2.5. Определение полноты замкнутости

В соответствии с ранее описанными словесными формулировками понятия полноты замкнутости системы и ее свойств можно предложить способ, позволяющий проводить оценку степени замкнутости ГДС. Так как понятие замкнутости является сознательной идеализацией, при которой выделяют в исследуемом объекте только существенные (в рамках поставленной задачи) характеристики и свойства объекта, то процесс определения полноты замкнутости можно также рассматривать как результат выделения и идеализации определенных системных свойств, характерных для данной задачи.

Из основных задач, возникающих при исследовании понятия неполноты, важнейшей и иерархически наиболее высокой является задача оценки полноты определения ГДС. Алгоритм решения такой задачи и методика, создаваемая в процессе решения, представляют собой методологическую инварианту, которую можно наполнять конкретным содержанием при использовании ее в частных исследованиях. Полнота определения ГДС оценивается по степени реализации системных свойств, выделенных в определении системы как обязательных.

Если определение системы дается путем описания конкретных системных свойств, то оно называется определением по перечислению, а объект, обладающий набором перечисленных свойств — системой. Данную формулировку можно рассматривать как уточнение определения понятия системы, сделанного в первой главе.

Максимально возможное соответствие системных свойств исследуемой ГДС определению системы принимаем за 100%-ную полноту. Следовательно, отклонение от 100% дает величину, оценивающую неполноту (в данном случае рассматривается неполнота замкнутости по определению). Такую оценку можно проводить и в относительных единицах. При этом максимальная полнота принимается равной единице. В наиболее общем случае эта единица является гиперкомплексной.

В соответствии с изложенным можно предложить последовательность операций, позволяющих оценить степень полноты определения ГДС.

1. Определяем полный набор системных свойств, в рамках которого проводят оценку полноты.

2. По каждому из выделенных системных параметров анализируем исследуемую систему путем дополнения системы (по каждому из свойств отдельно) до уровня единицы.

1. Определяем гиперкомплексную матрицу неполноты.

3. Даем количественную оценку системным составляющим, проверяемым на полноту определения.

Рассмотрим конкретный пример. Проведем оценку неполноты для разомкнутой ГДС (рис. 2.7), где окружности и цифра возле них обозначают элемент ГДС и его номер, а величины типа у_nm — взаимодействие элементов питв направлении от п к т.

Проведем оценку неполноты исходя из наиболее простого определения системы.

1. Определяем набор свойств. Пусть в качестве исходного имеем определение: система — это совокупность взаимодействующих элементов. Из определения следуют два системных свойства: наличие элементов (для ГДС — гиперкомплексность) и взаимодействие.

2. Анализ по гиперкомплексности. Учитывая нереализованные связи, данная ГДС (рис. 2.7) может включить в свой состав еще один элемент. Имеющееся число элементов N₁ — 3; возможное число элементов N = 4; дополнительное число элементов ΔN = N₂ = N— N₁=1.

Анализ по взаимодействию. Максимально возможное число связей — это связь каждого элемента со всеми остальными. Не перечисляя все эти связи, можно отразить дополнительные (не имеющиеся в исходной ГДС) связи графически.

Учитывая дополнительные элементы и связи, строим дополняющую ГДС, изображенную на рис. 2.8, где точками отмечены места, уже занятые элементами ГДС (согласно рис. 2.7).

На основании графического анализа исходной разомкнутой ГДС и ее дополнения строим полную ГДС (в рамках сделанного определения). На рис. 2.9 сплошными линиями представлена исходная ГДС, а штриховыми — дополняющая. Обозначения взаимодействий отсутствуют, так как они могут быть легко идентифицированы по рис. 2.7 и 2.8.

3. Определяем гиперкомплексную матрицу неполноты Y₂. Для этого запишем в общем виде матрицы Y для всех построенных систем.

Для полной ГДС

Из сравнения Y₀, Y₁ и Y₂ следует

При этом У₂ дает гиперкомплексную оценку искомой неполноты.

3. Даем количественную оценку системным составляющим,проверяемым на неполноту определения.

где δ(N) — относительное значение неполноты по параметру N (гиперкомплексности); ΔN — абсолютное, количественное значение неполноты по параметру N.

Аналогично даем оценку степени полноты связей

где ΔN(Y) — число нереализованных связей, равное числу взаимодействий в дополняющей системе; (N²—N) — максимально возможное число связей в ГДС с N элементами; k(Y₁) — число связей в исходной ГДС.

Относительное значение количественной оценки неполноты взаимодействия(%)

0,66 =66%

Выражения (2.37) — (2.40) можно использовать так же, как иллюстрацию способа построения алгоритма определения количественной оценки степени неполноты и по другим системным свойствам, которые не входили в определение системы, используемое в нашем простом примере.

Свойство неполноты и способы ее оценки имеют важное методологическое значение в теории ГДС и реализации ее положений на практике. Достаточно сказать, что на его основе с учетом других закономерностей теории ГДС стало возможным сформулировать теорему неполноты.

Теорема неполноты. Полностью замкнутую ГДС одновременно по всем ее системным свойствам реализовать нельзя.

Доказательство теоремы и анализ следствий, вытекающих из нее, выходят за пределы задач, поставленных и изложенных в данной работе. Отметим только, что приведенная теорема играет в теории ГДС такую же роль, какая отведена в логике теореме Геделя о неполноте [78]. При этом, учитывая иерархический ранг системной методологии и инвариантность методов теории ГДС, можно рассматривать эту теорему как обобщение теоремы Геделя.