Контрольні питання

1. Охарактеризуйте функціональні можливості прикладного пакета MathCAD.

2. Назвіть галузі використання пакета та основні об’єкти, з якими він працює.

3. Назвіть основні команди математичної панелі інструментів пакету MathCAD.

4. Назвіть основні команди загальної панелі та панелі редагування тексту пакета MathCAD.

5. Що таке ранжирована змінна? Як вона задається?

6. Як побудувати графіки функцій у пакеті MathCAD?

Література: [5, с. 30-320; 6, с. 22-227].

Завдання № 2 Розв’язання систем лінійних алґебраїчних рівнянь Рекомендації щодо виконання

Ряд задач аналізу і синтезу фізичних систем різної природи (механічних, гідравлічних, електричних і т. д.) зводиться до розв’язання систем лінійних алґебраїчних рівнянь (СЛАР). Система n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими має вигляд:

(2.1)

або у векторно-матричній формі

, (2.2)

де – матриця коефіцієнтів; – вектор-стовпець вільних членів; – вектор-стовпець невідомих.

Запис системи (2.1) у вигляді матричного рівняння (2.2) вирізняється компактністю, дозволяє простіше оцінити властивості та закономірності явищ, спрощує і систематизує операції з перетворення і розв’язання початкових рівнянь.

На практиці для розв’язання матричних рівнянь застосовують прямі (точні) та ітераційні (наближені) чисельні методи [].

Нижче наведено основні рекурентні формули прямих та ітераційних методів (табл. 1).

Таблиця 1 - Основні рекурентні формули методів розв’язання СЛАР

Прямі методи

Метод Крамера

, , ,

де і– відповідно визначники матриць іА.

Метод Ґаусса

У матричному вигляді прямий хід методу Ґаусса можна записати:

де D – розширена матриця; – перетворені коефіцієнти матриці A та вектора B.

Зворотний хід метода Ґаусса полягає в перетворенні трикутної матриці так, щоб у перших n стовпцях отримати одиничну матрицю, а в останньому (n+1)-ому стовпчику цієї матриці містилось розв’язання системи. Розв’язання матриці трикутного вигляду буде:

.

Ітераційні методи

Метод простих ітерацій

Систему n лінійних алґебраїчних рівнянь з n невідомими необхідно привести до ітераційного вигляду:

або у матричній формі:

, k=1, 2, . . .

де k – номер ітерації.

Елементи матриці  та вектора  обчислюють за формулами:

; ; ; i, j=1,2,..., n

Ітераційний процес припиняється при виконанні умови:

,

де  – задана точність.

Метод Зейделя

В ітераційному методі Зейделя для системи рівнянь виду , усі діагональні елементи якої не дорівнюють нулю, послідовно уточнюють компоненти розв’язання, при чому-тий компонент знаходять з-го рівняння.

Якщо , то наступне наближення визначають з системи рівнянь виду:

,

де , ,

тоді .