1. Опуклість та вгнутість кривої. Точки перегину

Нехай функція визначена на інтерваліі в кожній точці цього інтервалу має скінчену похідну. Тоді в кожній точціграфіка цієї функції можна провести дотичну, не паралельну осі. Крива, яка є графіком цієї функції, називається гладкою.

Якщо крива, яка є графіком функції , розміщена не нижче будь-якої дотичної на інтервалі, то вона називається вгнутою догори або просто вгнутою на цьому інтервалі. Іноді її ще називають опуклою вниз (рис. 25).

Якщо крива, яка є графіком функції , розміщена не вище будь-якої дотичної на інтервалі, то вона називається вгнутою донизу або просто опуклою на цьому інтервалі. Таку криву ще називають опуклою вгору (рис. 26).

Точканазивається точкою перегину гладкої кривої, якщо існує-окіл точкитакий, що в інтервалахікривамає опуклість різних напрямків (рис. 27).

У цьому випадку графік функції в інтервалахілежить по різні боки від дотичної, проведеної в точці.

Теорема.Нехай функціявизначена на інтерваліі в кожній точці цього інтервалу має похідні до другого порядку включно. Тоді, якщоу всіх точках, то графік функціїна інтервалівгнутий (опуклий вниз), якщо жу всіх точках, то графік функціїна інтерваліопуклий (опуклий вгору).

Доведення.в інтервалахілежить по різні боки від дотичної, проведеної в точці.

Нехай . Виберемо точкуі покажемо, що графік функціїлежить не нижче дотичної, яка проходить через точку. Щоб відрізняти ординату графіка функції і ординату дотичної, останню будемо позначати буквою. Запишемо рівняння дотичної в точці:

(1)

Оскільки функція має похідні до другого порядку включно, то згідно формули Тейлора (при) маємо:

(2)

де . Віднімемо від рівності (2) рівність (1)

.

Оскільки , то, тобто. Отже, графік функціїу будь-якій, відмінній від, точцілежить вище дотичної, проведеної до нього в точці з абсцисою.

Аналогічно доводиться теорема для випадку .

Установимо необхідну умову існування точки перегину графіка функції . Нехай функціявизначена і має неперервні похідні до другого порядку включно на інтервалі. Тоді. Якщо в кожній точці, то графік функціїна інтервалівгнутий (опуклий вниз). Якщо,,то графік опуклий (опуклий вгору).

Отже, якщо на інтервалі , то графік функціїточок перегину на цьому інтервалі не має. Таким чином, точка, деможе бути точкою перегину графіка функціїлише в тому випадку, коли.

Отже, умова є необхідною, для того, щоб точкабула точкою перегину графіка функції.

Покажемо, що не всяка точказа умовиє точкою перегину. Розглянемо такий приклад: Нехай. Тодіпри. Але точкане є точкою перегину графіка функції(рис. 28).

Установимо достатню умову існування точки перегину графіка функції . Нехай точкатака, щой існує таке, що в інтервалахідруга похіднамає різні знаки. Тоді точкає точкою перегину. Дійсно, за вказаних умов у інтервалахікривамає опуклість різних напрямків. Отже, точкає точкою перегину цієї кривої.

Зауваження.Точкає точкою перегину графіка функціїі в тому випадку, коли в точцііснує дотична до графіка функції, друга похідна в самій точціне існує, але існує в деякому-околі точки, причому в інтервалахімає різні знаки.

Це установлюється аналогічно попередньому.

Приклад.Нехай. Ця функція в точцімає нескінченну похідну першого порядку й дотична до її графіка в точціспівпадає з віссю. Друга похідна в точціне існує. Графік функціїв точцімає перегин, оскільки справа і зліва від точкидруга похіднамає різні знаки (рис. 29).