Диференціювання функцій заданих неявно

4.38. Дано . Знайти.

4.39. Дано . Знайти.

4.40. Дано . Знайти.

4.41. Дано . Знайти.

4.42. Дано . Знайти.

4.43. Дано . Знайти.

4.44. Дано . Знайтита.

4.45. Дано . Знайтита.

4.46. Дано . Знайтита.

4.47. Дано . Знайти.

4.48. Дано . Знайти.

4.49. Дано . Знайти.

4.50. Дано . Знайтипри.

4.51. Дано . Знайтитау точці

(1,-2,2).

4.52. Дано . Знайтитау точці (-4, 2,1).

4.53. Дано . Довести, що.

Повторне диференціювання

4.54. Дано . Знайти.

4.55. Дано . Показати, що.

4.56. Дано . Знайти.

4.57. Дано . Знайти.

4.58. Дано . Знайти.

4.59. Дано . Знайти.

4.60. Дано . Знайти,,.

4.61. Дано . Знайти,,у точці (3,2).

4.62. Довести, що функції 1) і

2) задовольняють рівняння теплопровідності.

4.63. Показати, що функція задовольняє рівняння коливань струни.

4.64. Показати, що функція задовольняє рівняння.

4.65. Показати, що функція задовольняє рівняння Лапласа.

4.66. Показати, що функція задовольняє рівняння .

4.67. Показати, що функція задовольняє рівняння.

Дотична площина і нормаль до поверхні

4.68. Для заданих поверхонь знайти рівняння дотичних площин і нормалей у вказаних точках:

1) у точці (2,1,4);

2) у точці (3,4,-7);

3) у точці (2,2,1);

4) у точці (1,1,1);

5) у точці (1,0,0);

6) в точці (4,1,1);

7) у точці (3,8,-4);

8) у точці;

9) у точці (2,1,3);

10) у точці (2,2,3);

11) у точці (1,2,-1);

12) у точці (2,1,2);

13) у точці (2,1,2);

14) у точці (1,2,3);

15) до еліпсоїда провести дотичну площину, паралельну площині;

16) до еліпсоїда провести дотичну пло-щину, паралельну площині .

4.69. Скласти рівняння дотичних площин до поверхні , паралельних площині.

Екстремум функції двох змінних

4.70. Знайти екстремуми функцій:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. .

4.71. Для організації матеріально-технічного забезпечення трьох угруповань ППО необхідно вибрати місце розміщення бази постачання таким чином, щоб загальні витрати на перевезення вантажів були мінімальними. Розміщення угруповань характеризується координатами (-1, 2), (1,-1), (3,5). Відомо також, що вартість перевезень пропорційна квадрату відстані, на яку перевозиться вантаж. Коефіцієнти пропорційності рівні відповідно .

Умовний екстремум. Найбільше та найменше значення функції в замкненій області

4.72. Знайти екстремум функції при умові, щоіпов’язані рівнянням.

4.73. Знайти умовний екстремум функції при умові.

4.74. Знайти умовний екстремум функції при.

4.75. Знайти умовний екстремум функції при.

4.76. Бомбардувальник необхідно обладнати апаратурою ра-діоперешкод двох типів з енергетичними параметрами і. Апаратура радіоперешкод знижує ефективність ППО противника за законом

.

Максимально можлива вага апаратури рівна 2 і пов’язана з параметрами івідношенням. Потрібно визначити оптимальні значення параметрів апаратури радіоперешкод, що мінімізує функцію.

4.77. Знайти найбільше і найменше значення функції в області.

4.78. Знайти найбільше і найменше значення функції у трикутнику, обмеженому прямими.

4.79. Знайти найбільше і найменше значення функції у трикутнику, обмеженому прямими.

4.80. При яких розмірах відкрита прямокутна ванна даної місткості має найменшу площу поверхні. Знайти цю площу.

4.81. З усіх трикутників, вписаних у круг, знайти той, площа якого найбільша.

4.82. З усіх трикутників, що мають даний периметр, знайти найбільший за площею.

4.83. З усіх прямокутників з заданою площею знайти такий, периметр якого має найменше значення.

4.84. Знайти розміри прямокутного паралелепіпеда, що має при даній поверхні максимальний об’єм.

4.84 а. Споживач купує два види товарів у кількості і відповідно. Користь від їх придбання описується функцією . Бюджетне обмеження для споживача задається рівнянням . Визначити яку кількість товарівіповинен придбати споживач, щоб користь від їх придбання була максимальною.

4.84 б. Функція корисності для інвестора задається квадратичною залежністю , де- очікуваний прибуток портфеля,- ризик. Обмеження для вибору портфеля інвестора визначається функцією. Визначити для даного інвестора рівень ризику, що має найбільшу перевагу.