- •1. Основні властивості неперервних функцій
- •1. Поняття рівномірної неперервності функції.
- •2. Теорема Кантора про рівномірну неперервність функції.
- •3. Теорема про неперервність оберненої функції.
- •Тема 5. Диференціальне числення функції однієї змінної
- •1. Задачі, що проводять до поняття похідної
- •Після спрощення одержуємо
- •2. Означення похідної
- •3. Механічний та геометричний зміст похідної
- •4. Односторонні похідні
- •5. Нескінченні похідні
- •1. Диференційовність функції
- •2. Похідні елементарних функцій
- •3. Похідна оберненої функції.
- •1. Диференціал функції
- •2. Похідні й диференціали вищих порядків
- •3. Формула Лейбніца для п-ної похідної добутку двох функцій.
- •4. Диференціали вищих порядків.
- •Тема 5. Застосування диференціального числення до дослідження функцій
- •1. Теореми про середнє значення
- •2. Теорема Ферма
- •3. Теорема Ролля
- •4. Теорема Лагранжа
- •5. Теорема Коші
- •1. Розкриття невизначеностей. Правило Лопіталя.
- •2. Застосування правила Лопіталя при розкритті невизначеностей вигляду .
- •1. Формула Тейлора для многочлена. Розглянемо многочлен
- •6.2. Формула Тейлора для довільної функції
- •Звідси одержуємо:
- •1. Ознака монотонності функції
- •3. Необхідні й достатні умови існування екстремуми функції
- •Достатні умови існування екстремуму функції.
- •1. Опуклість та вгнутість кривої. Точки перегину
- •2. Асимптоти графіка функції
- •3. Загальна схема дослідження функцій і побудови їх графіків
- •Тема 7. Інтеграл ньютоналейбніца
- •1. Поняття первісної функції та невизначеного інтеграла
- •2. Основні властивості невизначеного інтеграла
- •3. Таблиця основних інтегралів
- •1. Подання раціональних дробів у вигляді суми найпростіших дробів
- •2. Інтегрування найпростіших раціональних дробів
- •1. Інтегрування ірраціональних функцій
- •Інтегрування деяких тригонометричних функцій
- •Приклади
1. Подання раціональних дробів у вигляді суми найпростіших дробів
Розглянемо дробово-раціональну функцію , де
многочлен n-го степеня, амногочленk-го степеня. Якщо n k, то, виконавши ділення, одержимо
,
де r < k. Наприклад,
.
У вищій алгебрі доводиться, що кожний многочлен можна подати у вигляді добутку
, (1)
де Акоефіцієнт при старшому членові многочлена, акорені рівняння= 0. Множникиназиваються елементарними. Якщо серед них є однакові, то групуючи їх, одержимо
, (2)
де . Числаназиваються кратностями коренів. Серед коренівможуть бути й комплексні. Якщоr-кратний комплексний корінь многочлена з дійсними коефіцієнтами, то цей многочлен має також спряжений зr-кратний корінь . Отже, якщо формула (2) містить множник, де, то вона також містить і множник. Перемноживши ці множники, одержимо
=,
де ,, p, qдійсні числа.
Ураховуючи всі комплексні корені многочлена , формулу (2) можна записати у вигляді
,
де дійсні числа.
Дріб , де r < n називається правильним раціональним дробом.
Теорема.Правильний раціональний дріб, де
можна єдиним чином подати у вигляді суми найпростіших дробів
,
де дійсні числа.
Подання, про яке йдеться у наведеній теоремі, можна виконати методом невизначених коефіцієнтів, котрий розглянемо на наступному прикладі.
Приклад.Розкласти на найпростіші дроби
.
Розв’язування. Згідно з наведеною теоремою маємо:
,
де поки що невідомі числа.
Зведемо праву частину останньої рівності до спільного знаменника.
Два многочлени тотожно рівні між собою тоді й тільки тоді, коли рівні між собою коефіцієнти при однакових степенях х. Тому для визначення коефіцієнтівскладемо систему
Розв’язавши цю систему, одержимо:
.
Отже,
.
2. Інтегрування найпростіших раціональних дробів
Розглянемо інтеграли від найпростіших ірраціональних дробів.
1. .
2..
3..
Тут многочлен не має дійсних коренів , отже. Виділимо повний квадрат
.
Уведемо підстановку . Тоді. Далі покладемо. Маємо:
.
Перший із інтегралів правої частині, обчислюється безпосередньо
.
Другий інтеграл обчислюється за формулою 4) таблиці основних інтегралів.
.
Увівши підстановку , одержимо. Покладемо. Тоді
.
Перший із інтегралів правої частини легко зводиться до інтегралу 1) таблиці основних інтегралів, а другий інтеграл
обчислюється за рекурентною формулою
.
ЛЕКЦІЯ 25
Інтегрування ірраціональних функцій.
Інтегрування деяких тригонометричних функцій.
1. Інтегрування ірраціональних функцій
Інтеграл від ірраціональної функції не завжди обчислюється в
скінченному вигляді. Проте деякі типи таких інтегралів за допомогою певних підстановок можна звести до інтегралів від раціональних функцій.
Позначимо раціональну функцію від змінних. Наприклад, функціяє раціональною від, тобто
.
Інтеграли виду ,
де натуральні числа,дійсні числа, причому(у іншому випадкустала величина) обчислюється за допомогою введення нової змінної
,
де kспільний знаменник дробів.
Приклад 1. Обчислити.
Розв’язування. Зробимо підстановку . Одержимо
.
Далі маємо
.
Приклад 2. Обчислити.
Розв’язування.
.
Інтеграли виду зводяться до інтегралів від раціональних функцій за допомогою підстановок Ейлера.
Якщо , то вводиться нова зміннаt :
,
де знаки можна брати у будь-якій послідовності.
Якщо у тричлені , то можна використати іншу підстановку
.
У випадку коли і тричлен має дійсні різні кореній, то використовується підстановка
або
.
Зазначимо, що підстановки Ейлера часто приводять до досить складних раціональних функцій, а тому на практиці при обчисленні інтегралів цього типу користуються простішими методами.