2 Законы Ома и Кирхгофа в операторной форме.

Операторная схема замещения

Пользуясь основными свойствами преобразования Лапласа, можно получить основные законы теории цепей в операторной форме.

Рассмотрим, например, последовательный RLC – контур (рис.12.4), находящийся при ненулевых начальных условиях:

Рис. 12.4

Уравнение равновесия напряжений для этого контура согласно второго закона Кирхгофа имеет вид:

Применив к (12.3) прямое преобразование Лапласа и учитывая свойства линейности (12.4), дифференцирования (12.5) и интегрирования (12.6) оригинала или выражения для напряжений на резистивном (12.8), индуктивном (12.9) и емкостном (12.10) элементах, получим:

Отсюда получаем закон Ома в операторной форме для последовательной цепи:

Если в Z(p) заменить p на jw, то получим комплексное сопротивление цепи.

Величины Li(0) и U_c(o)/p называют расчетными напряжениями. Они характеризуют энергию магнитного и электрического полей, запасенную в L и C к моменту коммутации.

Величина, обратная Z(p) называется операторной проводимостью цепи:

Для нулевых начальных условий закон Ома примет вид:

Аналогичным образом можно получить законы Кирхгофа в операторной форме.

Первый закон Кирхгофа в операторной форме:

Он гласит: алгебраическая сумма операторных токов в любом узле цепи равна нулю.

Второй закон Кирхгофа в операторной форме:

Он гласит:

алгебраическая сумма операторных падений напряжений на всех участках замкнутого контура равна алгебраической сумме операторных ЭДС, включенных в этот контур.

Таким образом, закон Ома и законы Кирхгофа в операторной форме аналогичны этим же законам в комплексной форме с той лишь разницей, что в каждой из m ветвей при наличии ненулевых начальных условий действуют дополнительные расчетные источники L_ki_k(0) и –U_ck(0)/p, положительное направление которых совпадает с выбранным положительным направлением тока в этой ветви.

На основе законов Ома и Кирхгофа в операторной форме можно рассчитать переходный процесс любым из ранее рассмотренных методов: контурных токов, узловых напряжений и др. При этом удобно пользоваться эквивалентными операторными схемами.

При составлении эквивалентных операторных схем источники тока и напряжений i(t) и U(t) заменяются соответствующими изображениями I(p) и U(p), индуктивность L заменяется на Lp, а емкость C – на 1/Cp при нулевых начальных условиях.

Если начальные условия ненулевые, то последовательно с Lp добавляется источник напряжения Li(0), а с C – источник напряжения –U_c(0)p (рис.12.2,б и 12.3,б).

Например, эквивалентная операторная схема замещения для цепи, изображенной на рис.12.5, будет иметь вид (рис.12.6).

Рис. 12.6

Применение операторных расчетных схем замещения цепей повышает наглядность и упрощает расчет.

3 Алгоритм анализа переходных процессов операторным методом.

Расчет переходного процесса операторным методом предусматривает следующий порядок операций:

1. вычерчивается исходная расчетная схема замещения цепи и определяются начальные условия коммутации;

2. все известные электрические величины и параметры изображаются в операторной форме (сложение функции – с помощью таблиц оригиналов и изображений) и осуществляется переход к операторной схеме замещения цепи;

3. на основе законов Ома, Кирхгофа в операторной форме в соответствии с выбранным методом расчета цепи после ее коммутации составляется система операторных уравнений с учетом начальных условий, которая решается относительно изображений искомых переходных токов и напряжений;

4. получение изображения искомых переходных токов и напряжений преобразуются либо к табличным, либо к виду, удобному для применения теоремы разложения, и определяются оригиналы (переходные токи и напряжения);

5. производится анализ характера переходного процесса.