- •1. Основні властивості неперервних функцій
- •1. Поняття рівномірної неперервності функції.
- •2. Теорема Кантора про рівномірну неперервність функції.
- •3. Теорема про неперервність оберненої функції.
- •Тема 5. Диференціальне числення функції однієї змінної
- •1. Задачі, що проводять до поняття похідної
- •Після спрощення одержуємо
- •2. Означення похідної
- •3. Механічний та геометричний зміст похідної
- •4. Односторонні похідні
- •5. Нескінченні похідні
- •1. Диференційовність функції
- •2. Похідні елементарних функцій
- •3. Похідна оберненої функції.
- •1. Диференціал функції
- •2. Похідні й диференціали вищих порядків
- •3. Формула Лейбніца для п-ної похідної добутку двох функцій.
- •4. Диференціали вищих порядків.
- •Тема 5. Застосування диференціального числення до дослідження функцій
- •1. Теореми про середнє значення
- •2. Теорема Ферма
- •3. Теорема Ролля
- •4. Теорема Лагранжа
- •5. Теорема Коші
- •1. Розкриття невизначеностей. Правило Лопіталя.
- •2. Застосування правила Лопіталя при розкритті невизначеностей вигляду .
- •1. Формула Тейлора для многочлена. Розглянемо многочлен
- •6.2. Формула Тейлора для довільної функції
- •Звідси одержуємо:
- •1. Ознака монотонності функції
- •3. Необхідні й достатні умови існування екстремуми функції
- •Достатні умови існування екстремуму функції.
- •1. Опуклість та вгнутість кривої. Точки перегину
- •2. Асимптоти графіка функції
- •3. Загальна схема дослідження функцій і побудови їх графіків
- •Тема 7. Інтеграл ньютоналейбніца
- •1. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла
- •2. Основні властивості невизначеного інтеграла
- •3. Таблиця основних інтегралів
- •1. Подання раціональних дробів у вигляді суми найпростіших дробів
- •2. Інтегрування найпростіших раціональних дробів
- •1. Інтегрування ірраціональних функцій
- •Інтегрування деяких тригонометричних функцій
- •Приклади
2. Похідні елементарних функцій
Похідна сталої функції. Похідна функції, депривиражається формулою.
Доведення.
.
Похідна степеневої функції. Область визначенняцієї функції залежить від. Візьмемо довільну відмінну від нуля внутрішню точкуобласті визначення. Тоді
.
Зауваження.Якщо, то легко безпосередньо одержати значення похідної при. Отже, для будь-якої точки, де- область визначення функції, маємо:.
Приклади.
Похідна показникової функції.
Приклади.
Похідна логарифмічної функції.
Зокрема, якщо , то.
Похідні тригонометричних функцій.
Нехай . Тоді
Аналогічно доводиться, що функція має похідну.
Якщо , то
Аналогічно доводиться, що функція
має похідну.
3. Похідна оберненої функції.
Теорема. Нехай функціязадовольняє всі умови теореми про існування оберненої функції і в точцімає похідну. Тоді обернена до неї функціяу точцімає похідну і
.
Доведення.Надамо значеннюдеякий приріст. Тоді функціяодержить відповідний приріст. Оскільки, то за однозначністю функції,. Отже,.
Якщо , то за неперервністю функції. Звідси маємо
.
Похідні обернених тригонометричних функцій. Нехай маємо функцію. За означенням функції
.
Згідно теореми про похідну оберненої функції
.
Зауваження.Тут враховано, що привиконуються співвідношення, тобто. Отже,, а тому. Точкине розглядаються, так які.
Аналогічно одержуються похідні інших обернених тригонометричних функцій:
ЛЕКЦІЯ 17
Диференціал функції.
Похідні вищих порядків.
Формула Лейбніца для п-ної похідної добутку двох функцій.
Диференціали вищих порядків.
1. Диференціал функції
Нехай функція диференційована в точці. Тоді її приріст у цій точці можна подати у вигляді
,
де при. Отже, доданокє головною частиною приросту функції, яка лінійно залежить від.
Диференціалом функції в точціназивається головна частина приросту функції в цій точці, яка лінійно залежить від.
Диференціал функції позначається так:
.
Враховуючи, що , маємо
.
Диференціалом незалежної змінної називається її приріст:.
Отже,
.
Із останньої формули випливає, що похідну можна обчислити як відношення диференціалів:
.
Диференціал функції має наступний геометричний зміст. Нехай точка (рис. 21) на графіку функціїмає координати, де.
Пряма - дотична до графіка функції в точці. Тоді приріств точці, який відповідає приростуаргументу, рівний величині відрізка. Оскількиі, то, враховуючи, що, маємо: диференціалфункціїв точцідорівнює приросту ординати дотичної, проведеної до графіка функціїв точці з абсцисою, тобто дорівнює величині відрізка.
Оскільки диференціал функціїє головною частиною її приросту, то це дає можливість застосувати диференціал функції в наближених обчисленнях: із наближеної рівності, тобто
.
Отже
(1)
Приклад.Знайти наближено.
Розв'язування. Розглянемо функцію. Покладемо. Тоді. Далі маємо.
Отже, .
Якщо функції диференційовані, то мають місце наступні формули:
,
,
,
.
Нехай тепер маємо складену функцію , дедиференційовані функції в точкахі. Тоді
.
Так як
,
то
.
Оскільки , то маємо.
Таким чином, якщо функція складена, то форма диференціалу не змінює свого виду. Цю властивість називають інваріантністю форми диференціалу.