2.4. Разомкнутая гдс и ее свойства

Впервые определение разомкнутой гиперкомплексной динамической системы было сделано в [52].

В качестве основных можно назвать ряд причин, обусловивших необходимость введения понятия разомкнутой гиперкомплексной динамической системы.

1. Условный характер определения идеально замкнутой системы (неполнота замкнутости).

2. Возможность иерархического строения сложной ГДС, когда ее внутренние элементы представляют собой системы и необходимо учесть взаимодействие внутри системы.

3. Факт межсистемного взаимодействия, когда ранее рассматриваемые изолированные друг от друга системы объединяются в единый комплекс в соответствии с задачами исследования.

4. Необходимость формализованного учета внешних воздействий. Такая ситуация возможна, например, если за счет внешних источников пополняется внутренний ресурс элементов, необходимый для поддержания устойчивого состояния системы и обеспечения ее жизнедеятельности.

На основе рассуждений аналогичных тем, которые были сделаны при получении (2.11), а также учитывая изложенные выше причины и обобщая их для случая произвольного числа элементов в сложной ГДС, можно записать следующее уравнение:

где т≠п; k1_т — вклад внешнего воздействия в ресурс т-го элемента системы; 1_т — внешнее воздействие на элемент т; k — нормирующий коэффициент.

Сложение в (2.20) — гиперкомплексное. Для простоты изложения принимаем k=1 и опускаем в дальнейших выражениях. Нормирующий коэффициент, равный гиперкомплексной единице и опускаемый при написании, присутствует также при слагаемом dφ_m в левой части выражения (2.20).

Обобщая для случая п элементов, получаем для разомкнутой ГДС полную систему уравнений, в которой внешнее воздействие вынесено в правую часть

В развернутой матричной форме записи (2.21) можно представить в виде

Запишем (2.22) в сокращенной форме

где Y — полная матрица взаимодействий; φ— матрица гиперпотенциалов; I — полная матрица внешних воздействий.

Рассуждая с позиций формальной логики, можно сделать вывод, что замкнутые системы — это частный случай разомкнутых систем, у которых правая часть равна нулю. Покажем, что это не совсем так, попутно отмечая, что причинно-следственные закономерности формальной логики являются недостаточными для описания процессов, происходящих в ГДС. Вместо аппарата формальной логики в теории ГДС введены и обоснованы законы диалектической взаимообусловленности, частным случаем которой является причинно-следственная связь.

Не вдаваясь в детальное изложение закономерностей принципа диалектической взаимообусловленности, покажем в каком соотношении друг к другу находятся замкнутые и разомкнутые системы в теории ГДС. Для этого рассмотрим полную систему уравнений, записанную в матричной форме, для замкнутой ГДС со сложной структурой.

Как видим, в (2.24) вместо некоторых взаимодействий (ввиду отсутствия места) проставлен знак сложения, что не является существенным для понимания сути излагаемых рассуждений.

Рассмотрим матрицуY в (2.24). На ее главной диагонали в силу свойств замкнутой ГДС должны стоять гиперкомплексные единицы. Следовательно, определитель каждой клетки наивысшей иерархии в исследуемой системе должен быть равен единице, что в данном случае конкретизируется в виде сле­дующих выражений:

где Δ_nn — определитель сложного элемента наивысшей иерархии, стоящего на пересечении n-го столбца и п-й строки матрицы Y.

Расписываем полученные выражения, учитываяY

где 1_(nn) — гиперкомплексная единица высшего иерархического уровня для данной системы.

Необходимо помнить, что единицы разных иерархическихуровней не равны друг другу. Например, в данном случае

Выражение (2.27) расписывать подробно нет необходимости, его равенство единице очевидно.

Исходя из определения разомкнутой ГДС и ее свойств, можно рассматривать внутренние сложные элементы исследуемой замкнутой системы как разомкнутые ГДС. Уравнения для таких ГДС имеют вид

где S₁₁ и S₂₂ — внутренние элементы исследуемой ГДС, рассматриваемые как разомкнутые ГДС без иерархических уровней; у₁₁ и у₂₂ — матрицы взаимодействий разомкнутых ГДС, представляющие собой элементы матрицы Y с соответствующими индексами; φ₁и φ₂ — сложные гиперпотенциалы разомкнутых ГДС; I₁₁ и I₂₂ — расчетное внешнее воздействие для S₁₁ и S₂₂.

Обобщая изложенное, можно записать набор взаимообусловливающих друг друга уравнений, связывающих в единое целое замкнутые и разомкнутые ГДС

Учитывая свойства замкнутойГДС (2.19), выражения {2.25) —(2.27) записываем как

Обобщая (2.33), получаем полную систему уравнений, описывающих комплекс из замкнутой и разомкнутой ГДС

Соотношения

называются условиями существования ГДС. Анализируя (2.34), можно сделать выводы:

1. Понятие соподчиненности замкнутой и разомкнутой ГДС, рассматриваемых с позиций оценки их степени общности, имеет относительный характер. Так, ГДС S₁₁ и S₂₂, несмотря на то что они разомкнутые, для нашего примера являются компонентами по своей сути замкнутой ГДС иерархически более высокого уровня. В то же время сравнительный анализ по форме уравнений вида (2.16) и (2.23) позволяет сделать вывод о том, что замкнутая ГДС — это частный случай разомкнутой. Противоположность выводов не противоречива, если помнить о том, что каждое из заключений проводится в своей области определения и эти области не пересекаются.

2. Утверждение о причинно-следственной соподчиненное замкнутых и разомкнутых ГДС однозначно лишь при сравнении ГДС одного иерархического уровня. Прямая оценка и сравнение разноуровневых ГДС возможны только в результате приведения этих ГДС к общей мере. Основной особенностью процесса приведения разноуровневых ГДС к общей мере является рассмотрение их (каждой отдельно) в составе специально построенной, одинаковой для всех сравниваемых ГДС системы, иерархический ранг которой выше ранга любой из сравниваемых систем. В наиболее общем случае иерархический ранг этой ГДС равен сумме рангов сравниваемых ГДС.

Процесс построения ГДС, используемой в качестве общей меры, аналогичен процедуре определения полноты замкнутости, изложенной в параграфе 2.5.

3. Вобщем случае внешние воздействияI_kk разомкнутых ГДС, рассматриваемых в составе более сложной замкнутой ГДС, можно описать выражением

Сложение в (2.36) — гиперкомплексное. В частном случае при вырождении ГДС в систему первого порядка (однокачественность) гиперкомплексное сложение вырождается в обычное, принятое в классической физике и математике. При этом в зависимости от конкретного характера и способа представления исследуемых величин такое сложение может отражать, например, принцип наложения (в теории электрических цепей [79]); явление интерференции при взаимодействии световых колебаний [79]; пересечение множеств (в абстрактной алгебре [63]) и т.д.