат на деякий кут (зокрема, тотожнє перетворення або центральна симетрія – визначник цих перетворень дорівнює 1) абоосьова симетрія (визначник дорівнює –1).

Лекція 10 Білінійні і квадратичні функції (форми)

§1. Лінійна функція (форма)

Кажуть, що в векторному просторі V задана лінійна функція f(x), якщо кожному вектору xV поставлено у відповідність число f(x), так, що виконані наступні умови:

1. f(x + y) = f(x) + f(y),

2. f(αx ) = α f(x),

де х, у – довільні вектори із V, а α - будь-яке дійсне число.

Щоб знайти вираження лінійної функції в координатах, виберемо в просторі V базис e₁, e₂, …, e_n. Нехай в цьому базисі довільний вектор xV зображається так:

x = x₁e₁ + x₂e₂ + … + x_ne_n.

Тоді

f(x) = f(x₁e₁ + x₂e₂ + … +x_ne_n) = x₁ f (e₁) + x₂ f (e₂) + … + x_n f (e_n).

Позначимо: f (e₁) = a₁, f (e₂) = a₂, ..., f (e_n) = a_n .

Таким чином, при фіксованому базисі лінійна функція f(x) подається лінійною формою:

f(x) = a₁ x₁ + a₂ x₂ + … + a_n x_n,

де - координати вектора х, - коефіцієнти, які не залежать від вектора х.