Методические рекомендации к выполнению контрольной работы

ЗАДАЧА 1

На складе университета хранится 28 одинаковых упаковок писчей бумаги. Известно, что в четырех из них содержится бумага более низкого качества. Случайным образом выбирают три упаковки бумаги, Вычислить вероятность того, что среди них;

нет упаковок с бумагой более низкого качества,

есть одна упаковка такой бумаги.

Решение. Общее число возможных элементарных исходов для данных испытаний равно числу способов, которыми можно извлечь 3 упаковки бумаги из 28 упаковок, то есть

====13·9·28=3276 – числу сочетаний из 28 элементов по 3.

а) Подсчитаем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию (нет упаковок с бумагой более низкого качества). Это число исходов ровно числу способов, которыми можно извлечь 3 упаковки бумаги из 24 упаковок (столько упаковок содержит бумагу высшего сорта), то есть

====11·23·8=2024

искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов:

P₁==≈0,62

б) Подсчитаем число исходов, благоприятствующих данному событию (среди трех упаковок бумаги ровно 1 упаковка содержит бумагу более низкого качества): две упаковки можно выбрать из 24 упаковок: ====276 способами, при этом одну упаковку нужно выбирать из четырех: ===4 способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно ·=276·4=1104

Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех элементарных исходовp₂==≈0,34

Ответ: а) p₁ =0,62; б) р₂ =0,34.

ЗАДАЧА 2

Магазин получает электролампочки с двух заводов, причем доля первого завода составляет 25 %. Известно, что доля брака на этих заводах равна соответственно 5 % и 10 % от всей выпускаемой

продукции. Продавец наугад берет одну лампочку. Какова вероятность того, что она окажется бракованной?

Решение: Обозначим через А событие - «лампочка окажется бракованной». Возможны следующие гипотезы о происхождении этой лампочки: H₁-лампочка поступила с первого завода, H₂-лампочка поступила со второго завода. Так как доля первого завода составляет 25 %, то вероятности этих гипотез равны соответственно p(H₁)==0,25; p(H₂)==0,75.

Условная вероятность того, что бракованная лампочка выпущена первым заводом – p(A/H₁)==0,05,вторым заводом - p(A/H₂)==0,10искомую вероятность того, что продавец взял бракованную лампочку, находим по формуле полной вероятности

р(А) = P(H₁)· p(A/H₁)+P(H₂)·(A/H₂)=0,25·0,05+0,75·0,10=0,0125+0,075=0.0875

Ответ: р(А) = 0,0875.

Для решения задачи 5 см. [5]глава 6 § 1—3, глава 7 § 1-2, глава 8 § J—3.

ЗАДАЧА 3.

Задан закон распределения дискретной случайной величены X:

X	-4	-2	0	2	4	6	8
p	0,05	p	0,12	0,23	0,32	0,14	0,04

Найти:

а) неизвестную вероятность р.

б) математическое ожидание М, дисперсию D и среднее квадратическое отклонение σ данной случайной величены;

Решение:

а) так как сумма всех, вероятностей должна равняться единице, то получим уравнение

0,05-p + 0,12 + 0,23-0,32 + 0,14+0,04 = 1.

Отсюда р+0,9 = 1 и р=0,1.

б) Математическое ожидание М это сумма всех произведений значений случайной величины на их вероятности:

М = (-4)·0,05+(-2)·0,1 + 0·0,12 + 2·0,23 + 4·0,32 + 6·0,14 + +8·0,04-0,2-0,2+0 + 0,46 + 1,28 + 0,84 + 0.32 = -0,4 + 2,9 = 2,5.

Д

7

исперсияD=∑(x₁)²·p₁-M²=

i=1

=(-4)·0.05+(-2)²·0,1+0²·0,12+2²·0,23+4²·0,32+6²·0,14+8²·0,04-(2,5)²=

=0,8+0+0,92+5,12+5,04+2,56-6,25=8,59

Среднее квадратическое отклонение σ = =≈2,9

в) Если

Если

Если

Если

Если

Если

Если

Если

Итак, функция распределения может быть записана так:

График этой функции приведен на рисунке:

г) Сначала найдем значения случайной величины .

По условиям задачи

Поэтому

Составим таблицу вида:

Y	7	3	-1	3	7	11	15
	0,05	0,1	0,12	0,23	0,32	0,14	0,04

Чтобы получить закон распределения случайной величины необходимо:

1. рассмотреть её значения;

2. сложить вероятности, соответствующие совпадающим значениям данной таблицы.

Итак, закон распределения случайной величины :

Y	-1	3	7	11	15
P	0,12	0,33	0,37	0,14	0,04

ЗАДАЧА 4.

Известно, что вероятность положительного исхода некоторого опыта равна 0,125. Найдите вероятность того, что в серии из 128 опытов положительный исход произойдет

а) в 20 опытах

б) от 12 до 20 опытов.

Решение:

а) воспользуемся локальной теоремой Лапласа. Вероятность того, что в испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна,равнараз (безразлично, в какой последовательности) приближенно равна

Так как

.

Значение функции находим в таблице:

Итак,

Отметим, что таблица функции приведена только для положительных значений. Если же значениех получилось отрицательным, точки знак минус можно просто опустить в силу четности функции.

б) воспользуемся интегральной теоремой Лапласа. Вероятность того, что в независимых испытаниях событие наступит отдораз приближенно равна

Так как

,

где

Значение функции также находим в специальной таблице. В таблице. Для отрицательных значенийхиспользуют эту же таблицу, учитывая, чтоявляется нечетной функцией, то есть. Итак,Отсюда

Ответ:

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА