Тема 2. Диференціальне числення
ФУНКЦІЙ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ
Похідна
2.1 Користуючись тільки визначенням похідної, знайти :
1) ; |
2) ; |
3) ; |
4) ; |
5) ; |
6) . |
2.2. Кількість електрики, яка проходить крізь будь-який переріз провідника, є функція від часу . Визначити середню величину струму за проміжок часу і, користуючись поняттям похідної , визначити величину струму в момент часу .
2.3. Кількість радіоактивної величини є функція часу . Користуючись поняттям похідної, дати означення швидкості розпаду радіоактивної величини.
2.4. Для заданої функції , користуючись означенням однобічної похідної, знайти і :
1) ;
2) .
2.5. Знайти похідні наступних функцій:
1) ; |
2) |
3) ; |
4) ; |
5) ; |
6) . |
2.6. Знайти похідні наступних функцій:
1) ; |
2); |
3) ; |
4) ; |
5) . |
|
2.7. Знайти похідні наступних функцій:
1) ; |
2) ; |
3) ; |
4) ; |
5) ; |
6) . |
2.8. Написати рівняння дотичної до заданих кривих:
1) у точці ; |
2) у точці ; |
3) у точці ; |
4) у точці ; |
5) у точках перетину з віссю ; |
|
6) 6) у точках перетину з віссю . |
2.9. Визначити під яким кутом крива перетинає вісь абсцис.
2.10. Визначити в якій точці дотична до параболи паралельна прямій .
2.11. Тіло рухається по прямій за законом . Визначити швидкість та прискорення руху. В які моменти тіло змінює напрям руху?
2.12. Напруга конденсатора змінюється за синусоїдальним законом . Обчислити величину зарядного струму , який протікає крізь конденсатор.
2.13. Застосовуючи попереднє логарифмування, знайти похідні функцій:
1) ; |
2) ; |
3) ; |
4) ; |
5) . |
|
2.14. Для функцій, заданих параметрично, знайти :
1) ; |
2) ; |
3) ; |
4) ; |
5); |
6) . |
2.15. Знайти похідні від функцій, заданих неявно:
1) ; |
2) ; |
3); |
4) ; |
5); |
6) . |
Диференціал. Похідні вищих порядків
2.16. Знайти диференціали функцій:
1) ; |
2) ; |
3) ; |
4) ; |
5) ; |
6) . |
2.17. Знайти приріст з точністю до 0,001 і диференціал з точністю до 0,1 функції , який відповідає значенню аргументу і .
2.18. Ребра куба збільшені на 1 см. При цьому диференціал об’єму дорівнює 12 см. Знайти первісну довжину ребер.
2.19. Радіус кола збільшений на 1 см. Диференціал площі кола дорівнює при цьому 6 см. Знайти первісну величину радіуса.
2.20. Знайти наближений вираз для приросту об’єму прямого кругового циліндру з висотою при зміні радіуса основи на величину .
2.21. Довести наближену формулу і обчислити за цією формулою 1,02.
2.22. Вивести формулу для наближеного обчислення функцій:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
2.23. Обчислити наближено:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
2.24. Знайти похідні 2-го порядку від наступних функцій:
1) ; |
2) ; |
3) ; |
4) ; |
5) ; |
6) . |
2.25. Знайти , якщо .
2.26. Знайти формулу для від наступних функцій:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .
2.27. Показати, що функція задовольняє диференціальне рівняння .
2.28. Показати, що функція задовольняє диференціальне рівняння .
Теореми про диференційовані функції.
Правило Лопіталя. Формула Тейлора
2.29. Довести, що між коренями функції знаходиться корінь її похідної.
2.30. У якій точці дотична до параболи паралельна хорді, яка стягує точки і ?
2.31. Записати формулу Лагранжа для функції на відрізку [0,1], знайти на інтервалі (0,1) відповідне значення .
2.32. Розкрити невизначеність виду :
1) ; |
2) ; |
3) ; |
4) ; |
5) ; |
6) . |
2.33. Розкрити невизначеність виду :
1) ; |
2) ; |
3) ; |
4) ; |
5) ; |
6) . |
2.34. Розкрити невизначеність виду :
1) ; |
2) ; |
3) ; |
4) |
5) ; |
6) . |
2.35. Розкрити невизначеність виду :
1) ; |
2) ; |
3) ; |
4) . |
2.36. Розкрити невизначеність виду (), , :
1) ; |
2) ; |
3) ; |
4) ; |
5) ; |
6) . |
2.37. Написати формулу Тейлора 3-го порядку для функції в точці .
2.38. Написати формулу Тейлора 6-го порядку для функції .
2.39. Обчислити з точністю до 0,001 наближене значення наступних чисел:
1) ; 2) ; 3) ; 4) .
2.40. Многочлен розкласти за степенями двочлена .