2. Асимптоти графіка функції

Пряма називається асимптотою кривої, якщо відстань від точкикривої до прямоїпри віддаленні точкиу нескінченність прямує до нуля.

Із наведеного означення випливає, що асимптоти можуть існувати лише у тих кривих, які мають як завгодно віддалені точки, тобто у “нескінчених” кривих.

Надалі розрізнятимемо похилі і вертикальні асимптоти. До похилих асимптот належать також і горизонтальні асимптоти.

Теорема. Якщо функціявизначена на нескінченості і існують границі

(1)

то пряма є похилою асимптотою кривоїпри.

Аналогічно, якщо існують границі

(2)

то пряма є похилою асимптотою кривоїпри.

Доведення.Розглянемо випадок. Оскільки за умовою існують границі (1), то. Числодорівнює довжині відрізка від точкипрямоїдо точкиграфіка функції(рис. 30).

Рис. 30

Відстань від точкидо прямоїрівна, декут, який утворює прямаз додатним напрямом вісі(, оскільки мова йде про похилі асимптоти). Отже,=. Тоді

.

Випадок, коли доводиться аналогічно.

Якщо , то прямає горизонтальною асимптотою графіка функціїпри. Те ж стосується і випадку.

Зауваження.Якщо не існує границя, то не існує і границя. Отже, у цьому випадку графік функціїприасимптот не має. Якщо границяіснує і рівна, а границяне існує, то у цьому випадку графік функціїтакож асимптот не має.

Із означення асимптоти кривої випливає, що прямає вертикальною асимптотою, якщо принаймні одна з границьаборівнаабо.

3. Загальна схема дослідження функцій і побудови їх графіків

При дослідженні функцій і побудові їх графіків може бути застосована, наприклад, наступна схема:

1. Знайти область визначення функції.

2. Знайти точки розриву та визначити їх тип.

3. Знайти асимптоти графіка функцій.

4. Знайти похідну функції і за її допомогою встановити інтервали зростання і спадання функції.

5. Знайти точки максимуму і мінімуму функції, а також максимальне й мінімальне значення функції.

6. Знайти другу похідну і за її допомогою визначити інтервали опуклості й точки перегину графіка функції.

7. Знайти точки перетину графіка функції з осями координат.

8. Враховуючи одержані результати, побудувати графік функції.

Приклад.Дослідити функціюі побудувати її графік.

Розв'язування.

1. Область визначення функції є об'єднання інтервалів .

2. Оскільки функція не визначена в точці , то з'ясуємо поведінку функції в околі цієї точки.

.

У точці функція має розрив другого роду.

3. Пряма є вертикальною асимптотою. Знайдемо похилі асимптоти.

Пряма є похилою асимптотою.

4. Знайдемо похідну функції, інтервали зростання і спадання

.

Похідна функції рівна нулю в точках і. У точціпохідна невизначена. В інтерваліпохідна додана, функція зростає; в інтервалахіпохідна від'ємна, функція спадає; в інтерваліпохідна додана, функція зростає.

5. Точка є точкою максимуму, а точкає точкою мінімуму функції.

6. Знайдемо другу похідну функції, інтервали опуклості та точки перегину графіка функції.

.

Друга похідна в області визначення функції нулю не дорівнює. В інтервалідруга похідна від'ємна, функція опукла; в інтервалідруга похідна додатна, функція вгнута. Точок перегину графік функції не має.

7. Графік функції перетинає координатні вісі в точці .

8. Схема графіка функції зображена на рисунку 31.

Рис. 31