Розв’язання систем нелінійних рівнянь

Систему n нелінійних (алґебраїчних чи трансцендентних) рівнянь з n невідомими в загальному випадку може бути записано так:

.

Такі системи розв’язують практично тільки ітераційними методами, найбільше поширення серед яких отримали методи Ньютона і Зейделя.

Нижче наведено основні етапи застосування чисельних методів для розв’язання нелінійних рівнянь та їх систем (табл. 2).

Таблиця 2 - Методи розв’язання нелінійних рівнянь та їх систем

Методи розв’язання нелінійних рівнянь

Метод поділу навпіл

У методі поділу навпіл відрізок , на якому знаходиться корінь, ділять навпіл і вибирають той напівінтервал, на кінцях якого знаки функціїрізні Потім процес поділу повторюється доти, доки довжина інтервалу, що містить корінь, не стане меншою за точність.

Рисунок 3.1 – Геометрична інтерпретація методу поділу навпіл

Метод простої ітерації (послідовного наближення)

Рівняння виду замінюють рівносильним рівнянням, де,– константа (). Якщо,скрізь на відрізку, на якому вхідне рівняння має єдиний корінь, то можна побудувати таку послідовність,, …,. Межею цієї послідовності є єдиний корінь рівнянняна відрізку. Похибку наближеного значеннякореня, знайденого методом ітерацій, оцінюють нерівністю:

.

Метод хорд

За методом хорд послідовність наближених значень знаходять за формулами: , деналежить інтервалу;

і т.д.

Послідовність чисел ,,, … прагне до шуканого кореня рівняння. Обчислення наближених значень коренів рівнянь слід вести доти, поки не буде досягнута заданий ступінь точності.

Якщо – точний корінь рівняння, ізольований на відрізку, а– наближене значення кореня, знайдене методом хорд, то оцінка похибки цього наближеного значення:

.

Рисунок 3.2 – Геометрична інтерпретація методу хорд

Метод Ньютона

Функція на кожній ітерації замінюється дотичною до неї в точці. За початкове наближеннявибирають той з кінців відрізка, для якого. Найчастіше початкове значення вибирають якабозалежно від того, для якої з цих точок виконується вказана умова. Тоді,,.

Рисунок 3.3 – Геометрична інтерпретація метода Ньютона

Процес уточнення кореня закінчується за умови , де - допустима похибка визначення кореня.

Для оцінки похибки використовують нерівність:

.

Методи розв’язання систем нелінійних рівнянь

Метод Ньютона

Метод Ньютона ґрунтується на введенні матриці Якобі - матриця перших частинних похідних функцій за зміннимипричому функціїє неперервно диференційованими. Вибирають вектор початкових наближеньі розв’язують лінійну систему:, де- вектор, що є розв’язанням системи. Наступне наближення обчислюють за формулою:. Ітераційний процес припиняється, якщо виконується умовадля кожного.

Метод Зейделя

Початкову систему нелінійних рівнянь замінюють еквівалентною .

Корені обчислюють за наступним виразом:

Ітераційний процес припиняється за умови , де - задана точність обчислень.