Выражение, стоящее в скобках, по определению является дисперсией Х:

A Dx A x x

Сдругой стороны, по свойству дисперсии:

Dy D[ A X B] A2 Dx

Тогда

y A x

Следовательно

		Kxy				A
	kxy							x x	1
						A
	x y							x x

Таким образом, знак коэффициента корреляции определяется знаком постоянной

А.

Далее, чтобы показать, что абсолютное значение коэффициента корреляции не превосходит единицы, рассмотрим СВ

Z y X xY

Найдем дисперсию Z:

D[Z ] D[ y X xY ]

y2 D[ X ] x2 D[Y ] 2 x y K XY

y2 x2 x2 y2 2 x y KXY2 x2 y2 2 x y KXY

2 x y ( x y KXY ) 0

(т.к. дисперсия всегда неотрицательна).

Тогда	KXY	x y

Следовательно,

kxy 1

Если случайные величины положительно коррелированы, то возрастанию одной из них соответствует возрастание другой (например, рост и вес человека).

Если корреляция отрицательная, то возрастанию одной СВ соответствует убывание другой (например, время, потраченное студентом на подготовку к контрольной и количество сделанных им в работе ошибок).