10.3.Расчет электрических параметров элементов цепи

10.3.1.Понятие о сопротивлении и индуктивности

вслучае пространственных токов

При рассмотрении электрических цепей мы имеем дело с проводниками, поперечные размеры которых малы по сравнению с их длиной. Пространственное расположение геометрически линейного проводника определяет однозначно и направление вектора плотности тока. Для системы таких проводников уравнения поля записываются просто, а протекающие электромагнитные процессы однозначно характеризуются напряжением, током в проводнике, омическим сопротивлением и индуктивностью. С помощью сопротивления R можно весьма просто подсчитать мощность джоулевых потерьRi2 и падение напряжения Ri , а по известной индуктивности – энергию магнитного контура 0,5Li2 и падение напряжения в нем Ldi / dt .

При решении задач электродинамики должно быть найдено

пространственное распределение электрической и магнитной напряженностей

( E , H ), электрической и магнитной индукций ЭМП ( D,B ), а также плотность

пространственного тока ( ). Если эти величины известны, то можно ответить на все возникающие вопросы. Так, мощность джоулевых потерь в заданном объеме выражается интегралом

Pw		2	(10.3.1)
			dv ,
V

запасенная в том же объеме энергия МП находится по формуле

Wм 0,5 HBdv

V

.

(10.3.2)

10.3.2.Расчет индуктивностей

10.3.2.1.Потокосцепление индуктивных катушек

При решении теоретических и инженерных задач в электротехнике часто приходится интересоваться магнитными потоками, сцепляющимися с контурами, по которым протекает электрический ток. В отличие от других магнитных потоков такие потоки принято называть потокосцеплениями и обозначать буквой . Потокосцепление совпадает с магнитным потоком по размерности и измеряется в веберах (Вб).

Рассмотрим потокосцепление контура с электрическим током, выполненного из достаточно тонкого проводника, размеры поперечного сечения которого пренебрежимо малы по сравнению с другими размерами контура. При этом реальный электрический контур в первом приближении можно принять за идеальный математический контур, а его потокосцепление – за магнитный поток сквозь поверхность, мысленно натянутую на этот контур:

Φ Bds Bn ds

s s ,

где Bn нормальная составляющая индукции к элементу поверхности ds.

В случае приближенного вычисления этого потока от интегрирования можно перейти к сумме конечного числа слагаемых:

Bni si Φi		,
i	i

если разбить всю поверхность s контура на мелкие, но конечные по площади участки s. При этом каждое слагаемое Bni si будет представлять собой

магнитный поток Фi сквозь участок поверхности si. Такой прием вычисления потокосцеплений, удобный при простых контурах, представляет известные неудобства в весьма важном для практики случае, когда электрическими контурами являются обмотки индуктивных катушек. Поверхность таких контуров представляет весьма сложную винтовую поверхность (рис. 10.3.1), подсчет магнитного потока сквозь которую удобнее вести другим приближенным приемом.

Рис. 10.3.1. Потокосцепление катушки с винтовой поверхностью

Разобьем МП в области контура на множество достаточно мелких

магнитных трубок с потоками Фk и проследим, сколько раз каждая такая трубка пересекает поверхность контура. Так, например, магнитные трубки 1,6,7 пересекают эту поверхность всего один раз, трубки 2 и 5 два раза, а каждая из трубок 3 и 4 три раза. Очевидно, что при таком подходе потокосцепление рассматриваемого контура, т. е. полный магнитный поток сквозь всю поверхность контура, можно представить суммой nk Фк , где nk - число пересечений поверхности контура k й магнитной трубкой или, иначе говоря, число витков, с которыми сцепляется данная трубка.

Когда отдельные витки индуктивной катушки плотно прижаты друг к другу (рис. 10.3.2), с чем нередко встречаемся на практике, то потокосцепление сквозь поверхность s можно представить как увеличенный в w раз магнитный поток Ф сквозь площадь одного wФ витка .

Рис. 10.3.2. Представление многовитковой катушки в виде одного витка

Это весьма важное для практических расчетов выражение для потокосцепления обмотки справедливо и тогда, когда витки обмотки, даже не будучи плотно прижаты друг к другу, наложены на магнитопровод из материала с высокой магнитной проницаемостью, так как здесь магнитный поток Ф, замыкающийся по магнитопроводу, также целиком сцепляется с каждым витком обмотки.

Если потокосцепление электрического контура обусловлено МП, созданным током, протекающим по этому же контуру (рис. 10.3.2), то такое потокосцепление называют потокосцеплением самоиндукции и к его обозначению добавляют индекс L. Если же МП, определяющее потокосцепление данного электрического контура, вызвано токами,

протекающими в каких-либо других контурах, то говорят о потокосцеплении взаимоиндукции, которое обозначают индексом М .

10.3.2.2. Расчет собственных индуктивностей

Если МП какого-либо электрического контура существует в среде с неизменным значением ее магнитной проницаемости, то потокосцепление L

самоиндукции этого контура пропорционально току контура: L = Li . Коэффициент пропорциональности L в этом выражении называют

собственной индуктивностью контура.

Таким образом, собственную индуктивность, обычно называемую сокращенно индуктивностью, определяют как отношение

L	L	(10.3.3)
	i

потокосцепления самоиндукции контура к току, протекающему по этому контуру, измеряется в единицах, называемых генри (Гн).

Анализируя выражение (10.3.3), нетрудно убедиться, что индуктивность контура зависит от магнитных свойств сред, в которых существует МП

рассматриваемых контуров, а также от их формы и размеров:
L = f ( i , g j ), i [1, k], j [1, n].	(10.3.4)

В простейшем случае, если МП контура расположено в однородной среде, то его индуктивность будет пропорциональна магнитной проницаемости этой среды:

L = f (g j ) .

(10.3.5)

Действительно, потокосцепление контура определяется площадью поверхности, мысленно натянутой на контур, и магнитной индукцией МП в точках этой поверхности. Индукция же, в свою очередь зависящая от размеров и конфигурации контура, пропорциональна магнитной проницаемости среды в соответствующих точках пространства и току в контуре, создающему это поле.

Важно подчеркнуть при этом, что в случае контуров, МП которых расположено в средах с постоянными магнитными проницаемостями, индуктивность не будет зависеть от тока в этих контурах и при неизменных конструктивных параметрах контуров будет также постоянна.

Индуктивность катушки с магнитопроводом. Представим себе индуктивную катушку с замкнутым магнитопроводом из материала с

постоянной магнитной проницаемостью (рис. 10.3.3). Пренебрегая

	рассеянием, потокосцепление самоиндукции L			такой катушки соответствует
	выражению
		L = wФ,		(10.3.6)
	а индуктивность L определим в виде
			wФ
		L = i .		(10.3.7)
	Представим магнитный поток Ф с помощью закона для замкнутой
	магнитной цепи:	wi
	Ф =		,	(10.3.8)
		RM

где RМ - магнитное сопротивление магнитопровода. Для индуктивности катушки окончательно получим

w

Рис. 10.3.3. Катушка с замкнутым магнитопроводом

	L	w2	.
		RM		(10.3.9)
	Если в магнитопроводе рассмотренной выше катушки создать воздушный
	зазор (рис. 10.3.4,а), то сопротивление	RM магнитной цепи		увеличится, а
	индуктивность катушки, как следует из (10.3.9), уменьшится.

а)	б)

Рис. 10.3.4. Катушка с разомкнутым магнитопроводом

Выполняя магнитопровод индуктивной катушки из двух отдельных частей

– ярма 1 и якоря 2 (рис. 10.3.4, б), воздушные зазоры между которыми путем перемещения якоря можно по желанию менять, получим индуктивную катушку с переменной индуктивностью, широко используемую, например, в сварочных установках.

Индуктивность измеряется в единицах генри (Гн).

10.3.2.3. Индуктивность электрических линий

Электрические линии, независимо от того, служат ли они для передачи больших энергий или предназначены для целей связи, представляют собой в совокупности с соединяемыми ими источниками и приемниками замкнутые контуры, которые можно характеризовать определенной индуктивностью.

По конструктивному признаку и характеру создаваемого МП электрические линии принято делить на двухпроводные и коаксиальные.

Двухпроводная линия представляет собой два одинаковых прямых провода, обычно круглого сечения, укрепленных параллельно друг другу на некотором расстоянии d (рис. 10.3.5).

Рис. 10.3.5. Двухпроводная линия с током

МП двухпроводной линии относится к группе плоскопараллельных МП, так как во всех сечениях линии, за исключением коротких участков у ее концов, картина МП одинакова и представляет собой совокупность магнитных линий, лежащих в плоскостях, перпендикулярных к осям проводов. Поэтому для изучения поля двухпроводной линии достаточно рассмотреть это поле только в одной из таких плоскостей.

Несмотря на довольно сложную конфигурацию, поле двухпроводной линии, которое можно рассматривать как результат наложения МП двух ее проводов с равными по величине и противоположными по направлению токами, при круглом сечении проводов поддается точному расчету и изображается совокупностью магнитных линий, имеющих форму окружностей с центрами на прямой линии, соединяющей оси проводов (рис. 10.3.6). МП принято делить на ее внешнее поле, магнитные линии которого целиком замыкаются вне тел проводов, и внутреннее поле, линии которого проходят частично или полностью внутри проводов.

При расчете индуктивности L (10.3.9), точнее, при расчете

потокосцепления	L ,	нужно		подразделить L	потокосцепление
на внешнюю и внутреннюю L части. Тогда L = L + L , откуда
L	= L			L L ,	(10.3.10)
	I	I	I

первая из которых получила название внешней индуктивности, а вторая – внутренней индуктивности.

Рис. 10.3.6. Поперечное сечение двухпроводной линии с током

Для расчета внешнего потокосцепления , т. L е. потока Ф сквозь плоскость, проходящую через оси проводов (рис. 10.3.7), необходимо знать распределение магнитной индукции вдоль прямой, соединяющей оси проводов.

Рис. 10.3.7. К расчету внешней индуктивности проводов

Пользуясь принципом наложения, представим магнитную индукцию в произвольной точке на упомянутой линии как сумму магнитных индукций поля от первого и второго проводов:

B B B	2		0 I		0 I	,
1			2 x		2 (d x)	(10.3.11)

где x расстояние точки от оси первого провода, d x ее расстояние от оси второго провода.

Возможность замены геометрического суммирования векторов магнитной индукции арифметическим суммированием их величин объясняется тем, что на прямой, соединяющей оси проводов, векторы B1 и B2 магнитных индукций

отдельных полей проводов совпадают по направлению (рис. 10.3.7). Принимая во внимание, что магнитная индукция в точках

рассматриваемой плоскости зависит только от координаты x и не изменяется в направлении осей проводов, при вычислении магнитного потока Ф сквозь эту плоскость ее целесообразно разбить на бесконечно узкие полоски шириною dx и простирающиеся вдоль осей проводов на всю длину l линии. Магнитный поток сквозь такую полоску (на рис. 10.3.7 она показана двойной штриховкой)

будет равен dФ Bds Bldx , так как вектор B магнитной индукции перпендикулярен к площадке ds.

Магнитный поток сквозь всю заштрихованную поверхность между проводами определится интегрированием элементарного потока dФ по всей упомянутой поверхности:

					d r
		Ф					Bldx				(10.3.12)
								r		.
Подставив в подынтегральную функцию полученное значение для
магнитной индукции (10.3.11) и выполняя интегрирование, получим
L			0 Il				ln d r .				(10.3.13)
										r
Отсюда для внешней индуктивности двухпроводной линии имеем
L				0l						d r
L I								ln		r .
											(10.3.14)
В случае, когда расстояние d между проводами линии много больше
радиуса r их поперечного сечения ( d >> r), получим
L					0l				ln	d
										r .	(10.3.15)

Коаксиальный кабель, разрез которого показан на рис. 10.3.8, представляет собой систему двух проводов 1 и 2, первый из которых, называемый жилой, имеет сплошное круглое сечение, а второй, именуемый оболочкой, представляет собой тонкостенную трубу, охватывающую жилу. Между жилой и оболочкой, оси которых совпадают, имеется цилиндрический слой 3 изоляционного материала.

Если жила и оболочка кабеля используются как прямой и обратный провод в системе передачи электроэнергии по двухпроводной линии, то МП вне кабеля существовать не может, так как ни одна предполагаемая магнитная линия, охватывающая кабель, не сцепляется с двумя одинаковыми по величине, но разными по направлению токами.

Рис. 10.3.8. Поперечный разрез коаксиального кабеля

Как и в случае двухпроводной линии, остановимся на расчете внешней индуктивности коаксиального кабеля, обусловленной полем вне проводов, т. е. полем в толще изоляции кабеля. При этом внешнее потокосцепление L замкнутого контура жила – оболочка будет равно магнитному потоку Ф, замыкающемуся в толще изоляции по всей длине l кабеля. Поверхность s, магнитный поток сквозь которую подлежит расчету, показана на рис. 10.3.8 штриховкой.

Принимая во внимание постоянство магнитной индукции поля кабеля во всех точках, равноудаленных от его оси, при интегрировании индукции по этой поверхности целесообразно ее разбить на бесконечно узкие полоски шириною dx и простирающиеся вдоль оси кабеля на всю его длину l. Поскольку вектор магнитной индукции перпендикулярен к поверхности интегрирования, магнитный поток сквозь элементарную площадку ds ldx (на рис. 10.3.8 она показана двойной штриховкой) dФ Bds Bldx будет равен, причем для магнит-ной индукции B в точках этой элементарной площадки на расстоянии x от оси жилы имеем

B 0 I . 2 x

Для получения магнитного потока сквозь всю поверхность s необходимо проинтегрировать элементарный поток по всей площади радиального сечения

изоляции, т. е. по отношению к переменной координате x в пределах от x = r1 до x = r2, где r1 радиус поперечного сечения жилы, а r2 внутренний радиус поперечного сечения оболочки

Ф 2

Bldx

0 Il 2 dx =

0 Il ln r2 .

(10.3.16)

r

r

x

2

r1

r

2 r

1

1

Отсюда для внешней индуктивности коаксиального кабеля получим

Ф

0l

r2

L

L

ln r

2

I

I

(10.3.17)

1 .

Весьма характерно, что внешняя индуктивность коаксиального кабеля не зависит от абсолютных размеров его жилы и оболочки, а определяется только отношением радиусов этих элементов кабеля.

10.3.2.4. Расчет внутренней индуктивности проводов

Предположим, что по проводу с радиусом поперечного сечения r (рис. 10.3.9), изготовленному из материала с магнитной проницаемостью µ, протекает ток I, равномерно распределенный по сечению. Выделим внутри провода элементарную магнитную трубку радиусом x, толщиной dx и шириной во всю длину l провода. Магнитная индукция в точках внутри этой трубки, т. е. на расстоянии x от оси провода, равна

		B		I	x
			2 r 2			,	(10.3.18)
а объемная плотность энергии там же определится выражением
Wм 0,5 B2		I 2		x2
		8 2r 4					(10.3.19)
				.		с объемом dv 2 xldx
Тогда для энергии МП	этой трубки						можно

написать:
dWм Wмdv	I 2l		x	3	dx
	4 r	4
					.

Рис. 10.3.9. Поперечное сечение круглого провода

Энергия МП внутри всего провода определится суммированием энергий отдельных элементарных магнитных трубок разных радиусов, плотно вложенных одна в другую, или, иначе говоря, интегрированием выражения для dWм в пределах от x = 0 до x = r:

I 2l

x4

r

(10.3.20)

Wм r

I 2l

x3dx =

I 2l .

0

4 r 4

4 r 4

4

0

16

Таким образом, для внутренней индуктивности провода получим

L

2Wм

l

I 2

8 .

(10.3.21)

Опираясь на выражение для внутренней индуктивности провода и ранее полученное выражение для внешней индуктивности двухпроводной линии (10.3.17), запишем формулу для полной индуктивности двухпроводной линии, которая будет отличаться от внешней индуктивности добавкой внутренних

индуктивностей обоих проводов:

L L

2L

0l

ln

d r

l

r

4 .

(10.3.22)

При этом необходимо подчеркнуть, что полученное выражение имеет ограниченную точность, так как внутренняя индуктивность провода была

рассчитана в условиях его уединенности и, следовательно, строгой осевой симметрии МП, а в двухпроводной линии в результате наложения МП отдельных проводов друг на друга внутреннее МП каждого провода искажается. Естественно, чем больше расстояние d между проводами по сравнению с радиусом r их сечений, тем это искажение становится меньше, а точность приведенной формулы – выше.

Внутренняя индуктивность в двухпроводной линии с медными или алюминиевыми проводами (µ = µ0) обычно составляет незначительную долю полной индуктивности. В линиях же со стальными проводами, с чем чаще всего встречаются в маломощных линиях связи, внутренняя индуктивность из-за высокой магнитной проницаемости стали может превысить внешнюю составляющую полной индуктивности.

Полная индуктивность коаксиального кабеля может быть представлена суммой ранее вычисленной его внешней индуктивности (10.3.16), внутренней индуктивности жилы (10.3.22) и внутренней индуктивности L оболочки.

Определение последней не отличается по методике от расчета внутренней индуктивности провода, но сопряжено с более громоздкими выкладками и поэтому здесь не рассматривается. К тому же, как показывают расчеты, из-за небольшой толщины оболочки ее внутреннее потокосцепление, а вместе с ним и внутренняя индуктивность оказываются значительно меньше внутренней индуктивности жилы и тем более внешней индуктивности кабеля. Поэтому полную индуктивность коаксиального кабеля обычно подсчитывают по сокращенной формуле

	L =	L L	0l	(ln	r2	0,25) ,	(10.3.23)
			2		r1

полагая к тому же магнитную проницаемость µ провода равной магнитной постоянной, так как кабели со стальными жилами не встречаются, а для меди и алюминия µ = µ0.

10.3.3.Расчет взаимных индуктивностей и индуктивных связей

10.3.3.1.Расчет взаимных индуктивностей

Представим себе два замкнутых электрических контура, расположенных в среде с постоянной магнитной проницаемостью (рис. 10.3.10,а), по первому из которых протекает электрический ток I1, а второй контур без тока находится в МП, созданном током первого контура.

Обозначим потокосцепление 21 второго контура, являющееся в

этих условиях потокосцеплением взаимоиндукции, двумя индексами: первый индекс 2 указывает, что это потокосцепление второго контура, а второй индекс 1 свидетельствует о том, что данное потокосцепление обусловлено током первого контура. Очевидно, что это потокосцепление будет пропорционально току I1 первого контура:

21= M21 I1

(10.3.24)

а)

б)

Рис. 10.3.10. К расчету индуктивности двух взаимно связанных контуров с токами

Коэффициент пропорциональности M21, связывающий потокосцепление21 второго контура и ток I1 первого контура, назовем взаимной индуктивностью второго контура относительно первого контура.

Аналогично можно себе представить те же два контура, но при условии, что на этот раз ток I2 протекает по контуру 2 (рис. 10.3.10,б). В контуре 1, находящемся в МП второго контура, тока нет. Очевидно, что потокосцепление12 взаимоиндукции первого контура от тока во втором контуре будет пропорционально току I2 второго контура 12= M12I2, где M21 взаимная индуктивность первого контура относительно второго.

Взаимоиндукции M12 и M21 при условии постоянства магнитной проницаемости, а также неизменности конфигурации контуров и их взаимного расположения в обоих опытах оказываются одинаковыми M12 = M21. Поэтому оба эти коэффициента на практике называют одинаково – взаимной индуктивностью контуров, опускают индексы и обозначают M: M = M12 = M21. К нижним индексам прибегают лишь в случае, когда в системе имеется более двух контуров.

Таким образом, в общем случае взаимную индуктивность контуров, или, как иногда говорят, взаимную индуктивность между контурами, можно

f ( i , g

определить как отношение потокосцепления взаимоиндукции одного контура к току другого контура:

M km	km	.
			(10.3.25)
	im
Независимость взаимной индуктивности			двух контуров от способа ее

определения принято рассматривать как особое свойство этой величины, называемое инвариантностью взаимной индуктивности. Взаимная индуктивность, как и собственная индуктивность, измеряется в генри (Гн).

Зависимость взаимной индуктивности от конструктивных параметров контуров аналогична соответствующей зависимости собственной индуктивности (10.3.7), т. е. взаимная индуктивность является функцией

магнитных проницаемостей i i 1, k веществ и геометрических координат

g j j 1, n элементов, определяющих конструкцию контуров: M = j ), и в частном случае, когда МП контуров расположено в однородной среде, взаимная индуктивность пропорциональна магнитной проницаемости этой

среды: M = f (g j ) .

В зависимости от собственной индуктивности взаимная индуктивность зависит не только от формы и размеров самих контуров, но и от их взаимного расположения.

10.3.3.2. Расчет индуктивных связей

Если взаимная индуктивность двух контуров отлична от нуля, то говорят, что между этими контурами существует индуктивная связь, а сами контуры называют в этом случае индуктивно связанными контурами.

Физически индуктивная, или, как ее еще называют, магнитная связь, обусловлена общим магнитным потоком, сцепляющимся в определенных условиях одновременно с обоими контурами. Наиболее наглядно этот поток наблюдается в случае простейших контуров, состоящих из одного витка, когда МП создано током лишь одного из этих контуров, например первого, как показано на рис. 10.3.13.

В МП такого контура нетрудно выделить магнитную трубку (на рис. 10.3.11 она ограничена толстыми магнитными линиями), которая опре-

деляет собой потокосцепление взаимной индукции второго контура и, таким образом, сцепляется не только с первым, но и со вторым контуром. Чем большую долю составляет магнитный поток этой трубки по сравнению с

суммарным магнитным потоком для всех трубок поля, тем сильнее индуктивная связь этих контуров.

Рис. 10.3.11. Связанные электрические контуры

Строго степень индуктивной связи двух контуров оценивают коэффициентом связи, который представляет собой отношение абсолютного значения взаимной индуктивности этих контуров к положительному значению

квадратного корня из произведения их собственных индуктивностей:
k		M			.
		L L			2		(10.3.26)
		1
Нетрудно убедиться, что		коэффициент связи					представляет собой

безразмерный коэффициент, который всегда представляет собой число меньше единицы.

Индуктивная связь в электротехнических устройствах определяет собой характер протекания в них ряда важнейших электромагнитных явлений, как например, возникновение ЭДС индукции в электрических цепях или механических сил взаимодействия между контурами. При этом наряду с многочисленными примерами преднамеренного использования индуктивной связи в различных машинах и аппаратах нередко приходится встречаться и с ее отрицательной ролью, вызывающей нарушение нормальной эксплуатации электротехнического оборудования. Поэтому в инженерной практике нам часто приходится сталкиваться с задачами как искусственного увеличения индуктивной связи между контурами, так и предельного ее уменьшения.

Приемы увеличения индуктивной связи сводятся к таким конструктивным решениям, при которых общий магнитный поток, сцепляющийся с двумя контурами, достигает наибольших значений. Так, например, в случае двух обмоток, расположенных рядом друг с другом по одной оси (рис. 10.3.12, а), введение в них ферромагнитного стержня (рис. 10.3.12, б) будет способствовать усилению общего магнитного потока и тем самым усилению индуктивной

связи между обмотками. Еще большие значения коэффициента связи достигаются при размещении двух обмоток на замкнутом неразветвленном магнитопроводе (рис. 10.3.13, а), причем, чем выше магнитная проницаемость материала магнитопровода, тем ближе будет коэффициент связи к единице, так как с повышением магнитной проницаемости уменьшаются потоки рассеяния магнитной цепи. Дальнейшего приближения коэффициента связи к единице можно добиться размещением обеих обмоток на одном стержне магнитопровода (рис. 10.3.13, а) или, еще лучше, равномерным расположением обмоток (одна поверх другой)

а) б)

Рис. 10.3.12. Катушки с токами, расположенные на одной оси

а)

б)

Рис. 10.3.13. Катушки с токами, размещенные на замкнутом магнитопроводе

на кольцевом магнитопроводе (рис. 10.3.13, б), ибо в этом случае удается получить наименьшее рассеяние магнитного потока.

Ослабление индуктивной связи между контурами достигается уменьшением их взаимной индуктивности, для чего контуры следует располагать по возможности дальше друг от друга или ориентировать их друг относительно друга так, чтобы линии поля одного контура не сцеплялись с другим контуром. При этом желательно по возможности локализовать собственные МП контуров, используя для каждого из них отдельные замкнутые магнитопроводы.

Особую важность в технике связи представляет задача ослабления индуктивной связи между двумя параллельными линиями для устранения влияния токов одной линии на работу другой линии. В этом случае, например, прибегают к транспозиции проводов, т. е. к чередующемуся через равные промежутки длины перехлестыванию проводов одной из линий, как показано на рис. 10.3.14. При этом составляющая потокосцепления взаимоиндукции второй линии от тока в первой на одном участке будет иметь противоположный знак по сравнению с составляющей потокосцепления на другом участке, и при четном количестве участков суммарное потокосцепление взаимоиндукции второй линии окажется равным нулю. По аналогичным причинам достигается практически полное уничтожение индуктивной связи между линиями, если хотя бы одна из них выполнена перевитыми друг с другом проводами.

Рис. 10.3.14. Транспозиция электрических проводов

10.3.4.Расчет электрических емкостей

10.3.4.1.Понятие об электрической емкости

Потенциал φ уединенного проводящего тела пропорционален его заряду Q: φ = αQ. Эта закономерность в общем случае вытекает из линейности основных уравнений ЭП при условии, если диэлектрическая проницаемость среды во всех точках окружающего пространства остается постоянной величиной. В частности, линейность связи между потенциалом и зарядом подтверждается выражением для потенциала заряженного шара

		Q	.
		4 r

Чаще эту закономерность выражают обратной зависимостью Q = Cφ,

вводя вместо потенциального коэффициента обратную ему величину C Q ,

называемую электрической емкостью уединенного тела.

Единицей емкости является фарада (Ф). Тело будет иметь емкость в 1 Ф, если при сообщении ему заряда в 1 Кл оно приобретает потенциал в 1 В.

Уединенное заряженное тело можно себе представить лишь чисто теоретически. Дело в том, что все тела в природе в своем естественном состоянии электрически нейтральны, т. е. их результирующие положительные и отрицательные заряды одинаковы. Поэтому, заряжая одно тело положительно, мы должны будем для этого взять соответствующий положительный заряд у другого тела, обнажив в нем равный ему отрицательный заряд. Таким образом, на практике мы чаще встречаемся с системой двух тел, заряженных равными по величине, но противоположными по знаку зарядами.

В этом случае говорят об электрической емкости между двумя телами, определяя ее отношением абсолютного значения Q заряда каждого из тел к разности φ1 φ2 потенциалов этих тел, т. е. к напряжению U между телами

C Q . Так как в практической электротехнике оперируют только этим

понятием емкости, ее принято называть просто электрической емкостью, не подчеркивая специально того, что речь идет о системе двух тел.

Как и емкость уединенного тела, емкость между двумя телами измеряют в фарадах (Ф). Система двух тел будет обладать емкостью в 1 Ф , если при сообщении этим телам равных по величине, но противоположных по знаку зарядов в 1 Кл между ними возникнет напряжение в 1 В.

В дальнейшем будет показано, что емкость зависит только от конфигурации тел, их размеров, расстояния между телами, электрических свойств диэлектрика (величины ε).

10.3.4.2. Расчет емкости простейших технических устройств

Емкость плоского конденсатора. Плоский конденсатор в простейшем случае представляет собой две одинаковые, параллельно расположенные металлические пластины (обкладки конденсатора), разделенные слоем изоляции (рис. 10.3.15). В зависимости от материала примененной в конденсаторе

изоляции различают слюдяные, керамические, бумажно-масляные и т. д.

конденсаторы. Особое место занимают воздушные конденсаторы, в которых изоляцией служит воздух, и вакуумные конденсаторы, в пространстве между пластинами которых создан вакуум.

Рассчитаем емкость плоского конденсатора, площадь каждой пластины которого s, расстояние между пластинами d, а материал изоляции характеризуется диэлектрической проницаемостью ε.

Зарядим мысленно обкладки конденсатора зарядами +Q и –Q и рассмотрим образовавшееся при этом поле как результат наложения полей каждой из пластин в отдельности.

Ранее было показано, что поле плоской, равномерно заряженной пластины равномерно и его напряженность равна E 2 , где σ = Q/s поверхностная

плотность заряда пластины, ε диэлектрическая проницаемость окружающей среды.

При этом поле положительно заряженной пластины направлено с обеих сторон от пластины, а поле отрицательно заряженной пластины, наоборот, к ней. Тогда во внешней области конденсатора с обеих его сторон результирующее поле исчезнет, так как поля отдельных пластин направлены навстречу друг другу, взаимно компенсируются. В области же между пластинами ЭП, складываясь, дадут результирующее ЭП с вдвое большей

напряженностью E . Напряжение между пластинами определится простым

произведением напряженности на расстояние d. Таким образом, для искомой емкости имеем

	C	Q		s		s		s
		U		Ed		( / )d		d .	(10.3.27)

Рис. 10.3.15. К расчету емкости плоского конденсатора

Следует подчеркнуть, что формула (10.3.27) является приближенной. Это объясняется тем, что при ее выводе было предположено, что поле конденсатора равномерно. В действительности имеет место так называемое «выпучивание» поля у краев конденсатора, нарушающее его равномерность. Однако при весьма малых расстояниях между пластинами по сравнению с их размерами, что почти всегда имеет место в реальных конденсаторах, область искаженного поля будет ничтожна и формула (10.3.27) емкости приводит к достаточно точным результатам.

Емкость коаксиального кабеля. Коаксиальный кабель, поперечный разрез которого показан на рис. 10.3.8, представляет собой систему двух проводов 1 и 2, первый из которых, называемый жилой, имеет сплошное круговое сечение, а второй, именуемый оболочкой, представляет собой тонкостенную трубку, охватывающую жилу. Между жилой и оболочкой, оси которых совпадают, имеется цилиндрический слой 3 изоляционного материала.

При сообщении жиле и оболочке одинаковых по величине и разных по знаку зарядов, что имеет место, когда кабель используют в качестве линии передачи электрической энергии, ЭП возникает только в изоляции. Объясняется это тем, что снаружи кабеля поля жилы и оболочки взаимно компенсируются. Внутри же кабеля поле создается только жилой, так как поле от оболочки внутри нее, как и внутри всякого заряженного проводящего тела, отсутствует, даже если в нем имеется полость. Линии поля в изоляции будут направлены по радиусам сечения кабеля, в частности, при положительно заряженной жиле – от нее к отрицательно заряженной оболочке. При этом

напряженность поля в произвольной точке изоляции будет равна E 2 r , где

τ линейная плотность заряда жилы, ε диэлектрическая проницаемость изоляции, r расстояние от точки до оси кабеля. Тогда напряжение между жилой и оболочкой получим

r		r	r						r2
U 2	E cos dx	2	Edx 2		dx			ln
							2		r
				2 x
r		r	r			=				,
1		1	1					1

так как, избирая путь интегрирования от поверхности жилы с радиусом r1 до внутренней поверхности оболочки с радиусом r2 вдоль линии ЭП в изоляции, имеем всюду вдоль этого пути α = 0 и cosα = 1.

Таким образом, емкость между жилой и оболочкой кабеля, или, короче, емкость кабеля, будет равна